MaxwellEqns.tex

% !TeX program = lualatex
% !TeX encoding = utf8
% !TeX spellcheck = uk_UA
% !BIB program = bibler

\documentclass[onlytextwidth]{beamer}
\usetheme{Electromagnetism}
\usepackage{Electromagnetism}
\usepackage{cancel}


%============================================================================
\title[Лекції електрики та магнетизму]{\huge\bfseries Система рівнянь Максвелла}
\subtitle{Лекції з електрики та магнетизму}
\author{Пономаренко С. М.}
\date{}
%============================================================================
\graphicspath{{pictures/}}
\begin{document}


\begin{frame}[plain]
	\maketitle
\end{frame}

% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Зміст}{}
	\tableofcontents
\end{frame}
% ===========================================================================




% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Основоположники теорії електромагнітного поля}{}
	\begin{block}{}\justifying
		Теорія електромагнітного поля, початки якої заклав \alert{Фарадей}, математично була завершена \alert{Максвеллом}. При цьому однією з найважливіших
		нових ідей, висунутих Максвеллом, була думка про симетрію в взаємозалежності електричного і магнітного полів.
	\end{block}

	\begin{tblr}{
		colspec={X[c,m, 0.4\linewidth]X[c,m, 0.6\linewidth]},
		row{2} = {c,m, font=\small}
		}
		\includegraphics[height=3cm]{Faraday} & \includegraphics[height=3cm]{james-clerk-maxwell} \\
		\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday}{Майкл Фарадей} (1791 -- 1867) --- англійський фізик і хімік.
		                                      &
		{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell}{Джеймс Клерк Максвелл}          \\ (1831 -- 1879) --- шотландський вчений.}
	\end{tblr}
\end{frame}
% ===========================================================================

% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}[t]{Цитати із книги <<Еволюція фізики>>}{А. Ейнштейн, Л. Інфельд}
	\tikz[remember picture,overlay] \node[opacity=1,inner sep=0pt,
		anchor=north west] at (current page.north west){\includegraphics[width=1.2cm]{Evolution}};
	\begin{block}{}\centering
		\begin{tikzpicture}[pencildraw/.style={ %
						decorate,
						decoration={random steps,segment length=2pt,amplitude=1pt}
					} %
			]
			\node[align=justify, drop shadow,
			preaction={fill=black,opacity=.5},
			pencildraw,draw,fill=white,text width=0.9\linewidth,inner sep=2mm]
			{Кількісне, математичне формулювання законів поля дано в так званих рівняннях Максвелла.
			\alert{[Експериментальні] факти призвели до формулювання цих рівнянь}, але зміст їх значно багатший [\ldots]. Їхня проста форма приховує глибину, що
			виявляється тільки при ретельному вивченні.};
		\end{tikzpicture}
	\end{block}
	\begin{block}{}\centering
		\begin{tikzpicture}[pencildraw/.style={ %
						decorate,
						decoration={random steps,segment length=2pt,amplitude=1pt}
					} %
			]
			\node[align=justify, drop shadow,
				preaction={fill=black,opacity=.5},
				pencildraw,draw,fill=white,text width=0.9\linewidth,inner sep=2mm]
			{
				Формулювання цих рівнянь є найважливішою подією з часу Ньютона не тільки важливою подією з часу Ньютона не тільки внаслідок цінності їхнього
				змісту, а й
				тому, що вони дають зразок нового типу законів. Характерну особливість рівнянь Максвелла, яка проявляється і в усіх інших рівняннях сучасної
				фізики,
				можна виразити в одному реченні: \alert{рівняння Максвелла суть закони, що виражають структуру поля}.
			};
		\end{tikzpicture}
	\end{block}
\end{frame}
%

%% --------------------------------------------------------
\section{Струм зміщення}
%% --------------------------------------------------------===========================================================================

% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Струм зміщення і закон збереження заряду}
	\framesubtitle<1>{Протиріччя в законах магнетизму}
	\begin{onlyenv}<1>
		\begin{columns}
			\begin{column}{0.69\linewidth}
				\begin{block}{}\justifying
					Теорема про циркуляцію для постійного магнітного поля:
					\begin{equation*}
						\oint\limits_L \Hfield\cdot d\vect{r} = \frac{4\pi}{c} \oiint\limits_S \vect{j}\cdot d\vect{S},
					\end{equation*}
					або в диференціальній формі
					\begin{equation*}
						\Rot\Hfield = \frac{4\pi}{c}\vect{j}
					\end{equation*}
					виявляється неправильною у випадку змінного електричного поля.
				\end{block}
			\end{column}
			\begin{column}{0.3\linewidth}\centering
				\input{tikz/circ_thm.tikz}
			\end{column}
		\end{columns}
		\begin{block}{}\justifying
			Застосовуючи операцію $\Div$ до цього рівняння і
			враховуючи тотожність $\Div\Rot\Hfield = 0$, отримуємо $\Div\vect{j} = 0$. З іншого
			боку, якщо густина заряду змінюється з часом, $\frac{\partial\rho}{\partial t} \neq 0$ то в силу
			закону збереження заряду
			\begin{equation*}
				\Div\vect{j} = - \frac{\partial\rho}{\partial t},
			\end{equation*}
			тобто $\Div\vect{j} \neq 0$. Це протиріччя показує, що необхідно
			видозмінити теорему про циркуляцію.
		\end{block}
	\end{onlyenv}
	\framesubtitle<2>{Гіпотеза Максвелла}
	\begin{onlyenv}<2>
		\begin{block}{}\justifying
			Для вирішення цього протиріччя Дж. Максвелл увів поняття \alert{струму зміщення} $\vect{j}_\text{зм}$ співвідношенням
			\begin{equation*}
				\Rot\Hfield = \frac{4\pi}{c}(\vect{j} + \vect{j}_\text{зм}),
			\end{equation*}
			щоб закон збереження заряду виконувалося. Застосовуючи операцію $\Div$ до записаного рівняння,
			отримуємо:
			\begin{equation*}
				\Div(\vect{j} + \vect{j}_\text{зм}) = 0, \ \Rightarrow\ \Div\vect{j}_\text{зм} = \frac{\partial\rho}{\partial t}.
			\end{equation*}
			За теоремою Гаусса для електричного поля $\rho = \frac1{4\pi}\Div\Dfield$. Отже:
			\begin{equation*}
				\Div\vect{j}_\text{зм} = \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac1{4\pi}\Div\Dfield \right),\ \Rightarrow\ \tcbhighmath{\vect{j}_\text{зм} =
					\frac1{4\pi}\frac{\partial\Dfield}{\partial t}.}
			\end{equation*}
		\end{block}
	\end{onlyenv}
	\framesubtitle<3>{Теорема про циркуляцію магнітного поля}
	\begin{onlyenv}<3>
		\begin{block}{}\justifying
			Таким чином, теорема про циркуляцію для магнітного поля,
			що узгоджується із законом збереження заряду, має записуватися у вигляді
			\begin{equation*}
				\tcbhighmath{\Rot\Hfield = \frac{4\pi}{c}\vect{j} + \frac1c\frac{\partial\Dfield}{\partial t},}
			\end{equation*}
			В інтегральній формі теорема про циркуляцію має вигляд
			\begin{equation*}
				\oint\limits_L \Hfield\cdot d\vect{r} = \frac{4\pi}{c} \iint\limits_S\vect{j}\cdot d\vect{S} + \frac1c\iint\limits_S
				\frac{\partial\Dfield}{\partial t} \cdot d\vect{S},
			\end{equation*}
			де $I_\text{зм} =  \frac1{4\pi} \iint\limits_S\frac{\partial\Dfield}{\partial t} \cdot d\vect{S}$ --- струм зміщення, що пронизує площу $S$, натягнуту
			на контур $L$.
			Отже, згідно гіпотези Максвелла \alert{змінне електричне поле поряд зі звичайними струмами, також створює магнітне поле}.
		\end{block}
	\end{onlyenv}%
	\framesubtitle<4>{Порівняння закону Фарадея та гіпотези Максвелла}%
	\begin{onlyenv}<4>
		\begin{block}{}\justifying
			Порівняємо закон електромагнітної індукції Фарадея, та <<оновлену>> теорему про циркуляцію за відсутності струмів провідності ($\vect{j} = 0$) у
			вакуумі ($\epsilon = \mu = 1$ $\Rightarrow$ {\color{red}$\Efield = \Dfield$}, {\color{blue}$\Hfield = \Bfield$}).
		\end{block}
		\vspace*{-3ex}
		\begin{center}\small
			\begin{tblr}%
				{
				colspec={X[c,m]X[c,m]},
				row{2}={c,m,mode=dmath},
				}
				Закон електромагнітної індукції                          & Закон магнітоелектричної індукції                        \\
				\Rot\Efield = -\frac1c\frac{\partial\Bfield}{\partial t} & \Rot\Bfield = +\frac1c\frac{\partial\Efield}{\partial t} \\
				\begin{pict}
					\tikz[rotate=90, scale=0.75, >=latex, midarrow/.style={%
								postaction={ decorate,
										decoration={ markings, mark=at position .7 with {\arrow{latex}}}}}]{
						\begin{scope}[xshift=0.25cm]
							\draw[arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}, red] (1.1,0) [partial ellipse=360:0:0.15 and 0.5];
							\draw[arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}, red] (1.1,0) [partial ellipse=360:0:0.3 and 1];
							\draw[arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}, red] (1.1,0) [partial ellipse=360:0:0.6 and 2] node[pos=0.5, below] {$\Efield$};
						\end{scope}

						\foreach \y in {-3,...,3}{
								\draw[blue, midarrow] plot[domain=1:3] (\x, 0.2*\y+0.05*\y*\x^2);
							}
						\node[blue, font=\small] at (3.5, 0) {$\frac{\partial\Bfield}{\partial t}>0$};
					}
				\end{pict}
				                                                         &
				\begin{pict}
					\tikz[rotate=90, scale=0.75, >=latex, midarrow/.style={%
								postaction={ decorate,
										decoration={ markings, mark=at position .7 with {\arrow{latex}}}}}]{
						\begin{scope}[xshift=0.25cm]
							\draw[arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}, blue] (1.1,0) [partial ellipse=0:360:0.15 and 0.5];
							\draw[arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}, blue] (1.1,0) [partial ellipse=0:360:0.3 and 1];
							\draw[arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}, blue] (1.1,0) [partial ellipse=0:360:0.6 and 2] node[pos=0.5, below] {$\Bfield$};
						\end{scope}

						\foreach \y in {-3,...,3}{
								\draw[red, midarrow] plot[domain=1:3] (\x, 0.2*\y+0.05*\y*\x^2);
							}
						\node[red, font=\small] at (3.5, 0) {$\frac{\partial\Efield}{\partial t}>0$};
					}
				\end{pict}
			\end{tblr}
		\end{center}
		\vspace*{-3ex}
		\begin{alertblock}{}\centering
			Змінне в часі магнітне поле породжує вихрове електричне поле, а змінне в часі електричне поле породжує магнітне поле.
		\end{alertblock}
	\end{onlyenv}
\end{frame}
% ===========================================================================

%% --------------------------------------------------------
\subsection{Приклади розрахунку струмів зміщення}
%% --------------------------------------------------------


% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Радіальне стікання заряду з кулі}{}\small
	\begin{block}{}\justifying
		Нехай куля несе заряд $Q$, який стікає в зовнішнє середовище. Унаслідок стікання заряду виникають струми, які можуть індукувати магнітне поле.
		Знайдемо це магнітне поле.
	\end{block}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.25\linewidth}\centering
			\begin{tikzpicture}[>=latex]
				\draw[ball color=red!50] (0, 0) circle[radius=0.5cm];
				\draw[dashed] (0, 0) circle[radius=0.75cm];
				\foreach \a in {0,45,...,340}{
						\draw[brown, ->] (0,0) ++(\a:0.75) -- ++(\a:0.25) node[anchor={180+\a}] {$I$};
						\draw[orange, <-] (0,0) ++({\a+45/2}:0.75) -- ++({\a+45/2}:0.25) node[anchor={180+\a+45/2}] {$I_\text{зм}$};
					}
			\end{tikzpicture}
		\end{column}
		\quad
		\begin{column}{0.70\linewidth}
			\begin{block}{}\justifying
				Стікання заряду з кулі створює струм провідності, який дорівнює:
				\begin{equation*}
					I = -\frac{\partial Q}{\partial t}.
				\end{equation*}
				Електричне поле кулі $\Efield(r) = \frac{Q(t)}{r^3}\vect{r}$ також зменшується з часом, а тому струм зміщення дорівнює:
				\begin{equation*}
					I_\text{зм} = \frac1{4\pi} \oiint\limits_S \frac{\partial\Efield}{\partial t}\cdot d\vect{S} = + \frac{\partial Q}{\partial t} = -I.
				\end{equation*}
			\end{block}
		\end{column}
	\end{columns}
	\begin{block}{}\justifying
		З теореми про циркуляцію:
		\begin{equation*}
			\oint\limits_L \Hfield\cdot d\vect{r} = \frac{4\pi}{c} (I + I_\text{зм}) = 0,\ \Rightarrow\ \Hfield = \Bfield = 0.
		\end{equation*}
	\end{block}
	Отже, в цьому випадку, магнітного поля не виникає.
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Струм зміщення в конденсаторі}{}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.5\linewidth}\centering
			\begin{tblr}{
				colspec={X[c, m]X[c,m]},
				row{2} = {c,m, font=\scriptsize}
				}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
					\clip (-1.5, -2.5) rectangle ++(4, 5.5);
					\draw[line width=2pt, gray!50, arrowpos={0.7}{0pt}{7pt}] (0, -2) coordinate (A) -- ++(0, 2);
					\draw[line width=3pt, red!50] (-1, 0) -- (1, 0);
					\draw[line width=2pt, gray!50, arrowpos={0.7}{0pt}{7pt}] (0, 0.5) -- ++(0, 2) coordinate (B);
					\draw[line width=3pt, blue!50] (-1, 0.5) -- (1, 0.5)  ;
					\draw [arrowpos={0.5}{4pt}{4pt}, bend left=120, looseness=2] (B) to (A);
					\draw[fill=red!50, opacity=0.5] (0, -1.5) circle[x radius=1 cm, y radius= 0.3 cm];
					\draw[line width=2pt, gray!50] (0, -1.5) -- ++(0, 0.4);
				\end{tikzpicture}
				 &
				\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
					\clip (-1.5, -2.5) rectangle ++(4, 5.5);
					\draw[line width=2pt, gray!50, arrowpos={0.7}{0pt}{7pt}] (0, -2) coordinate (A) -- ++(0, 2);
					\draw[line width=3pt, red!50] (-1, 0) -- (1, 0);
					\draw[line width=2pt, gray!50, arrowpos={0.7}{0pt}{7pt}] (0, 0.5) -- ++(0, 2) coordinate (B);
					\draw[line width=3pt, blue!50] (-1, 0.5) -- (1, 0.5)  ;
					\draw [arrowpos={0.5}{4pt}{4pt}, bend left=120, looseness=2] (B) to (A);
					\draw[fill=red!50, opacity=0.6] (0, -1.5) circle[x radius=1 cm, y radius= 0.3 cm];
					\draw[in=55, out=125, looseness=3.9, fill=red!50, opacity=0.5] (-1, -1.5) to (+1, -1.5) arc[x radius=1 cm, y radius= 0.3 cm, start
							angle=0,
							delta angle=180] --cycle;
				\end{tikzpicture}
				\\
				Площа $S$ пронизується лише струмом провідності
				 &
				Площа $S$ пронизується лише струмом зміщення
			\end{tblr}
		\end{column}
		\begin{column}{0.5\linewidth}
			\begin{block}{}\justifying
				Теорема про циркуляцію має вигляд:
				\begin{itemize}
					\item Для лівого рисунка
					      \begin{equation*}
						      \oint\limits_L \Hfield\cdot d\vect{r} = \frac{4\pi}{c}I.
					      \end{equation*}
					\item Для правого рисунка
					      \begin{equation*}
						      \oint\limits_L \Hfield\cdot d\vect{r} = \frac{4\pi}{c}I_\text{зм}.
					      \end{equation*}
				\end{itemize}
			\end{block}
		\end{column}
	\end{columns}
	\begin{block}{}\justifying\small
		Оскільки різні поверхні спираються на один і той же контур $L$, то циркуляція $\oint\limits_L \Hfield\cdot d\vect{r}$ не повинна залежати вибору
		поверхні. А, отже, $I = I_\text{зм}$, тобто в середині конденсатора <<протікає>> струм зміщення, який замикає коло.
	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Струм зміщення в конденсаторі та магнітне поле}{}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.5\linewidth}\centering
			\begin{pict}
				\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.2, transform shape]
					%                \node[anchor = center] at (0,0) {\includegraphics[width=2cm]{Pictures/condensator}};
					\draw[thick, red] (-1.5, 0) --  (-0.6, 0) node[pos=0.1, below] {$+$};
					\draw[fill=red!50] (-0.6, -1) -- (-0.6, 0.4) -- (-0.1, 0.9) -- (-0.1, -0.5) -- cycle;


