CMC-SpeedRun

速通全国大学生数学竞赛教程(非数学专业)

针对🐹🐹的CMC-SpeedRun

• CMC-SpeedRun
• 前言
  • 读者须知
  • 🐹🐹情况
• 如何速通
  • 第零步：准备工作
    • 🌟三角函数部分
    • 🌟导数工具部分
    • 🌟数列部分
    • 🌟不等式部分
    • 🌟反三角函数部分
  • 第一步：打好基础
  • 第二步：各章节知识点DLC
    • 1️⃣第一章 函数、极限、连续
      • 🌟Cauchy极限存在准则
      • 🌟Cauchy极限公式
      • 🌟奥特曼法
      • 🌟Stolz定理
      • 🌟中值定理求极限的方法
      • 🌟Stirling公式
      • 🌟无穷大量的比较
      • 🌟Darboux定理
      • 🌟一致连续的定义
      • 🌟Lipschitz条件
    • 2️⃣第二章 一元函数微分学
      • 🌟凑导数定义
      • 🌟Leibniz公式
    • 3️⃣第三章 一元函数积分学
      • 🌟区间再现公式
      • 🌟Wallis公式
      • 🌟三角函数有关的积分公式
      • 🌟积分中值定理
      • 🌟组合积分法
      • 🌟积分形式Cauchy-Schwarz不等式
    • 4️⃣第四章 多元函数微分学
      • 🌟偏导数与连续的关系
      • 🌟二元函数Taylor展开
    • 5️⃣第五章 多元数量值函数积分学
      • 🌟二重积分的和式极限
      • 🌟雅可比行列式
      • 🌟二重积分的换元公式
      • 🌟二重积分的极坐标换元
      • 🌟二重积分的球面坐标换元
      • 🌟二重积分的分部积分公式
      • 🌟三重积分换元公式
      • 🌟三重积分柱面坐标换元
      • 🌟三重积分球面坐标换元
    • 6️⃣第六章 多元向量值函数积分学
      • 🌟Green公式
      • 🌟Stokes公式
      • 🌟Gauss公式
    • 7️⃣第七章 常微分方程
      • 🌟可化为齐次方程的微分方程
      • 🌟Bernoulli方程
      • 🌟Euler方程
      • 🌟Liouville公式
      • 🌟常数变易法
    • 8️⃣第八章 无穷级数
      • 🌟Euler常数
      • 🌟拉链定理
      • 🌟Cauchy乘积
      • 🌟Cauchy收敛定理
      • 🌟Weierstrass准则
      • 🌟Parseval恒等式
  • 第三步：开始速通真题
• 资料库
  • 推荐书籍
  • 往届真题
    • 初赛
    • 决赛
  • 权威公众号
• 🐹🐹的笔记
• 联系🐹🐹

前言

读者须知

本文适用于国内准大学生、大学生对CMC(全国大学生数学竞赛)或其他类似竞赛有准备需要的学生或者🐹🐹。

注意是非数，非数，非数！鼠鼠是CS学生，所以参加的是非数学类的CMC！本SpeedRun教程也是针对非数的教程。

一般CMC比赛时间：初赛每年11月左右，决赛每年3月左右，具体情况具体分析。

尤其是刚学完微积分课程的学生来说，知识掌握程度最佳，基本上不用准备也可能拿到初赛的三等奖，当然拿奖与否，跟你报名的赛区也是息息相关。

本文加入了适量emoji表情以增加可读性,请见谅。

前排：如果Github你下载太慢，欢迎前往以下链接下载 https://www.aliyundrive.com/s/qun3Q7sy5EG

🐹🐹情况

下面介绍一下🐹🐹的情况。

高考数学全国一卷120(并非你想的那么高) 所以人人都有机会完美速通CMC

高数上总评98

高数下总评92

线代总评97

离散数学总评95

从课内成绩来看，🐹🐹算是中规中矩，前期的铺垫固然重要，但是要速通CMC，后期的努力更重要。

大二参加第十四届全国大学生数学竞赛,初赛66分一等奖 (校内名单，所以有具体分数)

