chapter30.tex

\chapter{Algoritmos de línea de barrido}

\index{línea de barrido}

Muchos problemas geométricos se pueden resolver utilizando
\key{algoritmos de línea de barrido}.
La idea en estos algoritmos es representar
una instancia del problema como un conjunto de eventos que corresponden
a puntos en el plano.
Los eventos se procesan en orden creciente
de acuerdo con sus coordenadas x o y.

Como ejemplo, considere el siguiente problema:
Hay una empresa que tiene $n$ empleados,
y conocemos para cada empleado su hora de llegada y
su hora de salida en un día determinado.
Nuestra tarea es calcular el número máximo de
empleados que estaban en la oficina al mismo tiempo.

El problema se puede resolver modelando la situación
de modo que cada empleado reciba dos eventos que
correspondan a su hora de llegada y su hora de salida.
Después de ordenar los eventos, los revisamos
y hacemos un seguimiento del número de personas en la oficina.
Por ejemplo, la tabla
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
persona & hora de llegada & hora de salida \\
\hline
John & 10 & 15 \\
Maria & 6 & 12 \\
Peter & 14 & 16 \\
Lisa & 5 & 13 \\
\end{tabular}
\end{center}
corresponde a los siguientes eventos:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\draw (0,0) rectangle (17,-6.5);
\path[draw,thick,-] (10,-1) -- (15,-1);
\path[draw,thick,-] (6,-2.5) -- (12,-2.5);
\path[draw,thick,-] (14,-4) -- (16,-4);
\path[draw,thick,-] (5,-5.5) -- (13,-5.5);

\draw[fill] (10,-1) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (15,-1) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (6,-2.5) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (12,-2.5) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (14,-4) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (16,-4) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (5,-5.5) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (13,-5.5) circle [radius=0.05];

\node at (2,-1) {John};
\node at (2,-2.5) {Maria};
\node at (2,-4) {Peter};
\node at (2,-5.5) {Lisa};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Revisamos los eventos de izquierda a derecha
y mantenemos un contador.
Siempre que una persona llega, aumentamos
el valor del contador en uno,
y cuando una persona se va,
disminuimos el valor del contador en uno.
La respuesta al problema es el máximo
valor del contador durante el algoritmo.

En el ejemplo, los eventos se procesan de la siguiente manera:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\path[draw,thick,->] (0.5,0.5) -- (16.5,0.5);
\draw (0,0) rectangle (17,-6.5);
\path[draw,thick,-] (10,-1) -- (15,-1);
\path[draw,thick,-] (6,-2.5) -- (12,-2.5);
\path[draw,thick,-] (14,-4) -- (16,-4);
\path[draw,thick,-] (5,-5.5) -- (13,-5.5);

\draw[fill] (10,-1) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (15,-1) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (6,-2.5) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (12,-2.5) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (14,-4) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (16,-4) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (5,-5.5) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (13,-5.5) circle [radius=0.05];

\node at (2,-1) {John};
\node at (2,-2.5) {Maria};
\node at (2,-4) {Peter};
\node at (2,-5.5) {Lisa};

\path[draw,dashed] (10,0)--(10,-6.5);
\path[draw,dashed] (15,0)--(15,-6.5);
\path[draw,dashed] (6,0)--(6,-6.5);
\path[draw,dashed] (12,0)--(12,-6.5);
\path[draw,dashed] (14,0)--(14,-6.5);
\path[draw,dashed] (16,0)--(16,-6.5);
\path[draw,dashed] (5,0)--(5,-6.5);
\path[draw,dashed] (13,0)--(13,-6.5);

\node at (10,-7) {$+$};
\node at (15,-7) {$-$};
\node at (6,-7) {$+$};
\node at (12,-7) {$-$};
\node at (14,-7) {$+$};
\node at (16,-7) {$-$};
\node at (5,-7) {$+$};
\node at (13,-7) {$-$};

\node at (10,-8) {$3$};
\node at (15,-8) {$1$};
\node at (6,-8) {$2$};
\node at (12,-8) {$2$};
\node at (14,-8) {$2$};
\node at (16,-8) {$0$};
\node at (5,-8) {$1$};
\node at (13,-8) {$1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Los símbolos $+$ y $-$ indican si el
valor del contador aumenta o disminuye,
y el valor del contador se muestra debajo.
El valor máximo del contador es 3
entre la llegada de John y la salida de María.

