-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathindex.html
7004 lines (6983 loc) · 376 KB
/
index.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<meta charset="utf-8">
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1">
<title>Diskretne strukture</title>
<!-- Bootstrap core CSS -->
<link href="css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet">
<link rel="stylesheet" href="mystyle.css" />
<script>
window.MathJax = {
startup: {
ready: () => {
MathJax.startup.defaultReady();
MathJax.startup.promise.then(() => {
document.getElementById("spinner").style.display = "none";
document.getElementById("hidden_contents").style.display = "";
});
}
}
};
</script>
<script
src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml-full.js"
type="text/javascript"></script>
</head>
<body>
<!-- Bootstrap Navbar -->
<nav class="navbar navbar-expand-lg navbar-light fixed-top">
<div class="container-fluid">
<a class="navbar-brand" href="#">Diskretne strukture</a>
<button class="navbar-toggler" type="button" data-bs-toggle="collapse" data-bs-target="#navbarContent" aria-controls="navbarContent" aria-expanded="false" aria-label="Toggle navigation">
<span class="navbar-toggler-icon"></span>
</button>
<div class="collapse navbar-collapse" id="navbarContent">
<ul class="navbar-nav mr-auto">
<li class="nav-item dropdown">
<a class="nav-link dropdown-toggle" href="#" id="#izjavni-račun" role="button" data-bs-toggle="dropdown" aria-expanded="false">Izjavni račun</a>
<ul class="dropdown-menu" aria-labelledby="#izjavni-račun">
<li><a class="dropdown-item" href="#izjave-in-izjavni-vezniki">Izjave in izjavni
vezniki</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#izjavni-izrazi">Izjavni izrazi</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#tavtologije-in-enakovredni-izrazi">Tavtologije in
enakovredni izrazi</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#dno-in-kno">DNO in
KNO</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#sklepanje-v-izjavnem-računu">Sklepanje v izjavnem
računu</a></li>
</ul>
</li>
<li class="nav-item dropdown">
<a class="nav-link dropdown-toggle" href="#" id="#predikatni-račun" role="button" data-bs-toggle="dropdown" aria-expanded="false">Predikatni račun</a>
<ul class="dropdown-menu" aria-labelledby="#predikatni-račun">
<li><a class="dropdown-item" href="#motivacija">Motivacija</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#sintaksa-predikatnega-računa">Sintaksa
predikatnega računa</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#semantika-predikatnega-računa">Semantika
predikatnega računa</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#logično-veljavne-formule-in-enakovrednosti">Logično
veljavne formule in enakovrednosti</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#sklepanje-v-predikatnem-računu">Sklepanje v
predikatnem računu</a></li>
</ul>
</li>
<li class="nav-item dropdown">
<a class="nav-link dropdown-toggle" href="#" id="#relacije" role="button" data-bs-toggle="dropdown" aria-expanded="false">Relacije</a>
<ul class="dropdown-menu" aria-labelledby="#relacije">
<li><a class="dropdown-item" href="#definicija-in-lastnosti-relacij">Definicija in
lastnosti relacij</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#ekvivalenčne-relacije">Ekvivalenčne
relacije</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#operacije-z-relacijami">Operacije z
relacijami</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#potence-in-ovojnice-relacij">Potence in ovojnice
relacij</a></li>
</ul>
</li>
<li class="nav-item dropdown">
<a class="nav-link dropdown-toggle" href="#" id="#urejenosti" role="button" data-bs-toggle="dropdown" aria-expanded="false">Urejenosti</a>
<ul class="dropdown-menu" aria-labelledby="#urejenosti">
<li><a class="dropdown-item" href="#delna-in-linearna-urejenost">Delna in linearna
urejenost</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#posebni-elementi-v-delno-urejenih-množicah">Posebni
elementi v delno urejenih množicah</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#mreža">Mreža</a></li>
</ul>
</li>
<li class="nav-item dropdown">
