9-YIM2UL2ET

[YIM2UL2ET]

🔗 문제 링크

BOJ 1914 - 하노이 탑

✔️ 소요된 시간

최대 5시간 (실질적인 풀이 시간 대략 60m?)

✨ 수도 코드

1. 문제 설명

이 문제는 하노이 탑의 원판 개수 n을 입력 받아 1 장대에 있는 원판들을 3 장대에 옮길 때
원판을 이동하는 횟수 k를 1번째 줄에 출력하고, 2~k+1번째 줄에 이동 순서를 출력하는 문제이다.
단, n이 20보다 크다면 이동 순서는 출력하지 않는다.

2. 문제 해석 및 구현

1. 하노이 탑 알고리즘

하노이 탑 알고리즘은 워낙 유명하지만 복습할 겸 한번 짚고 넘어갑시다.
3개의 장대 중 시작점을 start, 종착점을end, 그 사이를between 이라고 하겠습니다.

if 만약 `n`이 `1`이라면 원판이 하나밖에 없는 것이기 때문에 바로 `end`에 옮겨 넣는다. // 0번 연산
else {
    `n`번째 원판을 `end`장대에 옮기기 위해서 `1`~`n-1`번째 원판을 `between`에 옮기는 작업을 한다. (재귀) // 1번 연산
    `n`번째 원판을 `end` 장대에 옮긴다. // 2번 연산
    `between`에 있던 `1`~`n-1`번째 원판을 `end`에 옮기는 작업을 한다. (재귀) // 3번 연산
}

이를 코드로 구현하면 다음과 같습니다. (직접 원판을 옮기는 작업은 start와 end를 출력하는 방식으로 구현했습니다.)

void Hanoi(int level, int start, int between, int end)
{
    if (level == 1) std::cout << start << " " << end << "\n";  // 0번 연산
    else {
        Hanoi(level-1, start, end, between);  // 1번 연산
        std::cout << start << " " << end << "\n";  // 2번 연산
        Hanoi(level-1, between, start, end);  // 3번 연산
    }
    return;
}

더 설명하고 싶지만 풀어 쓰려면 정말 한 세월 걸릴 것 같네요..
링크 << 이 블로그에 설명 정말 잘 되어 있으니 이해 안되시는 분은 여기 보시면 될 것 같습니다.

2. 임의 정밀도 / 큰 수 연산

물론 이것만 추가해 주어서는 안되지요.
총 연산 횟수를 출력해 주기 위해서 main함수에 result를 선언해줍시다.

저는 처음에는 Hanoi 함수를 int형으로 변경하여 연산을 할 때마다 result를 +1 해주는 방식으로 했습니다.

int Hanoi(int level, int start, int between, int end)
{
    int result = 0;
    if (level == 1) std::cout << start << " " << end << "\n", result++;
    else {
        result += Hanoi(level-1, start, end, between);
        std::cout << start << " " << end << "\n", result++;
        result += Hanoi(level-1, between, start, end);
    }
    return result;
}

이렇게 말이죠.

이 함수 자체는 문제가 없습니다. 다만 문제를 풀려면 저 함수에는 치명적인 단점이 존재합니다.
바로 n이 20 이상이어도 이동 횟수를 구하기 위해 함수를 실행해야 하기 때문에 시간이 엄청 오래 걸린다는 것이죠.
따라서 result값은 따로 구해주어야 합니다.

그렇다면 result값을 따로 구하는 방법이 무엇인지 궁리해봅시다.
가장 철저한 방법은 재귀함수 실행 방식을 분석해서 하는 것이지만, 저는 1부터 출력해서 규칙성을 조사했습니다.

n	result
1	1
2	3
3	7
4	15
5	31

감이 빠르게 오시죠? 2^n-1을 통해서 result값을 구할 수 있습니다.

... n이 64 이하일땐 말이죠..
(unsigned long long형도 2^64-1의 수까지만 나타낼 수 있습니다. 따라서 n이 64를 넘어가면 오버플로우가 발생합니다.)
자 그렇다면 직접 2를 최대 100번 제곱하기 위해서 string 객체를 이용하여 로직을 짜봅시다.
그 전에 곱셈을 하는 방법을 분석해봅시다.