El tiempo de ejecución del algoritmo es $O(n \log n)$,
porque ordenar los eventos lleva $O(n \log n)$ tiempo
y el resto del algoritmo lleva $O(n)$ tiempo.

\section{Puntos de intersección}

\index{punto de intersección}

Dado un conjunto de $n$ segmentos de línea, cada uno de ellos siendo
horizontal o vertical, considere el problema de
contar el número total de puntos de intersección.
Por ejemplo, cuando los segmentos de línea son
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\path[draw,thick,-] (0,2) -- (5,2);
\path[draw,thick,-] (1,4) -- (6,4);
\path[draw,thick,-] (6,3) -- (10,3);
\path[draw,thick,-] (2,1) -- (2,6);
\path[draw,thick,-] (8,2) -- (8,5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
hay tres puntos de intersección:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\path[draw,thick,-] (0,2) -- (5,2);
\path[draw,thick,-] (1,4) -- (6,4);
\path[draw,thick,-] (6,3) -- (10,3);
\path[draw,thick,-] (2,1) -- (2,6);
\path[draw,thick,-] (8,2) -- (8,5);

\draw[fill] (2,2) circle [radius=0.15];
\draw[fill] (2,4) circle [radius=0.15];
\draw[fill] (8,3) circle [radius=0.15];

\end{tikzpicture}
\end{center}


Es fácil resolver el problema en tiempo $O(n^2)$,
porque podemos recorrer todas las parejas posibles de segmentos de línea
y verificar si se intersecan.
Sin embargo, podemos resolver el problema de manera más eficiente
en tiempo $O(n \log n)$ usando un algoritmo de línea de barrido
y una estructura de datos de consulta de rango.

La idea es procesar los puntos finales de la línea
segmentos de izquierda a derecha y
centrarse en tres tipos de eventos:
\begin{enumerate}[noitemsep]
\item[(1)] segmento horizontal comienza
\item[(2)] segmento horizontal termina
\item[(3)] segmento vertical
\end{enumerate}

Los siguientes eventos corresponden al ejemplo:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\path[draw,dashed] (0,2) -- (5,2);
\path[draw,dashed] (1,4) -- (6,4);
\path[draw,dashed] (6,3) -- (10,3);
\path[draw,dashed] (2,1) -- (2,6);
\path[draw,dashed] (8,2) -- (8,5);

\node at (0,2) {$1$};
\node at (5,2) {$2$};
\node at (1,4) {$1$};
\node at (6,4) {$2$};
\node at (6,3) {$1$};
\node at (10,3) {$2$};

\node at (2,3.5) {$3$};
\node at (8,3.5) {$3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Recorremos los eventos de izquierda a derecha
y usamos una estructura de datos que mantiene un conjunto de
coordenadas y donde hay un segmento horizontal activo.
En el evento 1, agregamos la coordenada y del segmento
al conjunto, y en el evento 2, quitamos la
coordenada y del conjunto.

Los puntos de intersección se calculan en el evento 3.
Cuando hay un segmento vertical entre los puntos
$y_1$ e $y_2$, contamos el número de
segmentos horizontales activos cuya coordenada y está entre
$y_1$ e $y_2$, y agregamos este número al total
número de puntos de intersección.

Para almacenar las coordenadas y de los segmentos horizontales,
podemos usar un árbol binario indexado o un árbol de segmentos,
posiblemente con compresión de índices.
Cuando se utilizan tales estructuras, el procesamiento de cada evento
lleva $O(\log n)$ tiempo, por lo que el tiempo total de ejecución
del algoritmo es $O(n \log n)$.

