Modélisation d'une épidémie sous Julia
Actuellement il y a deux fichiers :
- SIR_models.jl
- Diffusion_model.jl
Premier modèle simple qui se base sur un système d'équation relativement basique.
On note S la population susceptible d'avoir le virus,
I la population infectée par le virus,
et R la population guérit ou morte du virus,
On a ainsi les équations suivantes:
$$
\frac{dS}{dt} = - \frac{\beta SI}{N}
$$
$$
\frac{dI}{dt} = \frac{\beta SI}{N} - \gamma I
$$
$$
\frac{dR}{dt} = \gamma I
$$
avec
Ceci correspond au modèle SIR.
Lorsqu'executé le document créera des courbes grace à PyPlot qu'il faut avoir installé.
- Existence et Unicité de la solution
- Point fixes
- Stabilité
- Invariants
- Comportement global.
On reprend les mêmes équations que précédement mais en y ajoutant de la diffusion.
Lorsqu'executé le document créera des courbes grace à PyPlot qu'il faut avoir installé.
Attention il faut que
- Conditions limites
- Dérivation de cette ́equation
- Rôle de D
- Points fixes
- Invariants
- Comportement global des solutions
- Comment valider votre résultat ?
- Faire une ́etude de stabilité de la méthode d’Euler explicite sur
$\dot{x}=−\lambda x,λ >0$ - Puis sur ̇$\dot{x}=−Ax$ où A est une matrice symétrique définie positive.
- En déduire une relation entre
$∆t$ et$∆x$ pour le cas de l’équation de la chaleur. Que se passe-t-il si cette condition n’est pas vérifiée ? - A quelle erreur vous attendez-vous en fonction de
$∆x$ et$∆t$ ? Vérifier numériquement. - Implémentez la méthode d’Euler implicite pour cette ́equation, et résolvez le système obtenir par la méthode de Newton.
- Peut-on garantir la convergence de la méthode de Newton?
- Quelle est la complexité de cet algorithme par rapport au nombre de points
$N$ ? Utiliser une méthode d’inversion itérative. - Quel est le coût par itération en fonction de
$N$ ? Quel est le coût total ?
- Maths: Etude d’existence et d’unicité de solutions (recherche bibliographique),analyse de stabilité d’EDP...
- Méthodes d’intégration: essayer d’autres méthodes (ordre supérieur, méthodes avec contrôle d’erreur...), utiliser des bibliothèques existantes...
- Résolution d’équations: utiliser une méthode de Krylov, utiliser des bibliothèques existantes...
- Modélisation:
- Changer de classe de modèle (modèle stochastique, à agents...),
- Complexifier celui-ci (SEIR),
- Utiliser un modèle pour illustrer ou répondre à une question pratique (comment confiner une population,
- Quelle stratégie pour minimiser le nombre de morts, impact ́economique...)
- Données: calibrer le modèle, tenter de prédire l’évolution, à partir de quand dans une épidémie peut-on raisonnablement extrapoler une courbe...
- Informatique: optimiser le code, le paralléliser, faire une interface graphique..
- PyPlot