<a class="nav-link dropdown-toggle" href="#" id="#grafi" role="button" data-bs-toggle="dropdown" aria-expanded="false">Grafi</a>
<ul class="dropdown-menu" aria-labelledby="#grafi">
<li><a class="dropdown-item" href="#osnovne-definicije">Osnovne definicije</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#standardni-primeri-in-operacije">Standardni
primeri in operacije</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#invariante-grafov">Invariante grafov</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#drevesa">Drevesa</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#eulerjevi-grafi">Eulerjevi grafi</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#hamiltonovi-grafi">Hamiltonovi grafi</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#ravninski-grafi">Ravninski grafi</a></li>
<li><a class="dropdown-item" href="#barvanja-grafov">Barvanja grafov</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
<!-- Python script will populate this -->
</ul>
</div>
</div>
</nav>
<!-- end of Navbar -->
<div class="container-fluid">
<div class="row flex-nowrap">
<div class="col-lg-7 mx-auto p-4">
<div class="naslov">
<h1>Diskretne strukture</h1>
<strong> Urban Jezernik <br>
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko </strong> <br>
Zadnja posodobitev: 27. 01. 2025
</div>
<div id="spinner" class="text-center">
<div class="spinner-border" style="width: 3rem; height: 3rem;" role="status"></div>
</div>
<div id="hidden_contents" style="display:none">
<h3 class="unnumbered" id="kratek-opis-predmeta">Kratek opis
predmeta</h3>
<p>Pri predmetu se bomo najprej naučili, kaj točno so
<em>izjave</em> in kako jih matematično
<em>formalizirati</em>. Eden pomembnih ciljev tega je
eksakten opis <em>sklepanja</em>, ki ga uporabljamo počez
matematike. Te koncepte bomo najprej razvili v osnovnem
<em>izjavnem računu</em>, nato pa ga bomo še posplošili do
<em>predikatnega računa</em>, s katerim bomo podrobneje
raziskali matematične izjave.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1</strong>. Nepridipravi so razbili vhodna
vrata FMF. Glavni osumljenci so študenti Ana, Bor in Cveto.
Ko jih vprašamo, kdo je kriv, odgovorijo z naslednjimi
izjavami:</p>
<ul>
<li><p>Ana: “Bor je kriv, Cveto pa ne.”</p></li>
<li><p>Bor: “Če je kriva Ana, je kriv tudi Cveto.”</p></li>
<li><p>Cveto: “Jaz nisem kriv, toda vsaj eden od drugih dveh
je kriv.”</p></li>
</ul>
<p>Pri predmetu se bomo naučili, kako lahko na
<em>sistematičen način</em> odkrijemo, kdo je lagal, če
krivi lažejo, nedolžni pa govorijo resnico.</p>
</div>
<p>Za tem bomo pri predmetu spoznali nekaj osnovnih
diskretnih struktur, po katerih se ta predmet imenuje.
Najprej bomo raziskali <em>relacije</em>, s katerimi
opisujemo odnose med elementi dane množice. Pomemben poseben
primer teh so <em>urejenosti</em>, ki posplošujejo običajne
ureditve števil po velikosti. Najbolj podrobno si bomo
ogledali <em>grafe</em>, s katerimi lahko abstraktno
predstavimo mnogo pomembnih primerov relacij.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 2</strong>. Graf je diskretna struktura,
pri kateri dano množico <em>vozlišč</em> povežemo s
<em>povezavami</em>. Z grafi lahko opišemo veliko različnih
vrst omrežij, na primer internetno omrežje, omrežje
prijateljskih povezav na Facebooku, omrežja veriženja blokov
(kriptovalute) …</p>
<p>Konkreten graf na spodnji sliki se imenuje
<span><strong><em>Petersenov graf</em></strong></span>. Ta
graf bomo tekom predmeta večkrat srečali. Na koncu predmeta
bomo znali <em>dokazati</em>, da se tega grafa ne da
narisati v ravnini, brez da bi se vsaj dve povezavi
sekali.</p>
<figure>
<img src="img/opis-petersen.png" alt="Petersenov graf" />
<figcaption aria-hidden="true">Petersenov graf</figcaption>
</figure>
</div>
<h3 class="unnumbered" id="literatura">Literatura</h3>
<ul>
<li><p><span>G. Fijavž, <a
href="http://matematika.fri.uni-lj.si/ds/ds.pdf"><em>Diskretne
strukture</em></a>, elektronska knjiga,
2015.</span></p></li>
<li><p><span>M. Juvan in P. Potočnik, <a
href="http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ipmr/1662.htm"><em>Teorija
