Implementação do Modelo Epidemiológico SIR utilizando Python.

Modelo Epidemiológico SIR

A pandemia do COVID-19, também chamado de "o novo coronavírus", colocou em evidência a importância da matemática em nosso cotidiano. Tenho certeza que nesse período você já ouviu falar sobre projeções do avanço da doença e pico da curva de infectados. Porém, você sabe como a matemática se relaciona com esses termos?

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Para compreender esses termos e realizar essas análise podemos utilizar modelos matemáticos, que são, a grosso modo, uma simplificação da realidade. No contexto de epidemias podem ser aplicados modelos compartimentais, que dividem a população em "caixinhas" para assim, tentar entender o comportamento de uma doença no decorrer do tempo. Um dos modelos compartimentais mais simples é o modelo epidemiológico SIR, proposto em 1927 por Kermack e McKendrick.

Esse modelo divide a população em 3 grupos, Suscetíveis (S), Infectados (I) e Recuperados (R). Suscetíveis representam a parcela da população que não foi infectada, os infectados representam as pessoas que estão infectadas com o vírus, transmitindo para outras pessoas e os recuperados são aqueles que já se curaram, ou seja, estavam infectados, mas agora estão curados. Veja o diagrama abaixo.

No digrama temos duas letras $\beta$ e $\gamma$ elas representam a taxa em que os indivíduos se movem de um grupo para o outro. O $\beta$ representa a taxa de contágio, ela vai ser a responsável por "mover" uma pessoa do grupo dos suscetíveis para o grupo dos infectados. Ela está relacionada a probabilidade de uma transmissão ocorrer decorrente do contato entre um indivíduo infectado e um indivíduo suscetível. O $\gamma$ representa a taxa de recuperação, ela é responsável por "mover" o indivíduo do grupo dos infectados para o grupo dos recuperados. O inverso do $\gamma$, ($1/\gamma$) é muito importante, ele representa o período infeccioso médio, ou seja ele nos fornece uma estimativa para quanto tempo o indivíduo estará infectando outras pessoas.

Matematicamente, o modelo SIR é definido pelo seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:

\begin{cases} S'(t) = \dfrac{-\beta S(t) I(t)}{N}\ I'(t) = \dfrac{\beta S(t) I(t)}{N} - \gamma I(t)\ R'(t) = \gamma I(t) \end{cases}

Sendo $\beta$ a taxa de contágio, $\gamma$ a taxa de recuperação e $N$ a população total da região que estamos analisando.

Esse modelo nos fornece uma informação muito importante sobre o desenvolvimento de uma epidemia. Ele nos fornece uma estimativa da taxa básica de reprodução da doença/vírus, que no caso do COVID-19 seria uma média de quantas pessoas podem ser infectadas por um indivíduo infectado em contato com os suscetíveis. Essa taxa é dada por $R_0 = \dfrac{\beta}{\gamma}$, sendo importante ressaltar que $\dfrac{1}{\gamma}$ é o perído infeccioso médio e $\beta$ a taxa de contágio.

Veja no arquivo SIR.ipynb como podemos implementar esse modelo utilizando a linguagem de programação python. Nesse caso, como esse modelo não tem solução analítica conhecida vamos utilizar o python para gerar uma solução númerica utilizando o comando odeint e vamos plotar essa solução utilizando a biblioteca plotly.