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53. 最大子序和

力扣题目链接

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课：贪心算法的巧妙需要慢慢体会！LeetCode：53. 最大子序和，相信结合视频在看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

思路

暴力解法

暴力解法的思路，第一层 for 就是设置起始位置，第二层 for 循环遍历数组寻找最大值

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int result = INT32_MIN;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { // 设置起始位置
            count = 0;
            for (int j = i; j < nums.size(); j++) { // 每次从起始位置i开始遍历寻找最大值
                count += nums[j];
                result = count > result ? count : result;
            }
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(1)

以上暴力的解法 C++勉强可以过，其他语言就不确定了。

贪心解法

贪心贪的是哪里呢？

如果 -2 1 在一起，计算起点的时候，一定是从 1 开始计算，因为负数只会拉低总和，这就是贪心贪的地方！

局部最优：当前“连续和”为负数的时候立刻放弃，从下一个元素重新计算“连续和”，因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。

全局最优：选取最大“连续和”

局部最优的情况下，并记录最大的“连续和”，可以推出全局最优。

从代码角度上来讲：遍历 nums，从头开始用 count 累积，如果 count 一旦加上 nums[i]变为负数，那么就应该从 nums[i+1]开始从 0 累积 count 了，因为已经变为负数的 count，只会拖累总和。

这相当于是暴力解法中的不断调整最大子序和区间的起始位置。

那有同学问了，区间终止位置不用调整么？如何才能得到最大“连续和”呢？

区间的终止位置，其实就是如果 count 取到最大值了，及时记录下来了。例如如下代码：

if (count > result) result = count;

这样相当于是用 result 记录最大子序和区间和（变相的算是调整了终止位置）。

如动画所示：

红色的起始位置就是贪心每次取 count 为正数的时候，开始一个区间的统计。

那么不难写出如下 C++代码（关键地方已经注释）

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int result = INT32_MIN;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            count += nums[i];
            if (count > result) { // 取区间累计的最大值（相当于不断确定最大子序终止位置）
                result = count;
            }
            if (count <= 0) count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置，因为遇到负数一定是拉低总和
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

当然题目没有说如果数组为空，应该返回什么，所以数组为空的话返回啥都可以了。

常见误区

误区一：

不少同学认为如果输入用例都是-1，或者都是负数，这个贪心算法跑出来的结果是 0，这是又一次证明脑洞模拟不靠谱的经典案例，建议大家把代码运行一下试一试，就知道了，也会理解为什么 result 要初始化为最小负数了。

误区二：

大家在使用贪心算法求解本题，经常陷入的误区，就是分不清，是遇到负数就选择起始位置，还是连续和为负选择起始位置。

在动画演示用，大家可以发现， 4，遇到 -1 的时候，我们依然累加了，为什么呢？

因为和为 3，只要连续和还是正数就会对后面的元素起到增大总和的作用。所以只要连续和为正数我们就保留。

这里也会有录友疑惑，那 4 + -1 之后不就变小了吗？会不会错过 4 成为最大连续和的可能性？

其实并不会，因为还有一个变量 result 一直在更新最大的连续和，只要有更大的连续和出现，result 就更新了，那么 result 已经把 4 更新了，后面连续和变成 3，也不会对最后结果有影响。

动态规划

当然本题还可以用动态规划来做，在代码随想录动态规划章节我会详细介绍，如果大家想在想看，可以直接跳转：动态规划版本详解

那么先给出我的 dp 代码如下，有时间的录友可以提前做一做：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size(), 0); // dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

总结

本题的贪心思路其实并不好想，这也进一步验证了，别看贪心理论很直白，有时候看似是常识，但贪心的题目一点都不简单！

后续将介绍的贪心题目都挺难的，所以贪心很有意思，别小看贪心！

其他语言版本

Java

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 1){
            return nums[0];
        }
        int sum = Integer.MIN_VALUE;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++){
            count += nums[i];
            sum = Math.max(sum, count); // 取区间累计的最大值（相当于不断确定最大子序终止位置）
            if (count <= 0){
                count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置，因为遇到负数一定是拉低总和
            }
        }
       return sum;
    }
}

// DP 方法
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int ans = Integer.MIN_VALUE;
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        ans = dp[0];

        for (int i = 1; i < nums.length; i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
            ans = Math.max(dp[i], ans);
        }

        return ans;
    }
}

Python

暴力法

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums):
        result = float('-inf')  # 初始化结果为负无穷大
        count = 0
        for i in range(len(nums)):  # 设置起始位置
            count = 0
            for j in range(i, len(nums)):  # 从起始位置i开始遍历寻找最大值
                count += nums[j]
                result = max(count, result)  # 更新最大值
        return result

贪心法

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums):
        result = float('-inf')  # 初始化结果为负无穷大
        count = 0
        for i in range(len(nums)):
            count += nums[i]
            if count > result:  # 取区间累计的最大值（相当于不断确定最大子序终止位置）
                result = count
            if count <= 0:  # 相当于重置最大子序起始位置，因为遇到负数一定是拉低总和
                count = 0
        return result

动态规划

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        dp = [0] * len(nums)
        dp[0] = nums[0]
        res = nums[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
            res = max(res, dp[i])
        return res