					\foreach \x in {-1, 0, +1} {
							\begin{scope}[xshift=\x cm]
								\draw[dash pattern=on 2pt off 0.7pt, blue, arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}] (0,0) circle (0.2 and 0.6);
								\draw[dash pattern=on 2pt off 0.7pt, blue, arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}] (0,0) circle (0.14 and 0.4);
								\draw[dash pattern=on 2pt off 0.7pt, blue, arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}] (0,0) circle (0.05 and 0.2);
							\end{scope}

						}

					\draw[thick, red] (-1, 0) --  (-0.6, 0) ;


					\foreach \y in {0, -0.5, -1} {
							\begin{scope}[yshift=\y cm]
								\draw[arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}, red, thin] (-0.2, 0.6) -- ++(0.8,0);
								\draw[arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}, red, thin] (-0.3, 0.5) -- ++(0.8,0);
								\draw[arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}, red, thin] (-0.4, 0.4) -- ++(0.8,0);
							\end{scope}
						}

					\begin{scope}[xshift=0.83cm]
						\draw[fill=blue!50] (-0.6, -1) -- (-0.6, 0.4) -- (-0.1, 0.9) -- (-0.1, -0.5) -- cycle;
					\end{scope}
					\draw[thick, blue] (0.5, 0) --  (1.5, 0) node[pos=0.9, below] {$-$};

					\draw[->] (-1.4, -1.2) -- node[below] {$I$} ++(0.6, 0);
					\draw[->] (-0.4, -1.2) -- node[below] {$\parttime\Dfield$} ++(0.6, 0);
					\draw[->] (1, -1.2) -- node[below] {$I$} ++(0.6, 0);
					%
					%                \draw (-2, -2) to[grid with coordinates] (3,3);
				\end{tikzpicture}
			\end{pict}
		\end{column}
		\begin{column}{0.5\linewidth}\centering
			\begin{pict}
				\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.2, transform shape]
					%                \node[anchor = center] at (0,0) {\includegraphics[width=2cm]{Pictures/condensator}};
					\draw[thick, red] (-1.5, 0) --  (-0.6, 0) node[pos=0.1, below] {$+$};
					\draw[fill=red!50] (-0.6, -1) -- (-0.6, 0.4) -- (-0.1, 0.9) -- (-0.1, -0.5) -- cycle;


					\foreach \x in {-1, 0, +1} {
							\begin{scope}[xshift=\x cm, xscale=-1]
								\draw[dash pattern=on 2pt off 0.7pt, blue, arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}] (0,0) circle (0.2 and 0.6);
								\draw[dash pattern=on 2pt off 0.7pt, blue, arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}] (0,0) circle (0.14 and 0.4);
								\draw[dash pattern=on 2pt off 0.7pt, blue, arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}] (0,0) circle (0.05 and 0.2);
							\end{scope}

						}

					\draw[thick, red] (-1, 0) --  (-0.6, 0) ;


					\foreach \y in {0, -0.5, -1} {
							\begin{scope}[yshift=\y cm]
								\draw[arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}, red, thin] (-0.2, 0.6) -- ++(0.8,0);
								\draw[arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}, red, thin] (-0.3, 0.5) -- ++(0.8,0);
								\draw[arrowpos={0.4}{2pt}{2pt}, red, thin] (-0.4, 0.4) -- ++(0.8,0);
							\end{scope}
						}

					\begin{scope}[xshift=0.83cm]
						\draw[fill=blue!50] (-0.6, -1) -- (-0.6, 0.4) -- (-0.1, 0.9) -- (-0.1, -0.5) -- cycle;
					\end{scope}
					\draw[thick, blue] (0.5, 0) --  (1.5, 0) node[pos=0.9, below] {$-$};

					\draw[<-] (-1.4, -1.2) -- node[below] {$I$} ++(0.6, 0);
					\draw[<-] (-0.4, -1.2) -- node[below] {$\parttime\Dfield$} ++(0.6, 0);
					\draw[<-] (1, -1.2) -- node[below] {$I$} ++(0.6, 0);
				\end{tikzpicture}
			\end{pict}
		\end{column}
	\end{columns}

	\begin{block}{}\justifying
		\alert{Струми зміщення} замикають струми провідності і \alert{створюють магнітне поле точно так само}, як і
		струми провідності. Вони, однак, не створюють прямо теплового ефекту, до них незастосовні закон Ома і закон Джоуля-Ленца.
	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================

%% --------------------------------------------------------
\section{Система рівнянь Максвелла}
%% --------------------------------------------------------

% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Система рівнянь Максвелла}{}
	\begin{block}{}\justifying\small
		Доповнивши основні факти зі сфери електромагнетизму, та доповнивши їх гіпотезою струмів зміщення, Максвелл зміг написати систему фундаментальних
		рівнянь електродинаміки. Таких рівнянь чотири.
	\end{block}
	\begin{center}
		\begin{tblr}%
			{
			colspec={|Q[l,m, 2.5cm, bg=yellow!10, font=\small]|[1pt, white]X[l,m, bg=red!10]|[1pt, white]Q[l,m, 2.5cm, bg=blue!10]|},
			row{1}={c, fg=white, bg=cyan, font=\bfseries\small},
			cell{2-5}{2-Z}={l, m, mode=dmath, font=\small},
			%hlines,
			}
			\hline
			Рівняння                                                                 & Інтегральна форма                                                                       & Диференціальна форма \\
			\hline\hline
			Теорема Гаусса для магнітного поля                                       & \oiint\limits_S \Bfield\cdot d\vect{S} =  0                                             & \Div\Bfield = 0      \\
			\hline
			Теорема про циркуляцію для електричного поля                             & \oint\limits_L \Efield\cdot d\vect{r} = -
			\frac1c\iint\limits_S \frac{\partial\Bfield}{\partial t} \cdot d\vect{S} & \Rot\Efield = - \frac1c \frac{\partial\Bfield}{\partial t}                                                     \\
			\hline\hline
			Теорема Гаусса для електричного поля                                     & \oiint\limits_S \Dfield\cdot d\vect{S} = 4\pi \iiint\limits_{V} \rho dV                 & \Div\Dfield =
			4\pi\rho                                                                                                                                                                                  \\
			\hline
			Теорема про циркуляцію для магнітного поля                               & \oint\limits_L \Hfield\cdot d\vect{r} = \frac{4\pi}{c} \iint\limits_S \left( \vect{j} +
			\frac1{4\pi}\frac{\partial\Dfield}{\partial t} \right) \cdot d\vect{S}   & \Rot\Hfield = \frac{4\pi}{c}\vect{j} + \frac1c
			\frac{\partial\Dfield}{\partial
				t}
			\\
			\hline
		\end{tblr}
	\end{center}
\end{frame}
% ===========================================================================


% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Вираз електричного поля через потенціали}{}
	\renewcommand{\baselinestretch}{0.99}
	\begin{block}{}\justifying
		Рівняння Максвелла групуються парами. \alert{Перша пара рівнянь} --- рівняння \alert{без зарядів та струмів}, \alert{друга пара} --- рівняння
		\alert{із зарядами та струмами}.
	\end{block}
	\begin{block}{}
		Теорема Гаусса для магнітного поля дозволяє ввести векторний потенціал:
		\begin{equation*}
			\Bfield=\Rot\vect{A}
		\end{equation*}
		Тоді теорема про циркуляцію для електричного поля записується як:
		\begin{equation*}
			\Rot\left(\Efield  + \frac1c\frac{\partial\vect{A}}{\partial t}\right) = 0
		\end{equation*}
		Ця рівність означає, що це
		поле може бути представлене як градієнт скалярної функції, тоді отримуємо:
		\begin{equation*}
			\Efield = -\vect{\nabla}\phi - \frac1c\frac{\partial\vect{A}}{\partial t}
		\end{equation*}
		У випадку постійних у часі полів: $\Efield = -\vect{\nabla}\phi $, тобто, що введена тут функція $\phi$
		збігається зі скалярним потенціалом.
	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================


% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Стаціонарні поля}{}
	\begin{block}{}\justifying
		У стаціонарному випадку часткові похідні за часом від полів дорівнюють нулю $\parttime{} = 0$, тому рівняння максвела розпадається на дві окремі
		системи для \textcolor{red}{електростатики} і \textcolor{blue}{магнітостатики}.
	\end{block}
	\begin{columns}[t]
		\begin{column}{0.5\linewidth}
			\begin{block}{}\centering\color{red}
				Рівняння електростатики
				\begin{equation*}
					\begin{cases}
						\Div\Dfield = 4\pi\rho, \\
						\Rot\Efield = 0.
					\end{cases}
				\end{equation*}
				\begin{center}
					\begin{pict}
						\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=0.75]
							\foreach \i in {20,40,...,360}
								{
									\draw[->, red!50] (0,0)  ++(\i:0.1) -- ++(\i:2);
								}
							\node[circle, inner sep=1pt, ball color=red, text=white] at (0, 0) {$+$};
						\end{tikzpicture}
					\end{pict}
				\end{center}
			\end{block}
		\end{column}
		\begin{column}{0.5\linewidth}
			\begin{block}{}\centering\color{blue}
				Рівняння магнітостатики
				\begin{equation*}
					\begin{cases}
						\Div\Bfield = 0, \\
						\Rot\Hfield = \frac{4\pi}{c} \vect{j}.
					\end{cases}
				\end{equation*}
			\end{block}
			\begin{center}
				\begin{pict}
					\begin{tikzpicture}[>=latex]
						\draw [in=-105, out=75, looseness=1.25, line width=0.1cm, gray!50] (-1, -1) coordinate (A) to (1, 1.5) coordinate (B);

						\draw[fill=gray!50, ultra thin, rotate around={-10:(B)}] (B) circle(0.05 and 0.015);
						\draw[fill=gray!50, ultra thin, rotate around={-10:(A)}] (A) circle(0.05 and 0.015);
						% Bfield