grafov in kombinatorika</em></a>, DMFA-založništvo,
Ljubljana 2000.</span></p></li>
<li><p><span>N. Prijatelj, <em>Osnove matematične logike
I</em>, DMFA-založništvo, Ljubljana, 1992.</span></p></li>
</ul>
<h1 id="izjavni-račun">Izjavni račun</h1>
<p>V tem poglavju si bomo pogledali, kako
<em>formaliziramo</em> preproste izjave in kako
<em>dokazujemo</em> njihovo veljavnost oziroma
neveljavnost.</p>
<h2 id="izjave-in-izjavni-vezniki">Izjave in izjavni
vezniki</h2>
<p><span><strong><em>Izjava</em></strong></span> je poved,
ki je bodisi resnična bodisi lažna.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.1</strong>. </p>
<ul>
<li><p>Ena in ena je tri. <em>Lažna izjava.</em></p></li>
<li><p>Ena in ena je dve. <em>Resnična izjava.</em></p></li>
<li><p>Koliko je ena in ena? <em>Ni izjava.</em></p></li>
<li><p>Pojdimo na kavo! <em>Ni izjava.</em></p></li>
</ul>
</div>
<p>Izjave lahko razdelimo na dve skupini <em>po
vsebini</em>, in sicer:</p>
<ul>
<li><p><span><strong><em>resnične
izjave</em></strong></span>, ki imajo resničnostno vrednost
<span class="math inline">\(1\)</span> ali <span
class="math inline">\(\top\)</span> ali
<code>true</code>,</p></li>
<li><p><span><strong><em>lažne izjave</em></strong></span>,
ki imajo resničnostno vrednost <span
class="math inline">\(0\)</span> ali <span
class="math inline">\(\bot\)</span> ali
<code>false</code>.</p></li>
</ul>
<p>Po <em>zgradbi</em> oziroma <em>obliki</em> pa izjave
razdelimo na:</p>
<ul>
<li><p><span><strong><em>osnovne</em></strong></span>, ki ne
vsebujejo izjavnih veznikov,</p></li>
<li><p><span><strong><em>sestavljene</em></strong></span>,
ki vsebujejo izjavne veznike.</p></li>
</ul>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.2</strong>. </p>
<ul>
<li><p>Vreme je lepo. <em>Osnovna izjava.</em></p></li>
<li><p>Špela gre v hribe. <em>Osnovna izjava.</em></p></li>
<li><p>Vreme je lepo <em>in</em> Špela gre v hribe.
<em>Sestavljena izjava.</em></p></li>
<li><p><em>Če</em> je vreme lepo, <em>potem</em> gre Špela v
hribe. <em>Sestavljena izjava.</em></p></li>
<li><p>Špela <em>ne</em> gre v hribe. <em>Sestavljena
izjava.</em></p></li>
</ul>
</div>
<p>Naj bo <span class="math inline">\(n \in
\mathbf{N}_0\)</span>. <span><strong><em>Izjavni veznik reda
<span class="math inline">\(n\)</span></em></strong></span>
(ali <span><strong><em><span
class="math inline">\(n\)</span>-mestni izjavni
veznik</em></strong></span>) je funkcija, ki vsaki urejeni
<span class="math inline">\(n\)</span>-terici ničel in enic
priredi vrednost <span class="math inline">\(0\)</span> ali
<span class="math inline">\(1\)</span>.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.3</strong>. </p>
<ul>
<li><p>Primer izjavnega veznika reda <span
class="math inline">\(1\)</span> je
<span><strong><em>negacija</em></strong></span>. Simbol za
ta veznik je <span class="math inline">\(\lnot\)</span>. Če
je <span class="math inline">\(p\)</span> izjava, njeno
negacijo označimo kot <span class="math inline">\(\lnot
p\)</span> in preberemo kot <em>ne <span
class="math inline">\(p\)</span></em> ali kot <em>ni res, da
velja <span class="math inline">\(p\)</span></em>. Negacija
<span class="math inline">\(1\)</span>-terici <span
class="math inline">\(0\)</span> priredi vrednost <span
class="math inline">\(1\)</span>, <span
class="math inline">\(1\)</span>-terici <span
class="math inline">\(1\)</span> pa priredi vrednost <span
class="math inline">\(0\)</span>.</p>
<table>
<caption>Resničnostna tabela negacije</caption>
<thead>
<tr class="header">
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\lnot p\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
</tbody>
</table></li>
<li><p>Oglejmo si nekaj pomembnih dvomestnih izjavnih
veznikov. Njihovi predpisi so zbrani v tabeli.</p>
<ul>
<li><p><span><strong><em>Konjunkcija</em></strong></span>
izjav <span class="math inline">\(p\)</span> in <span
class="math inline">\(q\)</span> ima simbol <span
class="math inline">\(p \land q\)</span>, kar preberemo kot
<em><span class="math inline">\(p\)</span> in <span
class="math inline">\(q\)</span></em>.</p></li>
