week02 정진호

week02/week02-정진호.md

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+# 04 재귀와 분할 정복법
+재귀 호출: 자기 자신을 호출하는 것
+재귀 함수: 재귀 호출을 하는 함수
+베이스 케이스(base case): 재귀함수 안에서 재귀 함수를 호출하지 않고 return 하는 경우
+
+```
+// 재귀함수 템플릿
+(반환값형) func(인수) {
+    if(베이스 케이스){
+        return 베이스 케이스 값;
+    }
+
+    func(다음 인수);
+    return 응답;
+}
+```
+
+## 유클리드 호제법
+두 정수 m,n의 최대 공약수를 구하는 알고리즘
+
+### 절차
+1. m을 n으로 나눈 나머지를 r이라고 한다.
+2. r == 0이면 n이 구하는 최대 공약수 이므로 n을 출력
+3. r != 0이면 m <- n, n <- r로 지정하고 1로 되돌아간다.
+
+```go
+func GCD(int m, int n) int {
+    if(n == 0) return m;
+
+    return GCD(n, m % n);
+}
+```
+
+## 피보나치 수열
+```java
+int fibo(int N){
+    // base case
+    if(N == 0) return 0;
+    else if(N == 1) return 1;
+
+    return fibo(N-1) + fibo(N-2);
+}
+```
+재귀 함수 안에서 재귀 호출을 두번한다.
+
+## 메모이제이션 동적 계획법
+앞의 방법들은 재귀 함수을 여러번 사용하기 때문에 효율이 나쁘다. fibo(6)을 시행하면 함수를 25번이나 호출해야한다. 
+
+한번 계산한 것을 다시 계산하지 않기 위해서 메모이제이션을 사용한다.
+
+```c++
+int main(){
+    vector<long long> F(50);
+    F[0] = 0, F[1] = 1;
+    for(int N = 2;  N < 50; N++){
+        F[N] = F[N-1] + F[N-2];
+        cout << N << " 항째: " << F[N] << endl;
+    }
+}
+```
+위의 코드에서 예를 들어 F[5]는 F[4]+F[3]이다. 여기서 F[4]는 이전에 F[4]=F[3]+F[2]에서 계산 되었기 때문에 재귀 함수와 달리 중복해서 연산하지 않아도 된다.
+
+메모이제이션은 캐시(cache)라고 할 수 있다. 메모이제이션을 사용하면 복잡도는 O(N)이되며 for문을 사용한 복잡도와 같이 동작한다.
+
+```c++
+vector<long long> memo;
+
+long long fibo(int N){
+    if(N == 0 || N == 1) return N;
+
+    if(memo(N) != -1) return memo[N];
+
+    return memo[N] = fibo(N-1) + fibo(N-2);
+}
+int main(){
+    memo.assign(50,-1);
+
+    fibo(49);
+}
+```
+
+## 전체 탐색
+### 부분합 문제 
+> N개의 양의 정수 배열a 와 양의 정수 W가 주어졌을 때 배열 a에서 정수를 몇개 골라 합이 W가 될 수 있는지 확인하라
+
+해당 문제를 풀기 위해서는 배열의 각 숫자가 포함되었을 때와 안되었을 때를 재귀함수로 호출하면 해결할 수 있다.
+
+```c++
+bool func(int i, int w, const vector<int>& a) {
+    if(i == 0){
+        if(w == 0) return true;
+        else return false;
+    }
+
+    // i-1 선택 x
+    if(func(i-1, w,a)) return true;
+    // i-1 선택 o 
+    if(func(i-1, w-a[i-1],a)) return true;
+
+    return false;
+}
+```
+재귀함수를 사용항 부분합 문제 해결을 O(2^N)의 복잡도를 가진다.
+
+### 메모이제이션
+메모이제이션을 사용하면 O(NW)의 복잡도를 가진다. 
+
+## 분할정복법
+주어진 문제를 작은 부분으로 분할한 뒤에 문제를 재귀적으로 풀고 나온 답을 조합해 원래 문제의 답을 구성하는 알고리즘을 `분할 정복법`이라고한다. 
+
+## 연습문제 
+### 1번
+```java
+int func(int i){
+    if(i == 0 || i == 1) return 0;
+    if(i == 2) return 1;
+    return func(i-1)+func(i-2)+func(i-3);
+}
+```
+### 2번
+```java
+int func(int i){
+    if(i == 0 || i == 1) return 0;
+    if(i == 2) return 1;
+
+    if(memo[i] != -1) return memo[i];
+
+    return memo[i] = func(i-1) + func(i-2) + func(i-3);
+}
+```
+
+# 05 동적 계획법
+문제 전체를 부분 문제로 불해해서 각 문제의 답을 메모이제이션하면서 작은 부분 문제에서 큰 부분 문제로 답을 구하는 방법
+
+
+## Frog 1
+N개의 발판이 일열로 있을 때 현재 발판에서 1칸 전진(비용 b[i]-b[i+1]), 2칸 전진(비용 b[i]-b[i+2])할 때 N-1까지 도착할 때까지 비용 총합의 최솟갑
+
+### 해결방법
+0번째 발판까지의 최소비용은 0이다. 1까지의 최소비용은 b[1]이다. b[2]로 이동한느 방법은 min(b[0]-b[2],b[1]-b[2])이다. 이방법을 이용해서 최솟값을 구할 수 있다.