						\draw[thin, blue, rotate around={-15:(-0.25:0)}, arrowpos={0.85}{2pt}{4pt}] (-0.25, 0) circle(0.5 and 0.15);
						\draw[thin, blue, rotate around={-15:(-0.25:0)}, arrowpos={0.85}{2pt}{4pt}] (-0.25, 0) circle(2 and 0.7);
						\draw[thin, blue, rotate around={-15:(-0.25:0)}, arrowpos={0.85}{2pt}{4pt}] (-0.25, 0) circle(1 and 0.3);
						\begin{scope}
							\clip (-1,0) rectangle (1,1);
							\draw [in=-105, out=75, looseness=1.25, line width=0.1cm, gray!50] (A) to (B) ;
						\end{scope}
						\draw [in=-105, out=75, looseness=1.25, gray, arrowpos={0.85}{2pt}{4pt}] (-1, -1) coordinate (A) to (1, 1.5) coordinate (B);
					\end{tikzpicture}
				\end{pict}
			\end{center}
		\end{column}
	\end{columns}
	%	\begin{center}
	%		\begin{tblr}%
	%			{
	%			colspec={|X[l,m, bg=yellow!10, font=\scriptsize]|[1pt, white]X[c,m, bg=red!10]|},
	%			row{1}={c, fg=white, bg=cyan, font=\bfseries},
	%			cell{2-5}{1-Z}={c, m, mode=dmath, font=},
	%			%hlines,
	%			}
	%			\hline
	%			Рівняння електростатики & Рівняння магнітостатики \\
	%			\hline
	%			\begin{cases}
	%				\Div\Dfield = 4\pi\rho, \\
	%				\Rot\Efield = 0.
	%			\end{cases}
	%			                        &
	%			\begin{cases}
	%				\Div\Bfield = 0, \\
	%				\Rot\Hfield = \frac{4\pi}{c} \vect{j}.
	%			\end{cases}
	%			\\
	%			\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=0.75]
	%				\foreach \i in {20,40,...,360}
	%					{
	%						\draw[->, red!50] (0,0)  ++(\i:0.1) -- ++(\i:2);
	%					}
	%				\node[circle, inner sep=1pt, ball color=red, text=white] at (0, 0) {$+$};
	%			\end{tikzpicture}
	%			                        &
	%			\begin{tikzpicture}[>=latex]
	%				\draw [in=-105, out=75, looseness=1.25, line width=0.1cm, gray!50] (-1, -1) coordinate (A) to (1, 1.5) coordinate (B);
	%
	%				\draw[fill=gray!50, ultra thin, rotate around={-10:(B)}] (B) circle(0.05 and 0.015);
	%				\draw[fill=gray!50, ultra thin, rotate around={-10:(A)}] (A) circle(0.05 and 0.015);
	%				% Bfield
	%
	%				\draw[thin, blue, rotate around={-15:(-0.25:0)}, arrowpos={0.85}{2pt}{4pt}] (-0.25, 0) circle(0.5 and 0.15);
	%				\draw[thin, blue, rotate around={-15:(-0.25:0)}, arrowpos={0.85}{2pt}{4pt}] (-0.25, 0) circle(2 and 0.7);
	%				\draw[thin, blue, rotate around={-15:(-0.25:0)}, arrowpos={0.85}{2pt}{4pt}] (-0.25, 0) circle(1 and 0.3);
	%				\begin{scope}
	%					\clip (-1,0) rectangle (1,1);
	%					\draw [in=-105, out=75, looseness=1.25, line width=0.1cm, gray!50] (A) to (B) ;
	%				\end{scope}
	%				\draw [in=-105, out=75, looseness=1.25, gray, arrowpos={0.85}{2pt}{4pt}] (-1, -1) coordinate (A) to (1, 1.5) coordinate (B);
	%			\end{tikzpicture}
	%			\\
	%			\hline
	%		\end{tblr}
	%	\end{center}
\end{frame}
% ===========================================================================




% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Матеріальні рівняння}{}\small
	\begin{block}{}\justifying
		Рівняння Максвелла мають бути доповнені співвідношеннями, що зв'язують поля $\Dfield$ та $\Efield$ з одного боку, та $\Hfield$ та $\Bfield$ з
		іншого
		боку.
	\end{block}
	\begin{center}
		\begin{tblr}%
			{
			colspec={|X[l,m, bg=yellow!10, font=\small]|[1pt, white]Q[l,m, 0.2\linewidth,bg=red!10]|},
			row{1}={c, fg=white, bg=cyan, font=\bfseries},
			cell{2-Z}{2-Z}={l, m, mode=dmath, font=\small},
			hlines,
			}
			                                                                                           & Вираз                            \\
			Вектор індукції електричного поля                                                          & \Dfield = \Efield + 4\pi\vect{P} \\
			Вектор поляризації (для лінійних ізотропних речовин)                                       & \vect{P} = \chi_e\Efield         \\
			Діелектрична проникніть  (для лінійних ізотропних речовин)                                 & \epsilon = 1 + 4\pi \chi_e       \\
			Зв'язок $\Dfield$ та $\Efield$ (для лінійних ізотропних речовин)                           & \Dfield = \epsilon\Efield        \\
			\hline
			Вектор напруженості магнітного поля                                                        & \Hfield = \Bfield - 4\pi\vect{J} \\
			Вектор намагнічування (для лінійних ізотропних речовин)                                    & \vect{J} = \chi_e\Hfield         \\
			Магнітна проникніть  (для лінійних ізотропних речовин)                                     & \mu = 1 + 4\pi \chi_m            \\
			Зв'язок $\Hfield$ та $\Bfield$ (для лінійних ізотропних речовин)                           & \Bfield = \mu\Hfield             \\
			\hline
			У разі струму, спричиненого електричним полем у провідному середовищі, має місце закон Ома & \vect{j} = \lambda\Efield
		\end{tblr}
	\end{center}
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Граничні умови}{}\small
	\begin{block}{}\justifying
		Диференціальні рівняння Максвелла треба доповнити граничними умовами, яким має задовольняти електромагнітне поле на межі
		розділу двох середовищ. Ці умови неявно містяться в інтегральній формі рівнянь Максвелла і отримуються за їх допомогою. Граничні умови в стаціонарному
		випадку аналогічні і для випадку змінних полів.
	\end{block}
	\begin{center}
		\begin{tblr}%
			{
			colspec={|X[l,m, bg=yellow!10, font=\small]|[1pt, white]X[c,m, bg=red!10]|},
			row{1}={c, fg=white, bg=cyan, font=\bfseries},
			cell{2-Z}{1-Z}={c, m, mode=dmath, font=},
			%hlines,
			}
			\hline
			Умови для електричних векторів & Умови для магнітних векторів \\
			\hline
			D_{2n} - D_{1n} = 4\pi\sigma
			                               &
			B_{1n} = B_{2n}
			\\
			\hline
			\hline
			E_{1\tau} = E_{2\tau}
			                               &
			\left[\vect{n}\times\Hfield_2\right] - \left[\vect{n}\times\Hfield_1\right] = \frac{4\pi}{c}\vect{i}
			\\
			\hline
		\end{tblr}
	\end{center}
	\begin{block}{}\justifying
		Тут $\sigma$ ---  поверхнева густина вільних електричних зарядів, a $\vect{i}$ --- поверхнева густина струму провідності на розглянутій границі
		розділу. У випадку, коли поверхневих струмів немає, гранична умова для тангенціальної компоненти вектора напруженості магнітного поля набуває
		вигляду:
		\begin{equation*}
			H_{1\tau} = H_{2\tau}
		\end{equation*}
	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================