<li><p><span><strong><em>Disjunkcija</em></strong></span>
izjav <span class="math inline">\(p\)</span> in <span
class="math inline">\(q\)</span> ima simbol <span
class="math inline">\(p \lor q\)</span>, kar preberemo kot
<em><span class="math inline">\(p\)</span> ali <span
class="math inline">\(q\)</span></em>.</p></li>
<li><p><span><strong><em>Implikacija</em></strong></span>
izjav <span class="math inline">\(p\)</span> in <span
class="math inline">\(q\)</span> ima simbol <span
class="math inline">\(p \Rightarrow q\)</span>, kar
preberemo kot <em>če <span class="math inline">\(p\)</span>,
potem <span class="math inline">\(q\)</span></em> ali kot
<em>iz <span class="math inline">\(p\)</span> sledi <span
class="math inline">\(q\)</span></em> ali kot <em><span
class="math inline">\(p\)</span> je zadosten pogoj za <span
class="math inline">\(q\)</span></em> ali <em>kot <span
class="math inline">\(q\)</span> je potreben pogoj za <span
class="math inline">\(p\)</span></em>.</p></li>
<li><p><span><strong><em>Ekvivalenca</em></strong></span>
izjav <span class="math inline">\(p\)</span> in <span
class="math inline">\(q\)</span> ima simbol <span
class="math inline">\(p \Leftrightarrow q\)</span>, kar
preberemo kot <em><span class="math inline">\(p\)</span>
natanko tedaj, ko <span
class="math inline">\(q\)</span></em> ali kot <em><span
class="math inline">\(p\)</span>, če in samo če <span
class="math inline">\(q\)</span></em> ali kot <em><span
class="math inline">\(p\)</span> je ekvivalentno <span
class="math inline">\(q\)</span></em>.</p></li>
</ul>
<table>
<caption>Resničnostna tabela nekaterih pomembnih dvomestnih
izjavnih veznikov</caption>
<thead>
<tr class="header">
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(q\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p \land q\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p \lor q\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p \Rightarrow q\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p \Leftrightarrow q\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
</tbody>
</table></li>
<li><p>Izjavni veznik reda <span
class="math inline">\(0\)</span> je funkcija iz množice
urejenih <span class="math inline">\(0\)</span>-teric ničel
in enic. Obstaja natanko ena taka <span
class="math inline">\(0\)</span>-terica, in sicer <em>prazna
<span class="math inline">\(0\)</span>-terica</em>. Izjavni
veznik reda <span class="math inline">\(0\)</span> je torej
natanko določen s sliko te <span
class="math inline">\(0\)</span>-terice, za kar imamo dve
možnosti, <span class="math inline">\(0\)</span> ali <span
class="math inline">\(1\)</span>.</p>
<ul>
<li><p>Izjavni veznik reda <span
class="math inline">\(0\)</span>, ki ima vselej resničnostno
vrednost <span class="math inline">\(0\)</span>, imenujemo
<span><strong><em>0</em></strong></span> in preberemo kot
<em>lažna izjava</em>.</p></li>
<li><p>Izjavni veznik reda <span
class="math inline">\(0\)</span>, ki ima vselej resničnostno
vrednost <span class="math inline">\(1\)</span>, imenujemo
<span><strong><em>1</em></strong></span> in preberemo kot
<em>resnična izjava</em>.</p></li>
</ul>
<p>Izjavnima veznikoma reda <span
class="math inline">\(0\)</span> pravimo tudi
<span><strong><em>izjavni
konstanti</em></strong></span>.</p></li>
</ul>
</div>
<p>Glede na zgornjo obravnavamo izjavnih veznikov redov
<span class="math inline">\(0\)</span>, <span
class="math inline">\(1\)</span> in <span
class="math inline">\(2\)</span> se lahko vprašamo, koliko
je vseh <span class="math inline">\(n\)</span>-mestnih
izjavnih veznikov za poljuben <span class="math inline">\(n
\in \mathbf{N}_0\)</span>. Vsak tak veznik je enolično
določen s svojo resničnostno tabelo, v kateri zabeležimo
vrednosti veznika v <span><strong><em>izjavnih
spremenljivkah</em></strong></span> <span
class="math inline">\(p_1, p_2, \dots, p_n\)</span>, kjer
vsak <span class="math inline">\(p_i\)</span> zavzema
vrednosti <span class="math inline">\(0\)</span> ali <span
class="math inline">\(1\)</span>.</p>
<table>
<caption>Resničnostna tabela <span
class="math inline">\(n\)</span>-mestnega izjavnega
