binius 是基于在binary field构造的域扩张(towers of fields)，构建实现了一个高效的 SNARK 证明系统。在 zkHackerHouse@苏州 期间，对 binius 的底层原理 towers of binary fields 进行了深入的研究，同时研究了 Succinct Arguments over Towers of Binary Fields 中 Chapter 3 中 PCS (Polynoimial Commitment Schemes) 的原理。
binius 中比较难理解的原理为域的扩张（见论文中2.3 Binary Towers），会涉及抽象代数中相关有限域的知识，但正是利用了域扩张的特定构造，带来了很多好处。域扩张可以写为下面这样的形式：
$$ \mathbb{F}2 \subset \mathbb{F}{2^2} \subset \cdots \subset \mathbb{F}_{2^{2^\iota}}. $$
这样构造的好处有：
- 在大域中的元素进行运算，可以转换成在小域中的计算，这个过程中利用了域扩张的结构，极大的减少了计算量。
- 最小的那个域是可以灵活选择的，如这里的 $ \mathbb{F}2 $ 可以换成从 $\mathbb{F}{2^{2^4}}$ 开始，递归到最后一步的计算，可以用查表方式得到结果。
- 由于是在
$\mathbb{F}_{2^k}$ 上进行的域扩张，在这些域上的加法就是因此支持一些原生的位操作，例如可以高效地计算一些哈希函数。
在 Binius: a Hardware-Optimized SNARK 文章中，提到了这种 binary towers field SNARKs 的三个主要优势：
First, this approach offers much lower memory usage and computational cost by maximizing the benefits of small fields.
The second benefit is compatibility with standard hash functions.
Finally, the third significant benefit is the very hardware-friendly implementation that binary fields promise.
- binius官网
- Binius论文：Succinct Arguments over Towers of Binary Fields
- V神的 Binius 博客文章：Binius: highly efficient proofs over binary fields
- 📒 笔记
- Binius 播客访谈：Episode 303: A Dive into Binius with Ulvetanna