우선 함수 틀을 만들어주겠습니다.

std::string FindValue(int n)
{
    std::string result = "1";
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // n번 제곱해주어야 함.
        // 
    }
    result[result.size()-1]--;  // 제곱 후 -1을 해줘야함.
    return result;
}

이 때 마지막 코드인 제곱 후 result에 -1 해주는 연산은 해보면 알겠지만 일의자리 숫자가 2, 4, 8, 6 으로 순환하므로 0이 나오지 않기 때문에 10의 자리 숫자를 불러올 필요가 없습니다. 따라서 저렇게 -1만 연산 해주어도 문제가 없습니다.

보통 곱셈은 좌측부터 하기 때문에 문자열 맨 좌측부터 우측으로 가면서 연산하면 됩니다.
우리는 2를 제곱하는 연산이므로 '0'을 뺏다가 2를 곱하고 다시 0을 더하는 형식으로 ascii코드를 숫자로 사용하여 봅시다.
이를 코드로 구현하면 다음과 같습니다.

for (int j = 0; j < result.size(); j++) {  // 문자열의 좌측부터
    result[j] = (result[j] - '0') * 2 + '0';  // 임시로 `0`을 뺀 후 2를 곱한 후 다시 `0`을 더함.
}

하지만 result[j]가 '9'가 넘는 경우가 있겠죠. 예를 들어 7*2 = 14 인 경우는 저 연산을 하면 result[j]는 ascii코드로 62의 값을 가지는 '>'가 저장될 것입니다. 따라서 이런 경우는 따로 처리를 해주어야 합니다.
일반적으로 우리는 이런 경우 다음 자리 숫자에 1을 더해주고, -10을 해주는 것이 일반적이죠.
코드로 표현하면 result[j] -= 10 해주고, result[j-1]++ 해주면 되겠지요.

하지만 예외적으로 최대자릿수 숫자가 10을 넘게 된다면 어떻게 될까요? (j == 0 이라면?)
이 때는 다음 자리 숫자가 없으므로 문자열 맨 앞에 push를 해주면 됩니다.
이를 코드로 구현하면 다음과 같습니다.

result[j] -= 10;
if (j == 0) result.insert(result.begin(), '1'), j++;
else result[j-1]++;

PR쓰면서 깨달은 건데 추가적으로 result[j-1]++ 할 때 result[j-1]도 '9'를 넘길 가능성이 있어서 이 때도 처리를 해주어야 합니다. 근데 처리를 안 해도 맞다고 뜨네요. (이게 왜 됨???) 아마 2제곱만 하는 특수한 케이스 때문에 그런 것 같네요..
아무튼 생각난 김에 이를 처리를 해줍시다. 코드는 다음과 같이 짤 수 있습니다.

result[j] -= 10;
if (j == 0) result.insert(result.begin(), '1'), j++;  // 만약 result[j]가 맨 앞 문자라면 '1'을 맨 앞쪽에 push
else {
    for (int k = 1; k <= j; k++) {  // j-1부터 시작하여 문자열 좌측으로 이동하며 result의 각 문자 확인
        if (result[j-k] == '9') result[j-k] = '0';  // 문자가 '9'가 나오면 '0'으로 바꿈
        else {                                                  // 문자가 '9'가 아니면 '9'보다 작다는 뜻이므로 1 더해주고 break;
            result[j-k]++;
            break;
        }
    }
    if (result[0] == '0') result.insert(result.begin(), '1'), j++;  // 만약 최대자릿수 문자까지 '9'였었다면 맨 앞에 '1' push
}

3. 빠른 입출력 in C++

혹시 몰라서 처음 문제를 맞췄었을 때 빠른 입출력도 추가해 주었었습니다.

std::ios_base::sync_with_stdio(false);  // stdio.h 버퍼와 동기화 하지 않으므로써 cin, cout 가속
std::cin.tie(NULL);  // 출력을 맨 마지막에 한꺼번에 해줌으로써 시간을 단축시킴.

사실 cin과 cout을 쓰지 않고, sacnf와 printf를 쓰는 것이 빨라서 이 두 개를 사용하면 그만큼 시간이 단축된다고 합니다.
입출력 문제 관해서는 아래쪽 참고하시면 좋을 것 같습니다.
사실 생각해보니 함수 안에서만 킬 수 있어서 이 코드에서는 하나, 안 하나 차이가 별로 없는 것 같습니다.
(비교해보니 대충 30ms 차이나네요.)

