Возникновение пробок и явление фазового перехода в системах массового обслуживания

Рассматривается задача о росте очереди. Пример такой задачи - касса в магазине

Постановка задачи

Люди подходят к кассе с интенсивностью $\varphi(t)$ - монотонно неубывающей со временем; кассир обслуживает людей с постоянной интенсивностью $\lambda$. Ставится вопрос: насколько быстро будет меняться среднее число людей в очереди? Поняв это, можно, например, предсказывать через сколько времени придётся открыть вторую кассу и решать другие прикладные задачи.

Стационарный случай

Рассатривается стационарный марковский процесс. Для него выводится динамика роста очереди, в которой наблюдается фазовый переход

Численное решение

Для общего случая решается система дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4 порядка

Моделирование

Моделирование происходит следующим образом. Рассматриваемый промежуток времени разбивается на отрезки длины $dt$. На каждом отрезке $[t, t + dt]$ интенсивность прихода новых людей в очередь считается постоянной. Вычисляется вероятность появления нового человека в очередди на этом отрезке как вероятность этого отрезка в экспоненциальном распределении с интенсивностью $\varphi(t)$. Семплируется бернуллиевская случайная величина с такой вероятностью. Аналогично семплируется уход человека из очереди. В итоге строется траектория зависимости длины очереди в разные моменты времени с шагом $dt$. Строится несколько таких траекторий, затем результаты усредняются.