5-mong3125

[mong3125]

🔗 문제 링크

백준 10986 - 나머지 합

✔️ 소요된 시간

아이디어랑 코드 구현은 빨랐는데 계속 오류가 터져서 알고보니 오버플로우 문제였습니다.
2시간은 삽질했네요.

✨ 수도 코드

구간 합...?

구간 합이라는 개념을 알고 있다면 쉽게 풀 수 있는 문제입니다.

'구간 합 배열'은 i 번째 요소가 0부터 i번째까지의 합으로 이루어진 배열입니다.

예를 들어, 숫자 배열이 {1, 2, 5, 8, 4, 7} 이렇게 있다고 가정하면 구간 합 배열은 {1, 3, 8, 16, 20, 27}이 됩니다.

이 때 만약 제가 인덱스가 2부터 4까지의 합을 구하고 싶다면 구간 합 배열의 인덱스 4의 요소 20에서 인덱스 1의 요소 3을 빼면 17이라는 결과를 바로 얻을 수 있습니다. 실제로 5 + 8 + 4의 결과는 17이죠

이 방법의 장점은 구간 합을 O(n)의 시간복잡도에서 O(1)로 줄일 수 있습니다.

문제의 메인 목표

문제에서 제시하는 목표는 연속된 부분의 합이 어떤 수 M으로 나누어 떨어지는 구간

즉, 구간 합 배열에서 어떤 요소 두 개를 빼고(S[j] - S[i-1]) 나머지 연산을 했을때(M으로 나눴을 때) 0이 나오는 경우의 수(i,j) 입니다.

이는 모듈러 정리에 의해 S[j] % M = S[i -1] % M를 만족하는 i, j를 뽑는 경우의 수입니다.

⇒ 구간 합의 나머지가 같은 인덱스 두 개를 뽑는 조합

1️⃣ 우선 구간 합 배열에 나머지 연산을 적용한 배열을 구해보겠습니다.

• 이전 나머지와 다음 입력(원소)를 더한 후, 나머지 연산을 하면 같은 결과가 나옵니다.

구간 합이라는 개념을 알고 있다면 쉽게 풀 수 있는 문제입니다.

'구간 합 배열'은 i 번째 요소가 0부터 i번째까지의 합으로 이루어진 배열입니다.

예를 들어, 숫자 배열이 {1, 2, 5, 8, 4, 7} 이렇게 있다고 가정하면 구간 합 배열은 {1, 3, 8, 16, 20, 27}이 됩니다.

이 때 만약 제가 인덱스가 2부터 4까지의 합을 구하고 싶다면 구간 합 배열의 인덱스 4의 요소 20에서 인덱스 1의 요소 3을 빼면 17이라는 결과를 바로 얻을 수 있습니다. 실제로 5 + 8 + 4의 결과는 17이죠

이 방법의 장점은 구간 합을 O(n)의 시간복잡도에서 O(1)로 줄일 수 있습니다.

구간 합의 나머지는?

구간 합의 나머지를 구하는 것은 이제 쉬워졌습니다. 그냥 합에서 나머지를 구하면 되니깐요.

하지만 매번 숫자를 입력받을때 마다 나머지를 구해서 저장을 하고 이전 값의 나머지와 이후 값을 더한 뒤에 나머지 연산을 해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 아래 그림처럼요!

2️⃣ 이제 나머지 연산을 한 원소들을 빼는 결과가 0이 나와야 되므로 나머지가 같은 것의 개수를 세어줍니다.

3️⃣ 조합으로 개수를 세어봅시다.

4️⃣ 나머지가 0인 경우는 자기 자신 하나로도 조건을 충족하므로(i==j 인 경우) 세어줍시다.

📚 새롭게 알게된 내용

• 구간 합의 나머지를 구할 때, 이전 나머지에서 새로운 수를 더하고 나머지 연산함으로써 메모리를 절약할 수 있음을 알게 되었습니다.
  • int 자료형으로 하니까 오버플로우가 발생해서 틀렸었습니다.
• 조합을 구하려고 할 때, 나머지보다 곱셈이 먼저 있다보니 int자료형에서 표현할 수 있는 범위를 넘어서 이를 long 타입으로 구현했습니다.

[YIM2UL2ET]

처음 문제에 N 크기 제한이 심상치 않은걸 보고 이걸 어떻게 풀어야 하나 싶었는데 구간 합 개념을 알고나니깐 문제를 어떻게 풀지 잘 보이네요. 수고하셨습니다!

[YIM2UL2ET]

조합을 한다고 하셨는데 어떤 원리로 조합을 하는건지 이 부분은 잘 이해가 가지 않네요.
구간 합의 나머지인 1~M이 나온 횟수를 이용하여 구한 것 같은데 부연 설명이 필요할 것 같습니다.

[rivkms]

✔️ 구간합의 나머지를 구하실 때 훌륭한 접근이라고 생각합니다!!
예전에 다른 문제를 풀 때 이런 식으로 접근했던 것이 기억이 납니다.

📝 예를 들어 A와 B의 합을 X로 나눈 나머지를 출력해야하는 상황에서 A+B의 값이 MAX_INT를 넘어가는 상황에서 A를 X로 나눈 나머지와 B를 X로 나눈 나머지를 더하여 나누는 방식을 사용했었습니다.
이와 유사한 상황 같은데, 이 문제에서는 사용해야겠다는 생각을 못했었네요!!

✔️ 또 이차원 배열을 사용하여 1~n까지의 구간합 말고도 n~m까지의 구간합을 구해야하나도 생각하였지만, 이번에 풀이하신 방법이 공간과 시간 측면에서 더 깔끔한 것 같습니다

수고하셨습니다.😁

[rivkms]

좋은 코드인 것 같습니다

[kjs254]

즉, 구간 합 배열에서 어떤 요소 두 개를 빼고(S[j] - S[i-1]) 나머지 연산을 했을때(M으로 나눴을 때) 0이 나오는 경우의 수(i,j) 입니다.

구간 합 배열에서 (i, j) 쌍을 찾는다는 내용은 이해할 수 있었는데 가장 중요한 구간 합 배열을 따로 구해야 하는건가요?

구간 합 배열을 모두 다 구하기에는 N의 크기가 상당하다고 생각해 구간 합 배열을 구하지 않고 수 배열에서 저 순서쌍을 어떻게 구할 수 있는지 궁금합니다.