veznika</caption>
<thead>
<tr class="header">
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p_1\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p_1\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\cdots\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p_n\)</span></th>
<th style="text-align: center;">veznik(<span
class="math inline">\(p_1\)</span>, <span
class="math inline">\(p_2\)</span>, …, <span
class="math inline">\(p_n\)</span>)</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\cdots\)</span></td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0 ali 1 <em>(dve
možnosti)</em></td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\cdots\)</span></td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0 ali 1 <em>(dve
možnosti)</em></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\vdots\)</span></td>
<td style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\vdots\)</span></td>
<td style="text-align: center;"></td>
<td style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\vdots\)</span></td>
<td style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\vdots\)</span></td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\cdots\)</span></td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0 ali 1 <em>(dve
možnosti)</em></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Število vseh <span
class="math inline">\(n\)</span>-mestnih izjavnih veznikov
torej izračunamo tako, da preštejemo število vseh možnih
resničnostnih tabel. Število vrstic tabele je enako <span
class="math inline">\(2^n\)</span>, število vseh tabel pa je
zato enako <span class="math inline">\(2^{2^n}\)</span>.</p>
<table>
<caption>Hitra rast števila <span
class="math inline">\(n\)</span>-mestnih izjavnih
veznikov</caption>
<thead>
<tr class="header">
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(n\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(2^n\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(2^{2^n}\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">2</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">2</td>
<td style="text-align: center;">4</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">2</td>
<td style="text-align: center;">4</td>
<td style="text-align: center;">16</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">3</td>
<td style="text-align: center;">8</td>
<td style="text-align: center;">256</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">4</td>
<td style="text-align: center;">16</td>
<td style="text-align: center;">65536</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">5</td>
<td style="text-align: center;">32</td>
<td style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\sim 4 \cdot 10^9\)</span></td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">6</td>
<td style="text-align: center;">64</td>
<td style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(\sim 2 \cdot 10^{19}\)</span></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<h2 id="izjavni-izrazi">Izjavni izrazi</h2>
<p><span><strong><em>Izjavni izraz</em></strong></span>
definiramo induktivno na naslednji način:</p>
<ul>
<li><p><em>Osnovni izraz 1:</em> Vsaka <em>izjavna
konstanta</em> (torej <span class="math inline">\(0\)</span>
ali <span class="math inline">\(1\)</span>) je izjavni
izraz.</p></li>
<li><p><em>Osnovni izraz 2:</em> Vsaka <em>izjavna
spremenljivka</em> <span class="math inline">\(p_1, p_2,
\dots\)</span> je izjavni izraz.</p></li>
<li><p><em>Sestavljeni izraz:</em> Če je <span
class="math inline">\(f\)</span> <em>izjavni veznik</em>
reda <span class="math inline">\(n\)</span> in so <span
class="math inline">\(A_1, A_2, \dots, A_n\)</span> izjavni
izrazi, potem je <span
class="math inline">\((f(A_1,A_2,\dots,A_n))\)</span>
izjavni izraz.</p></li>
</ul>
<p>Izjavni izrazi so torej izjave, ki jih dobimo iz <span
class="math inline">\(0,1\)</span> in izjavnih spremenljivk
z (večkratno) uporabo izjavnih veznikov.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.4</strong>. Naj bodo <span
class="math inline">\(p,q,r\)</span> izjavne spremenljivke.