张贴在此处以增加🐹🐹文章的信服力,不然大街上随便找坨史也可以写这篇文章。

2023年6月补档，的确没有进入决赛，这里给大家一个参考，第十四届初赛66分编号88应该是全省88名没有达到决赛线。

如何速通

首先必须说明，在本科之前的基础也是重要的，尤其是三角函数、导数等工具的掌握，可能会影响本科课程中微积分的学习，但是影响不算巨大。

为了避免部分🐹🐹不知所措，茫然前行，本🐹🐹根据个人经验✍不断完善此库，以便帮助各位实现速通CMC。

在下文，我将列出在国内正常高中学习会涉及并且CMC中也会出现的数学工具,接下来是各种扩展知识点的介绍，最后是关于真题和一些资料的建议和推荐。

已经在本科学习完微积分课程并且总评优秀的可以跳过第零步和第一步。

第零步：准备工作

🌟三角函数部分

除了高中必修的三角函数变换、辅助角变换之后，大部分人都对积化和差、和差化积、万能公式不太熟悉，不必要死记硬背，但是遇到题目要能想到这一条退路。

下面三组公式常常在CMC中的求极限、求积分等题目中有出奇制胜的效果。

推导、记忆技巧等，详见各类辅助教材、网站。

积化和差

${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}$

${\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}$

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}$

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}$

和差化积

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$

${\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$

${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}$

万能公式

$\displaystyle \sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}$

$\displaystyle \cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

${\displaystyle \tan{x}=\frac{2t}{1-t^2}}$

${\displaystyle x=2\arctan{t}}$

🌟导数工具部分

所有初等函数的导数，链式法则，以及最重要的一个，取对数求导法。

例如，求 $y=x^x$ 的导数

$\ln y =x\ln x$

再求导,后面的步骤我就不说了。

🌟数列部分

基本的裂项，不动点法。

🌟不等式部分

均值不等式、柯西不等式、常见放缩。

🌟反三角函数部分

需要掌握定义、导数、以及一些常见恒等式

$arctan\frac{a-b}{1+ab}=arctan(a)-arctan(b)$

$arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$

第一步：打好基础

我将在这部分主要叙述各个阶段的应对措施，希望能够帮助到各位🐹🐹

教材我们学校用的是同济的高等数学，🐹🐹也有幸溜进交大上过一次微分方程的课，他们用的是高等教育出版社的《工科数学分析基础》，各自教材差别不算特别大，最好还是根据你们上课的教材为主。

如果您正在进行微积分课程/高等数学课程/数学分析课程，在能保证目前所学内容掌握良好的情况下，自学后续内容能够更好地帮助实现速通。

如果很不幸，您跟不上您正在进行的微积分课程，请参考目录中的资料库-推荐书籍进行额外努力，打好基础是速通的必要条件。

如果很幸运您恰好学完了微积分课程，并且掌握情况良好，请直接参考第二步，您也不需要基础的辅助教材。

具体来说，我没遇到什么特别难的微积分的题目，只要跟着老师或者自学，按部就班学习的话，基本上课内成绩不会太差。

其次，要明确 能力!=分数 ，绝大多数情况下，分数只能做个参考，特别是大部分高校评价成绩都是采用平时和卷面占比来计算成绩，所以请各位🐹🐹不要太放在心上。

第二步：各章节知识点DLC

在打好基础的情况下，也就是你对微积分掌握了绝大部分，但是CMC或者考研会要求更多一点点，在此处，鼠鼠将会详细列出正常课程中没有的内容，也就是俗称DLC

下面🐹🐹按照浦和平的《大学生数学竞赛教程》的目录来进行扩展进阶的知识点，注意是进阶，所以课内一些基础的、简单的我不会提及。

涉及的是扩展内容，不是本体内容。也就是额外内容(DLC)