+
+```c++
+int main() {
+    db[0] = 0;
+    for(int i = 1; i < N; i++){
+        if(i == 1) dp[1] = abs(b[1]);
+        else {
+            dp[i] = min(dp[i-1] + abs(b[i]-b[i-1]), dp[i-2] + abs(b[i]-b[i-2]));
+        }
+    }
+}
+```
+동적 계획법을 사용하면 지금의 문제가 아닌 더 작은 부분에서도 답이 구해진다.
+
+원래 문제가 최적의 답이라면 작은 부분 문제도 최적이 되는 구조를 `최적 하위 구조` 또는 `최적 부분 구조`라고 한다. 
+
+## 동적 계획법 관련 개념도
+### 완화(relaxation)
+배열 dp에서 각 무한대의 값을 갖고 있다가 값이 점점 작아지는 값으로 갱신되는 것
+
+### 끌기 전이 형식과 밀기 전이 형식
+끌기 전이 형식과 밀기 전이 형식은 이전의 값을 사용해서 다음의 값을 구하는 방식이다. 
+
+### 전체 탐색 메모이제이션을 이용한 동적 계획법
+동적 계획법은 전체 탐색 알고리즘을 설계할 때 지수 시간 복잡도인 문제를 다항식 시간 복잡도 알고리즘으로 전환할 수 있다. 
+
+```c++
+long long rec(int i){
+    if(i == 0) return 0;
+    long long res = INF;
+
+    res = min(res, rec(i-1)+abs(b[i]-b[i-1]));
+
+    if(i > 1) res = min(res, rec(i-2)+abs(b[i]-b[i-2]));
+    return res;
+}
+```
+
+## 냅색 문제(knapack)
+> N개의 물건이 있을 때 i번째 물건의 무게는 w, 가격은 v라고 하자.
+> N개의 물건에서 무게의 총합이 W를 넘지 않도록 몇가지 물건을 선택할 때 고른 물건의 가격 총합이 가지는 최댓값을 구하라
+
+```c++
+for(int i = 0; i< N; i++){
+    for(int w = 0; w <= W; w++){
+        // i 번째 물건을 선택한경우
+        // 다음 i+1 번째 값을 먼저 업데이트
+        if(w - weight[i] >= 0){
+            dp[i+1][w] = max(dp[i+1][w], dp[i][w-weight[i]] + value[i]);
+        }
+        // 안 산경우 업데이트
+        dp[i+1][w] = max(dp[i+1][w],dp[i][w]);
+    }
+}
+```
+
+## 편집 거리
+> 두 문자열 S,T가 주어졌을 때 다음 세가지 작업을 반복해서 S를 T로 변환하려고 한다. 작업횟수가 최소가 되는 값을 구하라. 이런 최소 횟수를 편집 거리라고 한다.
+> - 대체: S안에 문자를 하나 골라 대체 
+> - 삭제: S안에서 문자 하나를 삭제 
+> - 삽입: S안에서 원하는 위치에 문자를 하나 삽입
+
+```c++
+dp[0][0] = 0;
+
+for(int i = 0; i <= S.size(); i++){
+    for(int j = 0; j <= T.size(); j++){
+        if(i > 0 && j > 0){
+            if(S[i-1] == T[j-1]){
+                chmin(dp[i][j], dp[i-1][j-1]);
+            } else {
+                chmin(dp[i][j], dp[i-1][j-1]+1);
+            }
+        }
+        if(i > 0) chmin(dp[i][j], dp[i-1][j]+1);
+        if(j > 0) chmin(dp[j][j],dp[i][j-1]+1);
+    }
+}
+```
+
+## 구간 분할 최적화
+> N개의 요소를 일렬로 나열하고 몇 개의 구간으로 분할하려고한다. 각 구간 [l,r)에는 스코어 c(l,r)이 존재한다.
+> N이하의 양의 정수 K가 있을 때 K+1 개의 정수 t[]가 0=t[0] < t[1] < ... < T[K] = N을 만족하면 구간 분할 스코어를 [t[0],t[1]) ... 스코어를 다음과 같이 정의한다.
+>
+> c[t[0]][t[1]] + ... + c[t[k-1]][t[k]]
+
+
+# 코인완
+1. 트리플 스텝: 어떤 아이가 n개의 계단을 오른다. 한번에 1계단 오르기도 하고, 2계단이나 3계단을 오르기도 한다. 계단을 오르는 방법이 몇가지 있는지 계산하는 메서드를 구현하라.
+
+```java
+int func(int n){
+    int[] dp = new int[n+3];
+    dp[0] = 0;
+    dp[1] = 1;
+    for(int i = 0; i < n; i++){
+        dp[i+1] += 1;
+        dp[i+2] += 1;
+        dp[i+3] += 1;
+    }
+}
+```
+
+3. 마술 인덱스: 배열 A에서 A[i] = i인 인덱스를 마술 인덱스라 정의한다. 정렬된 상태의 배열이 주어졌을 때, 마술 인덱스가 존제한다면 그 값을 찾는 메서드를 작성하라. 배열 안에 중복된 값은 없다.
+
+```java
+int right = A.length;
+int left = 0;
+int mid = (left + right) / 2;
+while(true){
+    if(mid == A[mid]) {
+        break;
+    } else if(mid < A[mid]){
+        left = mid+1;
+    } else {
+        right = mid;
+    }
+    mid = (left + right) / 2;
+}
+```
+
+4. 부분집합: 어떤 집합의 부분집합을 전부 반환하는 메서드를 작성하라
+```python
+def func(A:list):
+    answer = list()
+    for s in range(1 << len(A)):
+        subset = set()
+        for i in range(len(A)):
+            if s & 1 << i:
+                subset.add(A[i])
+        answer.append(subset)
+```