Tvorimo lahko izjavne izraze <span class="math inline">\((p
\Rightarrow q)\)</span>, <span class="math inline">\((\lnot
r)\)</span>, <span class="math inline">\(((p \Rightarrow q)
\land (\lnot r))\)</span>, …</p>
</div>
<p>Pri pisanju bolj zakompliciranih izjavnih izrazov se
prične pojavljati mnogo oklepajev. V izogib pisanju
prevelikega števila teh oklepajev uporabljamo naslednji
<span><strong><em>dogovor o prednostnem vrstnem redu
veznikov</em></strong></span>:</p>
<ul>
<li><p><span class="math inline">\(\lnot\)</span> ima
prednost pred dvomestnimi vezniki,</p></li>
<li><p>veznik iz <span class="math inline">\((\land, \lor,
\Rightarrow, \Leftrightarrow)\)</span> ima prednost pred
vezniki desno od sebe,</p></li>
<li><p>če isti veznik nastopi večkrat zapored, ima levi
nastop prednost pred desnim,</p></li>
<li><p>zunanji oklepaj spuščamo.</p></li>
</ul>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.5</strong>. </p>
<ul>
<li><p>Izjavni izraz <span class="math inline">\((p
\Rightarrow (q \land r))\)</span> pišemo krajše kot <span
class="math inline">\(p \Rightarrow q \land
r\)</span>.</p></li>
<li><p>Izraz <span class="math inline">\(p \Rightarrow q
\Rightarrow r \Rightarrow s\)</span> je okrajšava za izjavni
izraz <span class="math inline">\((((p \Rightarrow q)
\Rightarrow r) \Rightarrow s)\)</span>.</p></li>
<li><p>Izraz <span class="math inline">\(p \lor \lnot q
\Leftrightarrow r \Rightarrow q\)</span> je okrajšava za
izjavni izraz <span class="math inline">\((( p \lor (\lnot
q)) \Leftrightarrow (r \Rightarrow p))\)</span>.</p></li>
</ul>
</div>
<p>Izjavni izrazi vsebujejo izjavne spremenljivke, zato
določajo neko resničnostno tabelo in s tem tudi nek izjavni
veznik.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.6</strong>. Naj bodo <span
class="math inline">\(p,q,r\)</span> izjavne spremenljivke
in naj bo <span class="math inline">\(f(p,q,r) = (p
\Rightarrow q) \land \lnot r\)</span> izjavni izraz.
Izračunamo lahko resničnostno tabelo tega izraza in na ta
način lahko na <span class="math inline">\(f\)</span>
gledamo kot na izjavni veznik reda <span
class="math inline">\(3\)</span>.</p>
<table>
<caption>Resničnostna tabela izjavnega izraza <span
class="math inline">\((p \Rightarrow q) \land \lnot
r\)</span></caption>
<thead>
<tr class="header">
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(q\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(r\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\((p \Rightarrow q) \land \lnot
r\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<h2 id="tavtologije-in-enakovredni-izrazi">Tavtologije in
enakovredni izrazi</h2>
<p>Če je izjavni izraz <em>resničen</em> pri vseh naborih
svojih izjavnih spremenljivk, mu rečemo
<span><strong><em>tavtologija</em></strong></span>. Če je
<em>lažen</em> pri vseh naborih, mu rečemo
<span><strong><em>protislovje</em></strong></span>. Če ni
niti tavtologija niti protislovje, je
<span><strong><em>kontingenten</em></strong></span>.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.7</strong>. </p>
<ul>
<li><p>Izjavna izraza <span class="math inline">\(1\)</span>
in <span class="math inline">\(p \lor \lnot p\)</span> sta
tavtologiji.</p></li>
<li><p>Izjavna izraza <span
class="math inline">\(0\)</span>, <span
class="math inline">\(p \land \lnot p\)</span> sta
protislovji.</p></li>
<li><p>Izračunajmo resničnostne tabele izjavnih izrazov
<span class="math inline">\(p \Rightarrow q \Leftrightarrow
\lnot p \lor q\)</span>, <span class="math inline">\(p \land
\lnot (q \Rightarrow p)\)</span> in <span
class="math inline">\(p \land (\lnot q \lor p)\)</span>.</p>
<table>
<caption>Resničnostne tabele treh izjavnih izrazov</caption>
<thead>
<tr class="header">
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(q\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p \Rightarrow q \Leftrightarrow \lnot
p \lor q\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p \land \lnot (q \Rightarrow