\section{Problema del par más cercano}

\index{par más cercano}

Dado un conjunto de $n$ puntos, nuestro siguiente problema es
encontrar dos puntos cuya distancia euclidiana sea mínima.
Por ejemplo, si los puntos son
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0)--(12,0)--(12,4)--(0,4)--(0,0);

\draw (1,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,1) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5.5,1.5) circle [radius=0.1];
\draw (6,2.5) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (9,1.5) circle [radius=0.1];
\draw (10,2) circle [radius=0.1];
\draw (1.5,3.5) circle [radius=0.1];
\draw (1.5,1) circle [radius=0.1];
\draw (2.5,3) circle [radius=0.1];
\draw (4.5,1.5) circle [radius=0.1];
\draw (5.25,0.5) circle [radius=0.1];
\draw (6.5,2) circle [radius=0.1];
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{samepage}
deberíamos encontrar los siguientes puntos:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0)--(12,0)--(12,4)--(0,4)--(0,0);

\draw (1,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,1) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5.5,1.5) circle [radius=0.1];
\draw[fill] (6,2.5) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (9,1.5) circle [radius=0.1];
\draw (10,2) circle [radius=0.1];
\draw (1.5,3.5) circle [radius=0.1];
\draw (1.5,1) circle [radius=0.1];
\draw (2.5,3) circle [radius=0.1];
\draw (4.5,1.5) circle [radius=0.1];
\draw (5.25,0.5) circle [radius=0.1];
\draw[fill] (6.5,2) circle [radius=0.1];
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{samepage}

Este es otro ejemplo de un problema
que se puede resolver en tiempo $O(n \log n)$
usando un algoritmo de línea de barrido\footnote{Además de este enfoque,
también hay un
algoritmo de dividir y conquistar de tiempo $O(n \log n)$ \cite{sha75}
que divide los puntos en dos conjuntos y recursivamente
resuelve el problema para ambos conjuntos.}.
Recorremos los puntos de izquierda a derecha
y mantenemos un valor $d$: la distancia mínima
entre dos puntos vistos hasta ahora.
En cada punto, encontramos el punto más cercano a la izquierda.
Si la distancia es menor que $d$, es la
nueva distancia mínima y actualizamos
el valor de $d$.

Si el punto actual es $(x,y)$
y hay un punto a la izquierda
a una distancia menor que $d$,
la coordenada x de dicho punto debe
estar entre $[x-d,x]$ y la coordenada y
debe estar entre $[y-d,y+d]$.
Por lo tanto, basta con considerar puntos
que están ubicados en esos rangos,
lo que hace que el algoritmo sea eficiente.

Por ejemplo, en la siguiente imagen, la
región marcada con líneas discontinuas contiene
los puntos que pueden estar a una distancia de $d$
del punto activo:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0)--(12,0)--(12,4)--(0,4)--(0,0);

\draw (1,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,1) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5.5,1.5) circle [radius=0.1];
\draw (6,2.5) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (9,1.5) circle [radius=0.1];
\draw (10,2) circle [radius=0.1];
\draw (1.5,3.5) circle [radius=0.1];
\draw (1.5,1) circle [radius=0.1];
\draw (2.5,3) circle [radius=0.1];
\draw (4.5,1.5) circle [radius=0.1];
\draw (5.25,0.5) circle [radius=0.1];
\draw[fill] (6.5,2) circle [radius=0.1];



\draw[dashed] (6.5,0.75)--(6.5,3.25);
\draw[dashed] (5.25,0.75)--(5.25,3.25);
\draw[dashed] (5.25,0.75)--(6.5,0.75);
\draw[dashed] (5.25,3.25)--(6.5,3.25);

\draw [decoration={brace}, decorate, line width=0.3mm] (5.25,3.5) -- (6.5,3.5);
\node at (5.875,4) {$d$};
\draw [decoration={brace}, decorate, line width=0.3mm] (6.75,3.25) -- (6.75,2);
\node at (7.25,2.625) {$d$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La eficiencia del algoritmo se basa en el hecho de
que la región siempre contiene
solo $O(1)$ puntos.
Podemos recorrer esos puntos en tiempo $O(\log n)$
manteniendo un conjunto de puntos cuya coordenada x
está entre $[x-d,x]$, en orden creciente
según sus coordenadas y.