对于食用DLC，本🐹🐹的建议是结合辅导书，根据DLC内容进行练习，而不是死记知识点。

1️⃣第一章 函数、极限、连续

🌟Cauchy极限存在准则

数列 $x_n$ 收敛的充分必要条件是：

对于任意给定的正数 $\epsilon$ ,存在正整数 ${N}$ ,使得当 $m>N,n>N$ 时，有 $|x_n-x_m|<\epsilon$

🌟Cauchy极限公式

若 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$ ,则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}}=A$

🌟奥特曼法

百度贴吧流传已久的一种求极限方法，其本质是“抓大头”，也就是变化最快的一个。数学语言描述如下：

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}}=max{\{a,b,c\}}$

🌟Stolz定理

俗称数列的L'Hospital定理

(1) 定理一( $\frac{*}{\infty}$ 型)

设数列 $a_n,b_n$ 满足:

$b_n$ 严格单调递增

且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}=+\infty$

那么,有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{b_n}}={\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}=L,$ 其中 $L$ 可以是有限数、 $+\infty$ 、 $-\infty$

(2) 定理二 ( $\frac{0}{0}$ 型)

设数列 $a_n,b_n$ 满足:

$b_n$ 严格单调递减且趋于零

且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}=0$

那么,有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{b_n}}={\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}=L,$ 其中 $L$ 可以是有限数、 $+\infty$、 $-\infty$

🌟中值定理求极限的方法

首先要先掌握一些中值定理，详见第三章DLC。

这个只能结合例题来说明；

例如，求极限 $\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\sin{x^x}-\sin{3^x}}{3^{x^x}-3^{3^x}}$

解: $\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\sin{x^x}-\sin{3^x}}{3^{x^x}-3^{3^x}}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\cos{\xi}}{3^\xi\ln 3}$ ,其中 $\xi$ 介于 $x^x$ 和 $3^x$ 之间，

所以 $\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\sin{x^x}-\sin{3^x}}{3^{x^x}-3^{3^x}}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\cos{\xi}}{3^\xi\ln 3}=\frac{\cos9}{3^9\ln 3}$

🌟Stirling公式

斯特林公式(Stirling公式)

用一坨答辩来逼近 $n!$

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{e^nn!}{n^n\sqrt{n}}}=\sqrt{2\pi}$

比较少数的CMC题目可以直接用这个公式。

🌟无穷大量的比较

如果学过算法分析，理解起来很容易，其实就是时间复杂度的比较。

当 $n\rightarrow+\infty$ 时，有

$\ln n$ $<$ $n^{\alpha}$ $<$ $n^{\beta}$ $<$ $a^n$ $<$ $n!$ $<$ $n^n$

$(0<\alpha<\beta, a>1)$

所以可以直接有：

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n!}{n^n}}=0$

🌟Darboux定理

$f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上不一定连续，

若 $f'(x)=\alpha$ , $f'(x)=\beta$ ,则 $\exists\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)$ 介于 $\alpha,\beta$ 之间

🌟一致连续的定义

了解即可。

对于任意 $\epsilon>0$ , $\exists\delta>0$ 使得对于任意 $x_1,x_2\in I$ 当满足 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$ 恒成立，则该函数在区间 $I$ 上一致连续。

🌟Lipschitz条件

了解即可。

对于在实数集子集的函数 $f:D\subseteq R$ ,若 $\exists$ 常数 $k$ 对于任意 $a,b\in D$ 使得 $|f(a)-f(b)|\le k|a-b|$ ,则称 $f$ 符合Lipschitz条件， $k_{min}$ 为Lipschitz常数，符合Lipschitz条件的 $f$ 必然一致连续，反之不一定。

2️⃣第二章 一元函数微分学

🌟凑导数定义

经常需要最原始的导数的定义来解决问题，所以虽然是很基础的内容，但是这里特地提一嘴。

$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

或者

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

🌟Leibniz公式

非常常见的求高阶导数的公式，使用频率很高。

$(f(n)\cdot g(n))^{(n)}=\sum C_n^i f^{(i)}(x)\cdot g^{(n-i)}(x)$

3️⃣第三章 一元函数积分学

🌟区间再现公式

1.有 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$

2.若 $f(x)$ 关于 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称，则 $\int_{a}^{b}xf(x)dx=\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)dx$