3. 최종 코드

#include <iostream>

std::string FindValue(int n)
{
    std::string result = "1";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < result.size(); j++) {
            result[j] = (result[j] - '0') * 2 + '0';
            if (result[j] > '9') {
                result[j] -= 10;
                if (j == 0) result.insert(result.begin(), '1'), j++;
                else result[j-1]++;
            }
        }
    }
    result[result.size()-1]--;
    return result;
}

void Hanoi(int level, int start, int between, int end)
{
    if (level == 1) std::cout << start << " " << end << "\n";
    else {
        Hanoi(level-1, start, end, between);
        std::cout << start << " " << end << "\n";
        Hanoi(level-1, between, start, end);
    }
    return;
}

int main(void) {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::cout << FindValue(n) << "\n";
    if (!(n > 20)) Hanoi(n, 1, 2, 3);
    return 0;
}

📚 새롭게 알게된 내용

최근에 재귀를 많이 연습해보니 전에 못했던 하노이 탑 문제도 수월하게 가능하네요.
오히려 빠른 입출력과 임의 정밀도 / 큰 수 연산 측면에서 시간을 더 많이 썻습니다.
C++에서는 이걸 직접 구현하다 보니 좀 어렵네요.. (이 때 만큼은 파이썬이 부럽습니다..)
참고로 이 문제를 풀면 전에 PR에 올려주셨던 하노이 탑 이동순서 문제도 5분 이내로 수정해서 풀 수 있습니다.

오랜만에 구글링 계속 해가면서 테스트 코드 계속 짜고, 실험해보고 여러모로 재밌었던 문제였습니다.
아래는 저 두 문제 풀면서 입출력 문제 관해서 참고했던 블로그들입니다.
C++ 입출력 빠르게 하기 (1)
C++ 입출력 빠르게 하기 (2)
C++ 입출력 빠르게 하기 (3)

[kjs254]

익숙한 문제를 새롭게 다시 보게되네요. 재귀 부분은 저번에 민성님이 설명하셔서 금방 이해가 되었지만 N이 커지는 크는 경우는 깊게 생각해보지 않았네요.

재귀보다 이 경우를 구현하는게 더 어려워보이는 문제네요..

또한 실행 횟수는 점화식을 통해 일반식을 구할 수 있습니다. 하지만 일반식을 일일이 써내려가면서 구하는건 꽤 귀찮아서 몇 개의 숫자를 넣어서 유추하는게 사실 더 빠른 것이 사실입니다.

PR쓰면서 깨달은 건데 추가적으로 result[j-1]++ 할 때 result[j-1]도 '9'를 넘길 가능성이 있어서 이 때도 처리를 해주어야 합니다. 근데 처리를 안 해도 맞다고 뜨네요. (이게 왜 됨???) 아마 2제곱만 하는 특수한 케이스 때문에 그런 것 같네요..

말씀하신대로 2제곱 케이스라 일의 자릿수가 2, 4, 8, 6, 만 나타나기 때문에 9를 넘지 않는다고 생각되네요.

[mong3125]

C++에서는 큰 수를 표현할때 부담이 생기는군요...
문자열로 숫자를 표현하고 계산하는게 놀랍네요

java에서는 BigInteger라는게 있어서 그런 문제는 없었는데 다른 문제가 생겼었습니다.

출력할때 바로 print로 출력하면 메모리 초과가 발생하고 list에 저장한다음 모아서 출력하면 메모리 초과없이 통과하더군요..

이 문제로 한참 해맸는데 아직 잘 모르겠습니다. 주변사람이랑 같이 논의 해본결과 백준 환경문제지 않을까 하는 의심을 해보고 있습니다 ㅋㅋ 맞왜틀

System.out.printf("%d %d\n", from, to); 이렇게 하면 틀리고
steps.add(new int[] {from, to}); 이렇게 하고 나중에 for 문 돌려서 출력하면 통과합니다.

[rivkms]

하노이탑 문제가 확실히 재귀를 익히기에는 좋은 문제인 것 같네요!!

빠른 입출력도 사용해주셨는데 생각보다 저 빠른 입출력을 사용하지 않았을 때 시간초과나는 문제가 있는 것도 같아서 저도 저걸 쓰고 시작하는걸 습관화하려고 합니다

출력을 하실 때 그 점화식을 찾고, 이를 출력함으로서 시간을 단축하신 것도 좋은 코드라고 생각합니다!!

수고하셨습니다😁