p)\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p \land (\lnot q \lor p)\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Vidimo, da je prvi izraz tavtologija, drugi protislovje,
tretji pa kontingenten.</p>
<div class="domacanaloga">
<p><strong>Domača naloga 1.1</strong>. Prepričaj se, da je
resničnostna tabela izjavnega izraza <span
class="math inline">\(p \land (\lnot q \lor p)\)</span>
enaka resničnosti tabeli izjavnega izraza <span
class="math inline">\(p\)</span>. Sklepaj, da je izjava
<span class="math inline">\(p \land (\lnot q \lor p)
\Leftrightarrow p\)</span> tavtologija. Na podoben način se
prepričaj, da je izraz <span class="math inline">\(p
\Rightarrow q \Leftrightarrow \lnot q \Rightarrow \lnot
p\)</span> tavtologija.</p>
</div></li>
</ul>
</div>
<p>Naj bosta <span class="math inline">\(A\)</span> in <span
class="math inline">\(B\)</span> izjavna izraza. Kadar je
<span class="math inline">\(A \Leftrightarrow B\)</span>
tavtologija, tedaj rečemo, da sta izraza <span
class="math inline">\(A\)</span> in <span
class="math inline">\(B\)</span>
<span><strong><em>enakovredna</em></strong></span>. Z
drugimi besedami, izraza <span
class="math inline">\(A\)</span> in <span
class="math inline">\(B\)</span> sta enakovrednosta, kadar
imata enaka stolpca v resničnostni tabeli. V tem primeru
uporabimo oznako <span class="math inline">\(A \sim
B\)</span>.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.8</strong>. Velja <span
class="math inline">\(p \Rightarrow q \sim \lnot p \lor q
\sim \lnot q \Rightarrow \lnot p\)</span> in <span
class="math inline">\(p \land (\lnot q \lor p) \sim
p\)</span>.</p>
</div>
<p>Enakovrednemu paru izjavnih izrazov <span
class="math inline">\(A \sim B\)</span> rečemo
<span><strong><em>zakon izjavnega
računa</em></strong></span>. V vsakem izjavnem izrazu lahko
poljuben izraz zamenjamo z enakovrednim in s tem
poenostavimo izjavni izraz.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.9</strong>. Velja <span
class="math display">\[p \land (\lnot q \lor p) \Rightarrow
(\lnot q \Rightarrow \lnot p) \sim
p \Rightarrow (p \Rightarrow q).\]</span></p>
</div>
<p>Navedimo nekaj uporabnih zakonov izjavnega računa, ki
veljajo za vse izjavne izraze <span
class="math inline">\(A,B,C\)</span>.</p>
<ul>
<li><p><span class="math inline">\(\lnot 0 \sim 1\)</span>,
<span class="math inline">\(\lnot 1 \sim 0\)</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">\(A \land 0 \sim
0\)</span>, <span class="math inline">\(A \land 1 \sim
A\)</span>, <span class="math inline">\(A \lor 0 \sim
A\)</span>, <span class="math inline">\(A \lor 1 \sim
1\)</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">\(A \land A \sim
A\)</span>, <span class="math inline">\(A \lor A \sim
A\)</span>
(<span><strong><em>idempotentnost</em></strong></span>)</p></li>
<li><p><span class="math inline">\(A \land B \sim B \land
A\)</span>, <span class="math inline">\(A \lor B \sim B \lor
A\)</span>
(<span><strong><em>komutativnost</em></strong></span>)</p></li>
<li><p><span class="math inline">\(A \land (B \land C) \sim
(A \land B) \land C\)</span>, <span class="math inline">\(A
\lor (B \lor C) \sim (A \lor B) \lor C\)</span>
(<span><strong><em>asociativnost</em></strong></span>)</p></li>
<li><p><span class="math inline">\(A \land (A \lor B) \sim
A\)</span>, <span class="math inline">\(A \lor (A \land B)
\sim A\)</span>
(<span><strong><em>absorpcija</em></strong></span>)</p></li>
<li><p><span class="math inline">\(A \land (B \lor C) \sim
(A \land B) \lor (A \land C)\)</span>, <span
class="math inline">\(A \lor (B \land C) \sim (A \lor B)
\land (A \lor C)\)</span>
(<span><strong><em>distributivnost</em></strong></span>)</p></li>
<li><p><span class="math inline">\(\lnot \lnot A \sim
A\)</span> (<span><strong><em>dvojna
negacija</em></strong></span>)</p></li>
<li><p><span class="math inline">\(\lnot (A \land B) \sim
\lnot A \lor \lnot B\)</span>, <span
class="math inline">\(\lnot (A \lor B) \sim \lnot A \land
\lnot B\)</span> (<span><strong><em>De Morganova