特例，也是常见的公式：

$\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx$

🌟Wallis公式

俗称点火公式/华莱士公式。

当 $n$ 为偶数时，

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}......\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$

当 $n$ 为奇数时，

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}......\frac{2}{3}$

🌟三角函数有关的积分公式

除了区间再现和Wallis公式之外，还有一些小的积分公式。

此外，要常常想起和差半倍的一些公式，有利于积分，以及一些分部积分的技巧。

公式1：

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx$

证明1：

令 $x=\frac{\pi}{2}-t$ ，剩下的你来。

公式2:

$\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx$

证明2：

令 $x=\pi-t$ ，剩下的你来。

🌟积分中值定理

积分第一中值定理

若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 不变号，且 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上是可积的，则在 $[a,b]$ 上至少存在一个点 $\epsilon$ ,使得：

$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\epsilon)\int_{a}^{b}g(x)dx$

🌟组合积分法

这种积分的方法真要说，可以出一本书来讲。

不过这里介绍的只是一点点皮毛，主要思路是,观察所求积分的特点，再利用对称的积分或者一些已知的积分，然后用不定积分的加减法来得到线性方程，再接着解方程，从而求得一些复杂积分的解。

经典的例子：

求积分 $\int{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}}dx$

解： 记所求积分为 $I=\int{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}}dx$

考虑另外一个积分 $J=\int{\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}}dx$

则有 $I+J=\int{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}}dx=\int dx=x+C$

又因为 $J-I=\int{\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}}dx=\int{\frac{1}{\sin x+\cos x}}d{(\cos x+\sin x)}=\ln{|\sin x+\cos x|}+C$

上述俩个式子相减，得到 $2I=x+\ln{|\sin x+\cos x|}+C$

则 $I=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \ln{|\sin x+\cos x|}+C$

更多内容，详见各教辅或其他工具书。

🌟积分形式Cauchy-Schwarz不等式

$(\int f(x)g(x)dx)^2 \le \int f^2(x)dx \cdot \int g^2(x)dx$

4️⃣第四章 多元函数微分学

🌟偏导数与连续的关系

按照同济教材的内容，一般都是

俩个偏导数在点 $(x,y)$ 存在且连续，则可以推出函数在该点可微。

但是，实际上，只需要一个偏导数存在(不一定连续)，另一个偏导数存在且连续,则可以推出函数在该点可微。

🌟二元函数Taylor展开

首先引入记号：

$(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)$ 表示 $hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)$

同样的，

$(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)$ 表示 $h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{xy}(x_0,y_0)$

更一般地，

$(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{m}f(x_0,y_0)$ 表示

$\sum_{p=0}^{m}C_{m}^{p}h^pk^{m-p}\frac{\partial ^mf}{\partial x^p\partial y^{m-p}}|_{(x_0,y_0)}$

设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有直到 $n+1$ 阶连续偏导数， $(x_0+h,y_0+k)$ 为此邻域内任一点，则有

$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)+...+\frac{1}{n!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0,y_0)+R_n$

其中， $R_n=\frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)$

其中， $(0 \lt \theta \lt 1)$

这就是 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的 $n$ 阶泰勒展开公式，其中 $R_n$ 被称为拉格朗日余项。

5️⃣第五章 多元数量值函数积分学

🌟二重积分的和式极限

请类比一元积分的定义，这部分将很好理解。

下面用例题来说明；

大绿书第五章例3：

计算 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{2n}{\frac{2}{n^2}[\frac{2i+j}{n}]}$ ,这里 $[x]$ 是不超过 $x$ 的最大整数.

