15-miniron-v

[miniron-v]

🔗 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/1793
1793번: 타일링
분류: DP, 큰 수 연산

✔️ 소요된 시간

50분

✨ 수도 코드

1x2 타일, 2x1 타일, 2x2 타일을 이용해 2xN 칸을 채울 수 있는 경우의 수를 구하는 문제.

DP 자체는 쉽게 떠올릴 수 있었다.

우선 공통적으로, 행은 2줄로 고정이므로, 이는 크게 신경쓰지 않고 열을 중심으로 진행한다.

1. 1개의 열을 채우는 경우 (1x2)

이는 간단하다. 1x2 타일 한 가지 경우의 수만 존재한다.

2. 2개의 열을 채우는 경우 (2x2)

이는 총 3가지

1. 1x2 2개
2. 2x1 2개
3. 2x2 1개

의 경우가 존재한다.

하지만 이 중, 1x2 타일로 채우는 경우는 1번 경우와 동일하므로, 여기서 제외해야 한다.
그럼 총 2가지 경우의 수가 존재한다.

📚 정리

2x17개의 타일을 채우는 방법은

1. 16개를 채우는 경우의 수 x 1
2. 15개를 채우는 경우의 수 x 2

로 정리할 수 있다. (저 경우의 수들에 위에 말한 1열, 2열을 추가한다 생각해보자.)

이를 간단히 코드로 작성하면

#include <iostream>
#include <vector>

int main() {
	int n;
	while (std::cin >> n) {
		std::vector<int> dp(n + 1, 1);
		
		for (int i = 2; i <= n; ++i) {
			dp[i] = dp[i - 1] + 2 * dp[i - 2];
		}

		for (auto& i : dp) {
			std::cout << i << " ";
		}
	}
}

이렇게 정리할 수 있다.

😈 이렇게 끝났으면 PR도 안 썼다.

하지만 이 문제의 가장 큰 훼이크는, 바로 이 부분이다.

저 극악무도한 숫자가 보이는가? 저건... long long으로도 도저히 커버가 안 된다.

이 문제의 가장 중요한 부분, 바로 큰 수의 연산이다. 💣

😰 저건 어떻게 하는데?

C++엔 손쉽게 큰 수 연산을 하는 방법은 없다. 그래서 직접 구현하기로 정했다.

가장 먼저, 큰 수를 받는 방법은 문자열로 받는 것이다.

그럼 문자열로 받은 후, 문자열 2개를 정수 덧셈하는 연산을 개발하면 되지 않을까? 생각했고, 이에 착수했다.

💀 문자열로 덧셈해보자.

우선 두 문자열을 입력받는다.

std::string string_add(std::string a, std::string b) {

}

우린 어찌됐든, 한 자리씩 떼서 연산해야 할 것이다. 그럼 둘 중 긴 문자열을 a로 고정해두면 편할 것이다.

// a > b, always.
if (a.size() < b.size()) {
	std::swap(a, b);
}

또한, 이를 순회하는 인덱스가 필요할 것이다.
하지만 정수의 연산은 맨 끝 자리부터 시작하므로, a.size() - 1에서 시작하는 i, b.size() - 1에서 시작하는 j, 2개가 필요하다.

이를 통합하기 위해, a와 b를 뒤집어서 시작하자.

std::reverse(a.begin(), a.end());
std::reverse(b.begin(), b.end());

이러면 i = 0부터 b.size()까지 반복문을 돌리면 되니, 한결 수월해졌다.

이제 한 자리씩 떼서 더해보자.

int i = 0, carry = 0;
std::string sum = "";
for (; i < b.size(); ++i) {
	int num = (a[i] - '0') + (b[i] - '0') + carry;
	sum.push_back(num % 10 + '0');
	carry = num / 10;
}

한 자리 숫자 2개를 더하면, 최대 2자리 수가 나온다. 하지만 sum 배열에 추가할 수 있는 건 그 중 1의 자리뿐, 올림(carry)는 다음 칸에 써야 한다.

그러니 char 변수를 int로 변환한 후 carry와 함께 덧셈, 10으로 나눈 나머지를 다시 char로 변환해 sum에 추가, 10으로 나눈 몫은 carry에 보관한다.

그럼 반복문이 끝나고, 남은 carry는 어떻게 해야 할까?
이 경우 carry는 a의 남은 수들에 더해져야 한다. 다행히도 반복문을 빠져나오면 i == b.size()이므로, 이는 carry를 더할 자리가 된
다.

a[i] += carry;

그리고 a의 남은 문자들을 sum에 그대로 더해준다.

while (i < a.size()) {
	sum += a[i++];
}

여기서 문제가 하나 발생했다. 두 문자열의 길이가 같다면 어떻게 처리해야 할까?

나는 기존 코드들을 유지하기 위해, 두 문자열의 길이가 같을 때 (reverse 후) a의 끝에 0을 추가해버리는 방식을 사용했다.
그럼 a는 항상 b보다 긴 상태가 유지되며, carry는 모든 경우 a에 빠짐없이 더해진다.

