26-yuyu0830

[yuyu0830]

🔗 문제 링크

선분 그룹

✔️ 소요된 시간

4시간

✨ 수도 코드

❓ 문제

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❗ 풀이

문제를 읽어보면 크게 2가지 과제가 있는 걸 알 수 있다. 선분 교차 판정 알고리즘과 분리 집합 문제로 나눌 수 있다.

1️⃣ 선분 교차 판정

저번에 풀었던 문제 에서도 선분 교차 판정을 다룬 적이 있다. 그 때 사용한 알고리즘은 선분을 직선으로 만든 뒤, 직선의 교차점을 찾아 교차점이 두 선분 위에 있는지 확인하는 알고리즘이다.

당시에 너무나도 많은 예외 상황에 고생했던 기억이 난다. 그래서 이번엔 얌전히 CCW 알고리즘 을 사용했다.

CCW 알고리즘은 외적을 사용해 선분의 교차 여부를 판단한다(와 외적 진짜 오랜만) 외적은 간단히 말하면 두 벡터에 모두 수직하는 벡터를 구할 수 있다. 평행하지 않은 두 벡터에 모두 수직이기 위해 z 축 상의 벡터가 나오게 된다. (외적에 대해 자세히 다루긴 어려울 것 같으니 참고한 링크를 첨부합니다)

두 벡터는 3가지 방향성을 띌 수 있다.

이 때, 외적의 결과로 나오는 벡터는 평행을 제외한 회전 방향에 따라 z축에서 양, 혹은 음의 값을 가진다.

회전 방향에 따른 z축에서의 양, 혹은 음의 값은 오른손 법칙을 생각하면 된다. 벡터의 회전 방향을 따라 오른손 그립을 쥐었을 때 엄지의 방향이 z축의 방향이 된다.

CCW 알고리즘에서는 회전 방향에 따라 z축 에서의 값이 음, 혹은 양 으로 나온다는 점을 사용한다. 교차하는 두 선분 A (x, y), B (w, z)를 그려보자.

선분 A 를 중심으로 보면 A가 B를 반으로 가르고 있다. 즉 A를 중심으로 봤을 때 B를 이루는 점 w, z는 서로 반대방향에 위치할 수 밖에 없다. 이러면 아까 회전 방향에 따라 z축의 값이 양수 혹은 음수로 나오는 점을 이용할 수 없을까?

교차하는 선분은 무조건 한 선분을 기준으로 봤을 때 다른 선분을 이루는 점이 반대방향에 위치하기 때문에 각 점에 대해 외적을 하면 무조건 양수 하나, 음수 하나가 나오게 된다!

하지만 한 선을 기준으로만 확인하면 아래와 같은 예외가 생긴다.

두 선분은 교차하지 않지만 선분 B 기준으로 봤을 때 x, y는 서로 반대 방향에 위치하기 때문에 음수, 양수 하나씩 나온다. 즉 두 선분을 기준으로 구했을 때 각각 음수 한번, 양수 한번 나오면 이 두 선분은 교차함을 알 수 있다!

2️⃣ 분리집합

문제에서 최대 3000개의 선분이 주어진다. 처음엔 모든 선분끼리 비교는 너무 많은 오버헤드가 생길 것 같아 줄일 방법을 생각했는데 CCW가 생각보다 오버헤드가 작았고, 3000 * (3000 - 1) / 2 를 구해봐야 4,500,000번 연산이라 충분히 가능할 것 같았다.

그래서 그냥 선분 끼리 모두 연산해서 CCW 알고리즘을 적용했을 때 교차하는지 여부를 판단했다.

소스코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct Point {
    int x, y;
    void set(int X, int Y) {
        x = X;
        y = Y;
    }

    bool operator== (const Point t) {
        return x == t.x && y == t.y;
    }
};

struct Line {
    Point a, b;

    void set(int x1, int y1, int x2, int y2) {
        bool e;

        // x가 작은 순, 같다면 y가 큰 순
        // 사분면에서 왼쪽 위 점을 우선
        if (x1 != x2) e = x1 < x2;
        else e = y1 > y2;
        
        a.x = e ? x1 : x2;
        a.y = e ? y1 : y2;
        b.x = e ? x2 : x1;
        b.y = e ? y2 : y1;
    }
};


// CCW
Line arr[3001];
bool visited[3001] = {0, };

int CCW(Point a, Point b, Point c) {
    int t1 = a.x * b.y + b.x * c.y + c.x * a.y;
    int t2 = a.y * b.x + b.y * c.x + c.y * a.x;

    int s = t1 - t2;

    if (s > 0) return 1;
    else if (!s) return 0;
    else return -1;
}

bool isIntersect(Line l1, Line l2) {
    Point p1 = l1.a;
    Point p2 = l1.b;
    Point p3 = l2.a;
    Point p4 = l2.b;

    if (p1 == p3 || p1 == p4 || p2 == p3 || p2 == p4) return true;

    int t1 = CCW(p1, p2, p3) * CCW(p1, p2, p4); // l1 기준
    int t2 = CCW(p3, p4, p1) * CCW(p3, p4, p2); // l2 기준

    // 두 직선이 일직선 상에 존재하면
    // 기울기가 0 혹은 무한인 경우 || 겹치는 경우
    if (!t1 && !t2) {
        bool x = (p1.x == p3.x && p2.x == p4.x) || (p1.x <= p4.x != p2.x <= p3.x);
        bool y = (p1.y == p3.y && p2.y == p4.y) || (p1.y >= p4.y != p2.y >= p3.y);

        return x && y;
    }

    return t1 <= 0 && t2 <= 0;
}

// union find
int parent[3001] = {0, };
int count[3001] = {0, };

int find(int v) {
    if (parent[v] == v) return v;
    return parent[v] = find(parent[v]);
}

void merge(int x, int y) { 
    parent[find(min(x, y))] = find(max(x, y));
}

int main() {
    int n; cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a, b, c, d; cin >> a >> b >> c >> d;
        arr[i].set(a, b, c, d);

        parent[i] = i;
    }

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            // i번째 Line는 0 ~ i - 1번째 Line까지 겹치는지 확인
            // 겹치면 Union 해버리기
            if (isIntersect(arr[i], arr[j])) 
                merge(i, j);
        }
    }
    
    // 겹침 여부가 뒤에 결정될 수도 있기 때문에 나중에 몰아서 개수 연산
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        ::count[find(i)]++;

    int cnt = 0, maxCnt = 0;

    // 개수 갱신
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (::count[i]) {
            cnt++;
            maxCnt = max(maxCnt, ::count[i]);
        } 
    }

    printf("%d\n%d\n", cnt, maxCnt);
}

📚 새롭게 알게된 내용

이번 PR 너무 길어요 ㅠㅠ

[InSange]

CCW가 익숙하지 않은 저로써는 그저 수학 + 구현 문제로 밖에 안보이더군요...

두 선분이 주어졌을 때 각 점을 비교해서 내적, 외적인 조건을 확인하고 그에 따른 추가적인 조건문들로 탐색했을 것 같습니다.
x1 x2, x3, y4가 있을 때 x1이 x3보다 작다면 x2는 x3보다는 커야하는 식으로..

CCW 개념은 아직 제대로 잡히지 않았지만 중심축 기준으로 왼손 좌표계, 오른손 좌표계가 기억이 떠오르긴 하지만 이게 맞는지는 잘 모르겠군요

외에도 겹치는 선분을 파악하기 위해서 UnionFind를 통해 갱신해주는 방식 잘 보았습니다. 다음에 기회가 된다면 풀어봐야 겠네요