解：

🌟雅可比行列式

重积分换元的必经之路，雅可比(Jacobi)行列式。

看懂下面的部分需要线性代数基础,并且我只针对下面需要用到的的换元公式来说明该部分，详情请自行查阅、搜索。

直观上说，雅可比行列式表示 $xOy$ 平面上的面积微元和换元后的 $uOv$ 平面上的面积微元的比值。

设 $x=x(u,v),y=y(u,v)$

则Jacobi行列式

则有 $dxdy=|J|dudv$

注意一定要加绝对值。

🌟二重积分的换元公式

下面介绍一般的二重积分换元公式

结合上述的Jacobi行列式，换元变得迎刃而解。

作换元 $x=x(u,v),y=y(u,v)$

则 $\iint_{D}f(x,y)dxdy=\iint_{D'}f[x(u,v),y(u,v)]\cdot {|J|}dudv$

注意一定要加绝对值。

具体能怎么运用呢？实际上可以参考大绿书第五章例9的方法2

它这题方法2实际上是线性变换，可以参考线性代数里面的线性变换.

🌟二重积分的极坐标换元

一般换元公式的特例之一。

只需要将具体的换元代入即可。

作换元 $x=r\cos \theta,y=r\sin \theta$

于是

则有 $dxdy=rdrd\theta$

现在知道极坐标换元的面积微元怎么来的吧~

注意一定要加绝对值。

🌟二重积分的球面坐标换元

一般换元公式的特例之一。

🌟二重积分的分部积分公式

把格林(Green)公式中被积函数换成俩函数乘积即可推出二重积分的分部积分公式。

$\iint_{\Omega}f\frac{\partial g}{\partial x}dxdy=\oint_{\partial \Omega}(f\cdot g)dy-\iint_{\Omega}g\frac{\partial f}{\partial x}dxdy$

$\iint_{\Omega}f\frac{\partial g}{\partial y}dxdy=-\oint_{\partial \Omega}(f\cdot g)dx-\iint_{\Omega}g\frac{\partial f}{\partial y}dxdy$

🌟三重积分换元公式

类比于二重积分换元公式。

🌟三重积分柱面坐标换元

类比于二重积分柱面坐标换元。

🌟三重积分球面坐标换元

类比于二重积分球面坐标换元。

6️⃣第六章 多元向量值函数积分学

其实第六章内容不多，无非就是前面的积分整一整，再多几个向量形式的积分公式而已。

🌟Green公式

课内已有，不再赘述。

🌟Stokes公式

课内已有，不再赘述。

🌟Gauss公式

课内已有，不再赘述。

7️⃣第七章 常微分方程

人类对微分方程的研究其实不多，很多微分方程人类都是解不出来的，所以CMC应该不会出太难的微分方程的题目。

这部分DLC不多。

🌟可化为齐次方程的微分方程

🌟Bernoulli方程

形如 $y'+P(x)y=Q(x)y^n$ 的微分方程

俩边同时除 $y^n$ 即可得到

$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$

之后再换元 $z=y^{1-n}$

解关于 $z$ 的一阶线性微分方程即可。

🌟Euler方程

以二阶的微分方程为例子（n阶同理）:

对于方程 $x^2y''+pxy'+qy=f(x)$

作变量代换 $x=e^t$ 或 $t=\ln x$ ，方程化为二阶常系数线性微分方程

$D(D-1)y+pDy+qy=f(e^t)$

其中， $D=\frac{d}{dt}$

🌟Liouville公式

对于二阶线性齐次微分方程

$y''+p(x)y'+q(x)y=0$

已知一个特解 $y_1$ ,则另一个线性无关的特解为 $$y_2=y_1\int{\frac{1}{y_1^2}e^{-\int{p(x)dx}}}dx$$

证明：

🌟常数变易法

第十三届CMC初赛中，大题第三题可以直接用常数变易法解方程，然后再判断有界性，相比给出的奇技淫巧，更为简单粗暴，可以直接求得答案。

比如常数变易法求二阶线性方程 $y''+py'+qy=f(x)$ 的步骤：

8️⃣第八章 无穷级数

🌟Euler常数

了解即可，一个发散级数带来的常数。

$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\ln n+ \gamma$

其中， $\gamma \approx 0.57721 56649$ 为欧拉常数。

换句话说，

$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\ln n= \gamma$

$(0<\alpha<\beta, a>1)$

所以可以直接有：

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n!}{n^n}}=0$

🌟拉链定理

其实这个点也可以放在第一章里面。

数列收敛的充要条件是其奇、偶子数列收敛于同一极限。

🌟Cauchy乘积

也叫做俩数列的离散卷积。

Cauchy乘积的定义为：

对于俩个级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ ,不论其敛散性，其Cauchy乘积为:

