Segment Tree Beats #90

chihhsi · 2023-06-21T05:37:14Z

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chihhsi · 2023-06-21T14:09:43Z

@harry900831 Waiting review

src/SUMMARY.md

harry900831 · 2023-06-21T17:15:34Z

src/data_structure/intro.md

You don't have to add this file

src/data_structure/segment_tree_beats.md

harry900831 · 2023-06-21T17:21:26Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+<img src="image/segment_tree_beats/1-0.jpg" width="600" style="display:block; margin: 0 auto;"/>
+
+從根節點 \\( 4 | 3 \\) 出發向下走，遇到左子節點 \\( 2 | 1 \\)，由於 \\( mx1 \leq 2 \\)，屬於情況一，直接退出；遇到右子節點 \\( 4 | 3 \\)，由於 \\( mx2 \geq 2 \\)，屬於情況三，對子節點進行遞迴搜尋。
+
+<img src="image/segment_tree_beats/1-1.jpg" width="600" style="display:block; margin: 0 auto;"/>
+
+繼續從右子節點 \\( 4 | 3 \\) 向下遞迴搜尋，遇到左子節點 \\( 4 | -1 \\)，由於 \\( mx2 < 2 < mx1 \\)，屬於情況二，區間和被改為 \\( 4 + 1 \cdot (2 - 4) = 2 \\)，最大值被更新為 \\( 2 \\)，標記也被設為 \\( 2 \\)；遇到右子節點 \\( 4 | -1 \\)，由於 \\( mx2 < 2 < mx1 \\)，屬於情況二，同理。
+
+<img src="image/segment_tree_beats/1-2.gif" width="600" style="display:block; margin: 0 auto;"/>
+
+接著向上更新標記，節點 \\( 4 | 3 \\) 的區間和更新為 \\( 2 + 2 = 4 \\)，最大值更新為 \\( 2 \\)，最小值更新為 \\( -1 \\)。
+
+<img src="image/segment_tree_beats/1-3.gif" width="600" style="display:block; margin: 0 auto;"/>
+
+最後向上更新標記，根節點 \\( 4 | 3 \\) 的區間和更新為 \\( 2 + 2 = 4 \\)，最大值更新為 \\( 2 \\)，最小值更新為 \\( max(1, -1) = 1 \\)。
+
+<img src="image/segment_tree_beats/1-4.gif" width="600" style="display:block; margin: 0 auto;"/>


這裡都講太細了
沒有這個必要

harry900831 · 2023-06-21T17:22:05Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+
+如下圖所示，左圖是一棵建立在 \\( [1, 4] \\) 上的線段樹，每一個節點紀錄的資訊的左側是區間最大值，右側是嚴格次大值。現在我們要讓區間 \\( [1, 4] \\) 對 \\( 2 \\) 取 \\( min \\)。那麼左圖中紅色邊表示搜尋時經過的邊，紅色字體的節點表示搜索終止的節點，右圖為更新後的線段樹。
+
+<img src="image/segment_tree_beats/update_min.gif" width="600" style="display:block; margin: 0 auto;"/>


你把以下的圖濃縮到這一張內就好

因為這一個演算法沒有很難懂，難的事他的時間複雜度為什麼是對的

harry900831 · 2023-06-21T17:23:17Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+2. 考慮一次標記下傳，只讓標記類 \\( T \\) 的權值 \\( w(T) \\) 增加 \\( O(1) \\)。
+3. 當 \\( mx2 \geq x \\) 時，也就是情況三發生時，要進行遞迴搜尋，因為父節點的標記一定跟其中一個子節點一樣，所以每到一個節點至少回收一個標記，那麼 \\( \Phi(x) \\) 減少了 \\( O(1) \\)。
+
+<img src="image/segment_tree_beats/2-4.gif" width="600" style="display:block; margin: 0 auto;"/>


我覺得你的 gif 都動好快，可以考慮每一張圖片放慢一點

然後看有沒有什麼方式讓讀者知道現在是從新開始了

harry900831 · 2023-06-21T17:24:25Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+```cpp
+struct STB {
+    #define ls (u << 1)
+    #define rs (u << 1 | 1)
+
+    struct Node {
+        ll sum;
+        int l, r, mx1, mx2, cmx, tag;
+    } T[N << 2];
+
+    void pushup(int u) { // 向上更新標記
+        T[u].sum = T[ls].sum + T[rs].sum;
+        if (T[ls].mx1 == T[rs].mx1){
+            T[u].mx1 = T[ls].mx1;
+            T[u].cmx = T[ls].cmx + T[rs].cmx;
+            T[u].mx2 = max(T[ls].mx2, T[rs].mx2);
+        } else if (T[ls].mx1 > T[rs].mx1) {
+            T[u].mx1 = T[ls].mx1;
+            T[u].cmx = T[ls].cmx;
+            T[u].mx2 = max(T[ls].mx2, T[rs].mx1);
+        } else {
+            T[u].mx1 = T[rs].mx1;
+            T[u].cmx = T[rs].cmx;
+            T[u].mx2 = max(T[ls].mx1, T[rs].mx2);
+        }


remove Chinese comment for template code

harry900831 · 2023-06-21T17:24:54Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+    struct Node {
+        ll sum;
+        int l, r, mx1, mx2, cmx, tag;
+    } T[N << 2];