zakona</em></strong></span>)</p></li>
<li><p><span class="math inline">\(A \Rightarrow B \sim
\lnot B \Rightarrow \lnot A\)</span>
(<span><strong><em>kontrapozicija</em></strong></span>),
<span class="math inline">\(A \Rightarrow B \sim \lnot A
\lor B\)</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">\(A \Leftrightarrow B \sim
(A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)\)</span></p></li>
</ul>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.10</strong>. Izjavni izraz iz zadnjega
zgleda lahko z naštetimi zakoni poenostavimo do <span
class="math display">\[p \Rightarrow (p \Rightarrow q) \sim
\lnot p \lor (\lnot p \lor q) \sim
(\lnot p \lor \lnot p) \lor q \sim
\lnot p \lor q \sim
p \Rightarrow q.\]</span></p>
</div>
<h2 id="dno-in-kno">DNO in KNO</h2>
<p>Do sedaj smo govorili o tem, kako za dan izjavni izraz
določimo njegovo resničnostno tabelo. V tem razdelku si bomo
zastavili obratno nalogo. Recimo, da je dana resničnostna
tabela nekega kontingentnega izjavnega izraza <span
class="math inline">\(A\)</span>. Pokazali bomo, da lahko
zgolj z uporabo izjavnih veznikov <span
class="math inline">\(\lnot\)</span>, <span
class="math inline">\(\land\)</span>, <span
class="math inline">\(\lor\)</span> sestavimo izjavni izraz
<span class="math inline">\(D\)</span>, tako da bo <span
class="math inline">\(A \sim D\)</span>. Za začetek si
oglejmo, kako to naredimo na enem konkretnem primeru.</p>
<div class="zgled">
<p><strong>Zgled 1.11</strong>. Naj bo izjavni izraz <span
class="math inline">\(A\)</span> dan z resničnostno tabelo
<span class="math inline">\(T\)</span>.</p>
<table>
<caption>Resničnostna tabela <span
class="math inline">\(T\)</span> izjavnega izraza <span
class="math inline">\(A\)</span></caption>
<thead>
<tr class="header">
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(p\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(q\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(r\)</span></th>
<th style="text-align: center;"><span
class="math inline">\(A\)</span></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
<tr class="odd">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
</tr>
<tr class="even">
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">0</td>
<td style="text-align: center;">1</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Iskani izjavni izraz <span
class="math inline">\(D\)</span> mora biti resničen natanko
v 2., 6. in 8. vrstici tabele <span
class="math inline">\(T\)</span>. To je res natanko tedaj,
ko velja <span class="math inline">\(p \land q \land \lnot
r\)</span> ali <span class="math inline">\(\lnot p \land q
\land \lnot r\)</span> ali <span class="math inline">\(\lnot
p \land \lnot q \land \lnot r\)</span>. Torej lahko vzamemo
preprosto <span class="math display">\[D = (p \land q \land
\lnot r) \lor (\lnot p \land q \land \lnot r) \lor (\lnot p
\land \lnot q \land \lnot r)\]</span> in res velja <span
class="math inline">\(D \sim A\)</span>. Dobljeni izjavni
izraz <span class="math inline">\(D\)</span> lahko še
nekoliko poenostavimo.</p>
<div class="domacanaloga">
<p><strong>Domača naloga 1.2</strong>. Z uporabo zakonov
izjavnega računa se prepričaj, da velja <span
class="math inline">\(D \sim \lnot (p \Rightarrow q
\Rightarrow r)\)</span>.</p>
</div>
</div>
<p>Naj bo zdaj <span class="math inline">\(A\)</span>
poljuben kontingenten izjavni izraz in <span
class="math inline">\(T\)</span> njegova resničnostna
tabela. <span><strong><em>Disjunktivna normalna
oblika</em></strong></span> izraza <span
class="math inline">\(A\)</span> je disjunkcija <em>osnovnih
konjunkcij</em> tistih vrstic, kjer je <span
class="math inline">\(A\)</span> resničen. Pri tem je
osnovna konjunkcija neke vrstice konjunkcija tistih izjavnih
spremenljivk, ki so v tej vrstici resnične, in negacij
tistih izjavnih spremenljivk, ki so v tej vrstici lažne.
Disjunktivno normalno obliko izraza <span
class="math inline">\(A\)</span> krajše pišemo kot <span