이 경우 예외는, a와 b의 길이가 같고, 마지막 carry가 0인 경우. 이때 sum은 05724처럼, 맨 앞 자리에 0이 붙어 버린다.

이는 sum을 다시 뒤집기 전에, 끝 자리가 0이면 떼버리는(pop_back) 방식으로 구현했다.

if (sum[--i] == '0') {
	sum.pop_back();
}

그리고 만들어진 sum을 뒤집어 출력하면 성공.

이제 전체 코드로 살펴보자.

📚 전체 코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

// 문자열 덧셈
std::string string_add(std::string a, std::string b) {
	std::reverse(a.begin(), a.end());
	std::reverse(b.begin(), b.end());

	// a > b, always.
	if (a.size() < b.size()) {
		std::swap(a, b);
	}

	else if (a.size() == b.size()) {
		a += '0';
	}

	int i = 0, carry = 0;
	std::string sum = "";
	for (; i < b.size(); ++i) {
		int num = (a[i] - '0') + (b[i] - '0') + carry;
		sum.push_back(num % 10 + '0');
		carry = num / 10;
	}

	a[i] += carry;

	// a가 남은 경우
	while (i < a.size()) {
		sum += a[i++];
	}

	if (sum[--i] == '0') {
		sum.pop_back();
	}

	std::reverse(sum.begin(), sum.end());

	return sum;
}

int main() {
	int n;
	while (std::cin >> n) {
		std::vector<std::string> dp(n + 1, "1");

		for (int i = 2; i <= n; ++i) {
			dp[i] = string_add(dp[i - 1], dp[i - 2]);
			dp[i] = string_add(dp[i], dp[i - 2]);
		}

		std::cout << dp[n] << " ";
	}
}

📚 새롭게 알게된 내용

전체 사고 과정: https://autumncat.tistory.com/61

큰 수 연산은 처음 해봤는데, 그래도 덧셈은 단순해서 다행이었다. 이제 문제는 곱셈인데...
논리회로 때 배운 방식이 잘 먹혀서 다행이다. 기억 안 나면 어셈블리 생각하면서, 컴구 지식으로 구현해야겠다.

https://www.acmicpc.net/source/3116458
이런 방식도 발견했는데, 이해하길 포기했다. 원리는 같되 이진수를 이용했는데, 난 도저히 봐도봐도 모르겠다... 이게 어떻게 덧셈이 되는 건지.

https://codeforces.com/blog/entry/16380
나중에 읽어보려고 킵해둔 글. 큰 수의 연산을 모두 구현해 정리해두었다.. (아직 안 봄)

골드 타일 채우기... 깰 수 있을까?

[Redish03]

아 ㅋㅋ 문제 이름만 보고 음~ 상대적으로 이지 한 문제 하셨네 했는데,,, 복병이 있었군요

문자열 다루기 좋은 것 같아요 프밍경진대회에서도 이런 문제 나왔던 거 같은데 항상 저는 숫자를 다루는 문자열을 건들기 어렵더라구요,,,,

[Redish03]

가산기와 반가산기를 직접 구현한 느낌이네요...

[9kyo-hwang]

input = open(0).readline

dp = [1] * 251
for i in range(2, 251):
    dp[i] = dp[i - 1] + 2 * dp[i - 2]
    
while True:
    try:
        print(dp[int(input())])
    except:
        break

혼자 그냥 2 x n 타일링 문제랑 똑같이 푸는 파이썬...

[2secondag]

오랜만에 보는 민철님 PR...!

큰 수의 연산을 하기 위해서는 자료형을 늘리는 것이 유일한 방법이라고 생각했는데 자료형으로 해결되지 않는 경우라면 수를 문자열로 받은 후 계산하는 방법도 있다는 것이 새로웠던 거 같습니다!

[Redish03]

오랜만에 보는 민철님 PR...!

큰 수의 연산을 하기 위해서는 자료형을 늘리는 것이 유일한 방법이라고 생각했는데 자료형으로 해결되지 않는 경우라면 수를 문자열로 받은 후 계산하는 방법도 있다는 것이 새로웠던 거 같습니다!

파이썬은 수 길이의 영향을 안 받아서 그대로 써도 돼요! C, C++ 같이 최대 길이가 정해져 있는 경우 민철님처럼 string을 이용하는 방법이 있습니다. 굳이 추천드리지는 않는...방법입니다 하하
tmi지만 c에서 가장 큰 수를 표현 할 수 있는 자료형은 unsigned long long int 형입니다 ! 0에서 2^64 - 1 (18,446,744,073,709,551,615) 의 값을 나타낸다고 하네요

[bomik0221]

고생하셨습니다!

PR 읽기 시작했을 때의 나 : 오~ 나도 풀 수 있겠는데?
중반부 : 오~ 나는 할 수 없겠는데?

큰 수를 받아야 할 때 string으로 받는 게 낫겠다~ 라는 생각은 했지만, 덧셈으로 가니 머리가 막 뱅뱅 도네요.
무슨 구조인지 이해는 했지만, 제가 받아들이기엔 어려운 문제 같습니다... 허허...