La complejidad temporal del algoritmo es $O(n \log n)$,
porque recorremos $n$ puntos y
encontramos para cada punto el punto más cercano a la izquierda
en tiempo $O(\log n)$.

\section{Problema de la envolvente convexa}

Una \key{envolvente convexa} es el polígono convexo más pequeño
que contiene todos los puntos de un conjunto dado.
La convexidad significa que un segmento de línea entre
dos vértices cualesquiera del polígono está completamente
dentro del polígono.

\begin{samepage}
Por ejemplo, para los puntos
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{samepage}
la envolvente convexa es la siguiente:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0)--(4,-1)--(7,1)--(6,3)--(2,4)--(0,2)--(0,0);

\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];
\end{tikzpicture}
\end{center}

\index{Algoritmo de Andrew}

\key{Algoritmo de Andrew} \cite{and79} proporciona
una forma sencilla de
construir la envolvente convexa para un conjunto de puntos
en tiempo $O(n \log n)$.
El algoritmo primero localiza los puntos más a la izquierda
y más a la derecha, y luego
construye la envolvente convexa en dos partes:
primero la envolvente superior y luego la envolvente inferior.
Ambas partes son similares, por lo que podemos concentrarnos en
construir la envolvente superior.

Primero, ordenamos los puntos principalmente según
las coordenadas x y secundariamente según las coordenadas y.
Después de esto, recorremos los puntos y
agregamos cada punto a la envolvente.
Siempre después de agregar un punto a la envolvente,
nos aseguramos de que el último segmento de línea
en la envolvente no gire a la izquierda.
Mientras gire a la izquierda, eliminamos repetidamente el
penúltimo punto de la envolvente.

Las siguientes imágenes muestran cómo
funciona el algoritmo de Andrew:
\\
\begin{tabular}{ccccccc}
\\
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2);
\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(1,1);
\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(1,1)--(2,2);
\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(2,2);
\end{tikzpicture}
\\
1 & & 2 & & 3 & & 4 \\
\end{tabular}
\\
\begin{tabular}{ccccccc}
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(2,2)--(2,4);
\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(2,4);
\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2);
\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2)--(4,-1);
\end{tikzpicture}
\\
5 & & 6 & & 7 & & 8 \\
\end{tabular}
\\
\begin{tabular}{ccccccc}
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2)--(4,-1)--(4,0);
\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2)--(4,0);
\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,-1) circle [radius=0.1];
\draw (7,1) circle [radius=0.1];
\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(3,2)--(4,0)--(4,3);
\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
\draw (0,0) circle [radius=0.1];
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\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
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\draw (5,2) circle [radius=0.1];
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\end{tikzpicture}
\\
9 & & 10 & & 11 & & 12 \\
\end{tabular}
\\
\begin{tabular}{ccccccc}
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
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\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
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\draw (7,1) circle [radius=0.1];
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\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

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\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
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\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
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\draw (3,2) circle [radius=0.1];
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\draw (5,2) circle [radius=0.1];
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\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
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\draw (2,4) circle [radius=0.1];
\draw (0,2) circle [radius=0.1];

\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
\draw (3,2) circle [radius=0.1];
\draw (4,0) circle [radius=0.1];
\draw (4,3) circle [radius=0.1];
\draw (5,2) circle [radius=0.1];
\draw (6,1) circle [radius=0.1];

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\end{tikzpicture}
\\
13 & & 14 & & 15 & & 16 \\
\end{tabular}
\\
\begin{tabular}{ccccccc}
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
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\draw (5,2) circle [radius=0.1];
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\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\draw (-1,-2)--(8,-2)--(8,5)--(-1,5)--(-1,-2);
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\draw (1,1) circle [radius=0.1];
\draw (2,2) circle [radius=0.1];
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\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
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\end{tikzpicture}
& \hspace{0.1cm} &
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
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\draw (6,3) circle [radius=0.1];
\draw (2,4) circle [radius=0.1];
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\draw (1,1) circle [radius=0.1];
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\draw (0,0)--(0,2)--(2,4)--(6,3)--(7,1);
\end{tikzpicture}
\\
17 & & 18 & & 19 & & 20
\end{tabular}