动态规划

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums):
        if not nums:
            return 0
        dp = [0] * len(nums)    # dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和
        dp[0] = nums[0]
        result = dp[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])   # 状态转移公式
            if dp[i] > result:
                result = dp[i]                      # result 保存dp[i]的最大值
        return result

动态规划优化

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        max_sum = float("-inf") # 初始化结果为负无穷大，方便比较取最大值
        current_sum = 0         # 初始化当前连续和

        for num in nums:

            # 更新当前连续和
            # 如果原本的连续和加上当前数字之后没有当前数字大，说明原本的连续和是负数，那么就直接从当前数字开始重新计算连续和
            current_sum = max(current_sum+num, num) 
            max_sum = max(max_sum, current_sum) # 更新结果

        return max_sum

Go

贪心法

func maxSubArray(nums []int) int {
    max := nums[0]
    count := 0

    for i := 0; i < len(nums); i++{
        count += nums[i]
        if count > max{
            max = count
        }
        if count < 0 {
            count = 0
        }
    } 
    return max
}

动态规划

func maxSubArray(nums []int) int {
    maxSum := nums[0]
    for i := 1; i < len(nums); i++ {
        if nums[i] + nums[i-1] > nums[i] {
            nums[i] += nums[i-1]
        }
        if nums[i] > maxSum {
            maxSum = nums[i]
        }
    }
    return maxSum
}

Rust

pub fn max_sub_array(nums: Vec<i32>) -> i32 {
    let mut max_sum = i32::MIN;
    let mut curr = 0;
    for n in nums.iter() {
        curr += n;
        max_sum = max_sum.max(curr);
        curr = curr.max(0);
    }
    max_sum
}

Javascript:

var maxSubArray = function(nums) {
    let result = -Infinity
    let count = 0
    for(let i = 0; i < nums.length; i++) {
        count += nums[i]
        if(count > result) {
            result = count
        }
        if(count < 0) {
            count = 0
        }
    }
    return result
};

C:

贪心：

int maxSubArray(int* nums, int numsSize){
    int maxVal = INT_MIN;
    int subArrSum = 0;

    int i;
    for(i = 0; i < numsSize; ++i) {
        subArrSum += nums[i];
        // 若当前局部和大于之前的最大结果，对结果进行更新
        maxVal = subArrSum > maxVal ? subArrSum : maxVal;
        // 若当前局部和为负，对结果无益。则从nums[i+1]开始应重新计算。
        subArrSum = subArrSum < 0 ? 0 : subArrSum;
    }

    return maxVal;
}

动态规划：

/**
 * 解题思路：动态规划：
 * 1. dp数组：dp[i]表示从0到i的子序列中最大序列和的值
 * 2. 递推公式：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
        若dp[i-1]<0，对最后结果无益。dp[i]则为nums[i]。
 * 3. dp数组初始化：dp[0]的最大子数组和为nums[0]
 * 4. 推导顺序：从前往后遍历
 */

#define max(a, b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))

int maxSubArray(int* nums, int numsSize){
    int dp[numsSize];
    // dp[0]最大子数组和为nums[0]
    dp[0] = nums[0];
    // 若numsSize为1，应直接返回nums[0]
    int subArrSum = nums[0];

    int i;
    for(i = 1; i < numsSize; ++i) {
        dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

        // 若dp[i]大于之前记录的最大值，进行更新
        if(dp[i] > subArrSum)
            subArrSum = dp[i];
    }

    return subArrSum;
}

TypeScript

贪心

function maxSubArray(nums: number[]): number {
  let curSum: number = 0;
  let resMax: number = -Infinity;
  for (let i = 0, length = nums.length; i < length; i++) {
    curSum += nums[i];
    resMax = Math.max(curSum, resMax);
    if (curSum < 0) curSum = 0;
  }
  return resMax;
}

动态规划

// 动态规划
function maxSubArray(nums: number[]): number {
  const length = nums.length;
  if (length === 0) return 0;
  const dp: number[] = [];
  dp[0] = nums[0];
  let resMax: number = nums[0];
  for (let i = 1; i < length; i++) {
    dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
    resMax = Math.max(resMax, dp[i]);
  }
  return resMax;
}

Scala

贪心

object Solution {
  def maxSubArray(nums: Array[Int]): Int = {
    var result = Int.MinValue
    var count = 0
    for (i <- nums.indices) {
      count += nums(i) // count累加
      if (count > result) result = count // 记录最大值
      if (count <= 0) count = 0 // 一旦count为负，则count归0
    }
    result
  }
}

动态规划

object Solution {
  def maxSubArray(nums: Array[Int]): Int = {
    var dp = new Array[Int](nums.length)
    var result = nums(0)
    dp(0) = nums(0)
    for (i <- 1 until nums.length) {
      dp(i) = math.max(nums(i), dp(i - 1) + nums(i))
      result = math.max(result, dp(i))  // 更新最大值
    }
    result
  }
}

C#

贪心

public class Solution
{
    public int MaxSubArray(int[] nums)
    {
        int res = Int32.MinValue;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
        {
            count += nums[i];
            res = Math.Max(res, count);
            if (count < 0) count = 0;
        }
        return res;
    }
}

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