Is N << 2 enough? I'm curious

chihhsi · 2023-06-22T03:27:07Z

@harry900831 Waiting review

harry900831

Please revise the proof by potential method to make it more clear
You may refer to others PR or the article that has been merged into NTHU-CPP to know that what kind of article you have to write.
Please fix markdownlint and textlint.
There should be two section
1. Example problem: you should explain the problem in detail (including problem description, solution, code, time complexity/correctness analysis...). Also, please solve these problem with your own template code that mention above.
2. Exercise problem: a problem list that reader may do if they want to practice treap, you don't have to explain these problem in detail, you may provide hint only.
Please reorganize the section, since you have more time now. You may mention more technique / trick about segment tree beats

harry900831 · 2023-07-20T20:52:02Z

src/data_structure/image/segment_tree_beats/1-1.gif

src/data_structure/image/segment_tree/segment_tree_beats/.......

src/data_structure/segment_tree_beats.md

harry900831 · 2023-07-20T21:04:10Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+
+Segment Tree Beats（簡稱 STB）是北京大學的吉如一提出的概念，發表在《区间最值操作与历史最值问题》[^note-1]中。
+
+STB 可以滿足下列兩項性質：


這邊用滿足下列兩項性質有點怪

harry900831 · 2023-07-20T21:05:09Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+
+考慮下面這一種解法：
+
+對線段樹每一個節點除了維護區間和 \\( sum \\) 之外，還要額外維護區間中的最大值 \\( mx1 \\)，嚴格次大值 \\( mx2 \\) 以及最大值個數 \\( cmx \\)。


線段樹每一個節點除了維護區間和 \( sum \)、區間最大值 \( mx1 \) 之外，還要額外維護嚴格次大值 \( mx2 \) 以及最大值個數 \( cmx \)。

因此第二三種操作就是普通線段數直接更新就好
現在讓我們考慮第一種操作

harry900831 · 2023-07-21T14:49:01Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+#### 歷史最大值
+
+當前位置下曾經出現過的數的最大值。定義一個輔助數組 \\( B \\)，最開始 \\( B \\) 數組與 \\( A \\) 數組完全相同。在每一次操作後，對每一個 \\( i \in [1, n] \\)，我們都進行一次更新，讓 \\( B_i = max(B_i, A_i) \\)。這時，我們將 \\( B_i \\) 稱作 \\( i \\) 這個位置的歷史最大值。
+
+<img src="image/segment_tree_beats/6-1.jpg" width="500" style="display:block; margin: 0 auto;"/>
+
+#### 歷史最小值
+
+當前位置下曾經出現過的數的最小值。定義一個輔助數組 \\( B \\)，最開始 \\( B \\) 數組與 \\( A \\) 數組完全相同。在每一次操作後，對每一個 \\( i \in [1, n] \\)，我們都進行一次更新，讓 \\( B_i = min(B_i, A_i) \\)。這時，我們將 \\( B_i \\) 稱作 \\( i \\) 這個位置的歷史最小值。
+
+<img src="image/segment_tree_beats/6-2.jpg" width="500" style="display:block; margin: 0 auto;"/>
+
+#### 歷史版本和
+
+定義一個輔助數組 \\( B \\)，最開始 \\( B \\) 數組中的所有數都是 \\( 0 \\)。在每一次操作後，對每一個 \\( i \in [1, n] \\)，我們都進行一次更新，讓 \\( B_i \\) 加上 \\( A_i \\)。這時，我們將 \\( B_i \\) 稱作 \\( i \\) 這個位置的歷史版本和。


沒有講解這些操作怎麼處理？

harry900831 · 2023-07-21T14:49:23Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+> 例題 2. [Tyvj - CPU 監控](http://www.tyvj.cn/p/1518)
+>
+> 給一個長度為 \\( n \\) 的序列 \\( A \\)，同時定義一個輔助數組 \\( B \\)，\\( B \\)開始與 \\( A \\) 完全相同。接下來對其進行 \\( m \\) 筆操作，操作有四種：
+>
+> 1. 給定 \\( L, R, x \\)，對所有 \\( i \in [L, R] \\)，將 \\( A_i \\) 修改成 \\( x \\)。
+> 2. 給定 \\( L, R, x \\)，對所有 \\( i \in [L, R] \\)，將 \\( A_i \\) 加上 \\( x \\)。
+> 3. 給定 \\( L, R \\)，對所有 \\( i \in [L, R] \\)，輸出 \\( A_i \\) 的最大值。
+> 4. 給定 \\( L, R \\)，對所有 \\( i \in [L, R] \\)，輸出 \\( B_i \\) 的最大值。
+>
+> - \\( n, m \leq 10^5 \\)


這題目敘述沒錯嗎？

沒有提到怎樣會更改到B啊

harry900831 · 2023-07-21T14:50:11Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+
+### 可以用懶標記處理的問題
+
+> 例題 2. [Tyvj - CPU 監控](http://www.tyvj.cn/p/1518)


invalid link

Tyvj 又是什麼 oj?