$(\sum_{n=0}^{\infty}a_n)\cdot(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{n}a_mb_{n-m})$

🌟Cauchy收敛定理

若 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ 绝对收敛，且 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n=A$ , $\sum_{n=0}^{\infty}b_n=B$ 则其柯西乘积绝对收敛，且收敛到 $A\cdot B$

也就是说， $(\sum_{n=0}^{\infty}a_n)\cdot(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{n}a_mb_{n-m})=A\cdot B$

🌟Weierstrass准则

若存在一个收敛的正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ ，对任意 $n\in N_{+}$ 以及任意 $x\in I$ ，恒有 $|u_n(x) \le M_n|$ 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛。

🌟Parseval恒等式

设 $f(x)$ 是 $[0,2\pi]$ 上的分段连续函数，且 $f(x)~\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos {nx}+b_n \sin {nx})$ 则有 $\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}(f(x))^2dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$

第三步：开始速通真题

参考资料库或者其他各种渠道的真题即可。

速通建议：配合本文DLC的知识点，再利用“大绿书”做相应知识点的练习。

在完成大部分DLC知识点的巩固后，可以进一步直接做真题，参考资料库中往年的真题汇总和解析即可。

这部分大概耗时1个月就可以了，如果想要得到一等奖或者决赛入场券，可以适当延长练习时间，更广泛巩固DLC知识点和本体知识点。

资料库

资料库包含部分电子版推荐书籍，往届真题，🐹🐹的笔记。

均上传到了本库中的source文件夹中。

推荐书籍

1.数学分析习题集-吉米多维奇著

俗称就是吉米多维奇习题集。

非常不建议全部做一遍，因为非常多，会耗费大量时间。（鼠鼠的个人观点）

可以偶尔翻两下。

2.大学生数学竞赛教程-蒲和平著

俗称大绿书，鼠鼠当初只用了这一本书，推荐指数🌟🌟🌟

对着🐹🐹总结的DLC，做对应知识点的练习题足以速通。

3.大学生数学竞赛习题精讲-陈兆斗著

没做过，听说还不错。鼠鼠就只用过大绿书，比鼠鼠努力且有时间的可以试试这本。

4.普林斯顿微积分读本

略读过，感觉有点cjb了，就是辅导差生学好微积分而已，个人觉得用处不大。

因为如果你能在系统的学习下掌握知识，那么这种书对你来说就是鸡肋。

推荐的原因是，如果你是小白，那么这本书还是不错的。

5.数学女孩系列

神中神，🐹🐹高中时期午休时光的精神食粮，对我来说附带青春buff，而且里面很多数学科普知识跨度很大，从幼儿园到人类前沿，漫游各个领域的数学知识，属于提升素养方面的书籍。

放在本速通教程中纯属是🐹🐹个人推荐，对速通CMC或许有着无用之用的用处。

往届真题

截止到目前鼠鼠更新本库，一共进行了十四届CMC。

初赛

初赛的题目都是只包含高等数学的内容，考试大纲请参考官方网站。

资料库索引：

sources/真题

决赛

决赛的题目除了包含80%的高等数学内容外，还包含20%的线性代数内容。

由于🐹🐹在更新本文时，并不清楚自己是否进入了决赛名单(很有可能没有),所以这部分内容不多。

2023年6月补档，的确没有进入决赛，这里给大家一个参考，第十四届初赛66分编号88应该是全省88名没有达到决赛线。

资料库索引：

sources/真题

权威公众号

这里不得不说一个非常权威的公众号：

考研竞赛数学

里面各种真题、模拟题、每日一题等等等等，内容丰富。

🐹🐹的笔记

本🐹🐹在数学方面记的东西是少之又少，但是多少还是有点硬通货的，我将会把pdf版本的笔记放在本github库中，以便其他🐹🐹参考学习，请各位斧正。

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