能使用常用oj 就勁量使用常用oj

src/data_structure/segment_tree_beats.md

harry900831 · 2023-07-21T14:50:59Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+
+</details>
+
+### 歷史最值問題


這個章節需要重新organize

harry900831 · 2023-09-17T14:42:38Z

Please resolve the conversation if you fix it~

src/data_structure/image/segment_tree/segment_tree_beats/1-1.gif

src/data_structure/segment_tree_beats.md

harry900831 · 2023-09-18T15:45:19Z

src/data_structure/segment_tree_beats.md

+
+<img src="image/segment_tree/segment_tree_beats/3-2.gif" width="700" style="display:block; margin: 0 auto;"/>
+
+最後讓區間 \\( [4, 4] \\) 的元素加上 \\( 1 \\)。階層為 \\( 2 \\) 的右邊節點下傳區間加標記，接著發現其左子節點的 \\( mx2 < 3 < mx1 \\)，所以需要用 \\( 3 \\) 更新左子節點的最大值和最小值。


這部分看起來是會造成時間複雜度跟上一題不同的最大關鍵
但是單純看你上面的敘述想不到會這樣

harry900831 · 2023-10-04T13:33:30Z

@chihhsi Do you receive my discord message?

chihhsi added 10 commits May 14, 2023 23:37

segment_tree_beats

ae9f45b

Merge remote-tracking branch 'origin/main' into segment_tree_beats

4dc8ae5

revise first half

6b3b584

revise summary

d819d5f

add historical

c7c60f5

add conclusion

c993f9c

add tag function

446194a

add reference

46683f1

revise time

0262744

time

66229fc

chihhsi changed the title ~~Segment beats~~ Segment Beats Jun 21, 2023

chihhsi added 2 commits June 21, 2023 17:04

new

bff1a9c

prove

ca76c11

chihhsi changed the title ~~Segment Beats~~ Segment Tree Beats Jun 21, 2023

chihhsi added 2 commits June 22, 2023 01:03

finish first half

b5bd4fb

only

9ac2466

harry900831 requested changes Jun 21, 2023

View reviewed changes

improve

5fc1b2a

chihhsi requested a review from harry900831 June 22, 2023 03:26

chihhsi added 3 commits June 22, 2023 11:33

modify little

e574916

second half

64cbe1c

finish second half

496dc01

harry900831 linked an issue Jun 27, 2023 that may be closed by this pull request

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9a975df

chihhsi requested a review from harry900831 August 22, 2023 10:33

chihhsi added 2 commits September 14, 2023 15:37

revise code

c279ba5

finish time

0ee9270

add explanation

08b833e

harry900831 requested changes Sep 18, 2023

View reviewed changes

chihhsi added 2 commits October 3, 2023 20:29

revise definition

d7fc6d1

add time

58a457b

chihhsi requested a review from harry900831 October 4, 2023 09:36

remove little

0dcd478

revise image

7272b43

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Segment Tree Beats #90

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harry900831 Sep 18, 2023

harry900831 commented Oct 4, 2023


		如下圖所示，左圖是一棵建立在 \\( [1, 4] \\) 上的線段樹，每一個節點紀錄的資訊的左側是區間最大值，右側是嚴格次大值。現在我們要讓區間 \\( [1, 4] \\) 對 \\( 2 \\) 取 \\( min \\)。那麼左圖中紅色邊表示搜尋時經過的邊，紅色字體的節點表示搜索終止的節點，右圖為更新後的線段樹。

		<img src="image/segment_tree_beats/update_min.gif" width="600" style="display:block; margin: 0 auto;"/>


		Segment Tree Beats（簡稱 STB）是北京大學的吉如一提出的概念，發表在《区间最值操作与历史最值问题》[^note-1]中。

		STB 可以滿足下列兩項性質：


		考慮下面這一種解法：

		對線段樹每一個節點除了維護區間和 \\( sum \\) 之外，還要額外維護區間中的最大值 \\( mx1 \\)，嚴格次大值 \\( mx2 \\) 以及最大值個數 \\( cmx \\)。


		### 可以用懶標記處理的問題

		> 例題 2. [Tyvj - CPU 監控](http://www.tyvj.cn/p/1518)


		<img src="image/segment_tree/segment_tree_beats/3-2.gif" width="700" style="display:block; margin: 0 auto;"/>

		最後讓區間 \\( [4, 4] \\) 的元素加上 \\( 1 \\)。階層為 \\( 2 \\) 的右邊節點下傳區間加標記，接著發現其左子節點的 \\( mx2 < 3 < mx1 \\)，所以需要用 \\( 3 \\) 更新左子節點的最大值和最小值。

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