%% --------------------------------------------------------
\section{Енергія електромагнітного поля}
%% --------------------------------------------------------


% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Закон збереження енергії електромагнітного поля}{}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\linewidth}\centering
			\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=0.75]
				\pgfmathsetseed{55}
				\foreach \a in {0,10,...,350}
					{
						\pgfmathparse{1.2*abs(rand)}
						\node[inner sep=1pt, circle, ball color=red!50] at (\a:{\pgfmathresult}) {};
						\draw[->] (0,0) ++(\a:2) -- ++(\a:0.5);
					}
				\draw[ball color=gray!5, name path=metall, smooth, opacity=0.5] plot
					[smooth cycle,
						samples=8,domain={1:10}]
				(\x*360/10+5*rnd:1cm+1cm*rnd);
			\end{tikzpicture}
		\end{column}
		\begin{column}{0.59\linewidth}
			\begin{block}{}\justifying
				Якщо  у деякій області простору присутнє \alert{електромагнітне поле та заряджені частинки, які взаємодіють з цим полем}, то енергія
				такої системи має
				зберігатись, якщо система замкнена. Якщо ж система незамкнена, то \alert{енергія може як втікати в цю область, так і витікати з неї}.
			\end{block}
		\end{column}
	\end{columns}
	\begin{block}{}\centering\small
		(Зміна енергії в об'ємі) = (Рух частинок) + (Потік енергії на зовні).
	\end{block}

	\begin{block}{}\centering\small
		(Рух частинок) = (Зміна енергії в об'ємі) -- (Потік енергії на зовні).
	\end{block}

	\begin{block}{}\justifying
		Рухати частинки може лише електричне поле. Енергія, яка витрачається полем на розгін частинок в одиниці об'єму за одиницю часу ---
		джоулеве тепло $\vect{j}\cdot\Efield$.
	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Отримання закону збереження}{}\small
	\begin{block}{}
		\begin{equation*}
			\vect{j} = \frac{c}{4\pi} \Rot\Hfield - \frac1c \parttime{\Dfield}, \quad \text{(рівняння Максвелла для $\Rot\Hfield$)}.
		\end{equation*}
		\begin{equation*}
			\vect{j}\Efield =  \frac{c}{4\pi}\Efield\cdot\Rot\Hfield - \frac1{4\pi}\Efield\cdot\frac{\partial\Dfield}{\partial t}
		\end{equation*}
		\begin{equation*}
			\Efield\cdot\Rot\Hfield  = - \Div[\Efield\times\Hfield] + \Hfield\cdot\Rot\Efield, \quad \text{(формула векторного аналізу)}.
		\end{equation*}
		\begin{equation*}
			\vect{j}\cdot\vect{E} =  - \Div\left(\frac{c}{4\pi}[\Efield\times\Hfield]\right) + \frac{c}{4\pi}  \Hfield\cdot \Rot\Efield  -
			\parttime{}
			\left( \frac1{8\pi}\epsilon\Efield^2\right)
		\end{equation*}

		\begin{equation*}
			\Rot\Efield = - \frac1c \parttime{\Bfield}, \quad \text{(рівняння Максвелла для $\Rot\Efield$)}.
		\end{equation*}
		Врахуємо матеріальні рівняння $\Dfield = \epsilon\Efield$ та $\Bfield = \mu\Hfield$.
		\begin{equation*}
			\vect{j}\cdot\vect{E} =  - \Div\left(\frac{c}{4\pi}[\Efield\times\Hfield]\right) - \frac{1}{4\pi}  \Hfield\cdot
			\parttime{\Bfield}  -
			\parttime{} \left( \frac1{8\pi}\epsilon\Efield^2\right)
		\end{equation*}

		\begin{equation*}
			\vect{j}\cdot\vect{E} =  - \Div\left(\frac{c}{4\pi}[\Efield\times\Hfield]\right) -  \parttime{} \left(
			\frac1{8\pi}\epsilon\Efield^2 +
			\frac1{8\pi}\mu\Hfield^2 \right)
		\end{equation*}

	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================


%% --------------------------------------------------------
\subsection{Теорема Пойнтінга}
%% --------------------------------------------------------


% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Теорема Пойнтінга}{}\small
	\begin{onlyenv}<1>
		\begin{block}{}\justifying
			Проаналізуємо отриманий вираз:
			\begin{equation*}
				\underbrace{\vect{j}\cdot\vect{E}}_\text{Енергія руху частинок} =  -
				\Div\underbrace{\left(\frac{c}{4\pi}[\Efield\times\Hfield]\right)}_\text{Вектор $\vect{\Pi}$} -  \parttime{}
				\underbrace{\left( \frac{\epsilon\Efield^2}{8\pi} + \frac{\mu\Hfield^2}{8\pi}
					\right)}_\text{\parbox{3.5cm}{\centering\scriptsize\strut\ignorespaces Густина
						енергії\\ електромагнітного поля $w$}}
			\end{equation*}
		\end{block}
	\end{onlyenv}
	\begin{onlyenv}<1-2>
		\begin{block}{}
			Закон збереження енергії
		\end{block}
		\begin{columns}
			\begin{column}{0.4\linewidth}
				\begin{equation*}
					\tcbhighmath{-\parttime{w} = \Div\vect{\Pi} + \vect{j}\cdot\vect{E}}
				\end{equation*}
			\end{column}
			\begin{column}{0.6\linewidth}
				\begin{equation*}
					\tcbhighmath{-\parttime{W} = \oiint\limits_S\vect{\Pi}\cdot d\vect{S} + \iiint\limits_V \vect{j}\cdot\vect{E} dV}
				\end{equation*}
			\end{column}
		\end{columns}
		\begin{block}{Теорема Пойнтінга}\justifying
			Зменшення енергії за одиницю часу в даному об'ємі дорівнює потоку енергії крізь поверхню, обмежену цим об'ємом, плюс потужність
			$Р$, яку сили поля виконують над зарядами речовини всередині даного об'єму.
		\end{block}
	\end{onlyenv}
	\begin{onlyenv}<2>
		\begin{block}{Вектор Пойнтінга}\justifying
			\begin{equation*}
				\tcbhighmath{\vect{\Pi} = \frac{c}{4\pi}[\Efield\times\Hfield]}
			\end{equation*}
			Вектор визначає кількість енергії поля, що протікає через одиничну площадку в одиницю часу, і показує напрямок руху енергії
			електромагнітного поля.
		\end{block}
	\end{onlyenv}
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Одиниці вимірювання величин}{}
	Вектор густини потоку енергії (вектор Пойнтінга)
	\begin{equation*}
		\vect{\Pi} = \frac{c}{4\pi}[\Efield\times\Hfield], \quad [\Pi] = \frac{\text{ерг}}{\text{см}^2 \cdot \text{с}}\, (\text{СГС}),\ [S] =
		\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}\, (\text{SI})
	\end{equation*}

	Густина енергії
	\begin{equation*}
		w = \frac{\Efield\cdot\Dfield}{8\pi} + \frac{\Bfield\cdot\Hfield}{8\pi}, \quad [w] = \frac{\text{ерг}}{\text{см}^3}\, (\text{СГС}),\
		[w] = \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}\, (\text{SI})
	\end{equation*}
\end{frame}
% ===========================================================================


%% --------------------------------------------------------
\subsection{Приклади використання теореми Пойнтінга}
%% --------------------------------------------------------


% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Зарядка конденсатора}{}\small
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.35\linewidth}\centering
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=latex, midarrow/.style={%
							postaction={ decorate,
									decoration={ markings, mark=at position .8 with {\arrow{latex}}}}}]{
					\draw[blue] (0,0) circle(0.5 and 0.15);
					\draw[blue] (0,0) circle(1 and 0.3);
					\draw[blue] (0,0) circle(2 and 0.6);

					\foreach \x in {-2,-1,...,2}{
							\draw[red, midarrow] (\x, -1.5) -- (\x, 1.5);
						}
				}
				\draw[blue, arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}] (0,0) ++(180:0.5) arc(180:360:0.5 and 0.15);
				\draw[blue, arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}] (0,0) ++(180:1) arc(180:360:1 and 0.3);
				\draw[blue, arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}] (0,0) ++(180:2) arc(180:360:2 and 0.6);

				\draw[line width=2pt, blue!50] (-2.5, 1.5) -- (2.5, 1.5);
				\draw[line width=2pt, red!50] (-2.5, -1.5) -- (2.5, -1.5);

				\draw [blue, ->] (0:2) coordinate (S) -- ++(70:0.5) node[right] {$\Hfield$};
				\node[left, red] at (2, 1) {$\Efield$};
				\uncover<2>{\draw [orange!60!black, ->] (S) -- ++(-0.75,0) node[below] {$\vect{\Pi}$};}
			\end{tikzpicture}

		\end{column}
		\
		\begin{column}{0.6\linewidth}
			\begin{overprint}
				\onslide<1>
				\begin{block}{}\justifying
					Плоский конденсатор із пластинами радіуса \( R \) заряджається струмом \( I \) від зовнішнього джерела енергії . Якщо в
					деякий момент
					заряд на нижній пластині дорівнює \( q \), то вектор індукції поля всередині конденсатора дорівнює:
					\(
					D = 4 \pi \sigma = \frac{4 \pi q}{\pi R^2},
					\)
					і напрямлений від нижньої пластини до верхньої.
					Густина струму зміщення в конденсаторі:
					\(
					j_{\text{зм}} = \frac{\dot{D}}{4 \pi} = \frac{\dot{q}}{\pi R^2}.
					\)
				\end{block}
				\onslide<2>
				\begin{block}{}\justifying
					Вектор Пойнтінга
					\(
					\vect{\Pi} = \frac{c}{4\pi}\left[\Efield\times\Hfield\right]
					\)
					спрямований до осі конденсатора і дорівнює за величиною на межі (\( r = R \)):
					\[
						\Pi = \frac{c}{4 \pi} EH = \frac{c}{4 \pi} \left( \frac{4 \pi q}{\varepsilon \pi R^2} \right) \left( \frac{2
							\dot{q}}{c R}
						\right) =
						\frac{1}{\varepsilon
							\pi R^2} 2 q \dot{q}.
					\]
				\end{block}
			\end{overprint}
		\end{column}
	\end{columns}
	\begin{overprint}
		\onslide<1>
		\begin{block}{}\justifying
			Цей струм породжує в конденсаторі магнітне поле, яке можна знайти за допомогою теореми про циркуляцію:
			\[
				\oint\limits_{L} \mathbf{H} \, d\mathbf{r} = \frac{4 \pi}{c} J_{\text{зм}}(r)
				\Rightarrow 2 \pi r H(r) = \frac{4 \pi}{c} \pi r^2 j_{\text{зм}}(r)
				\Rightarrow H(r) = \frac{2r}{c R^2} \dot{q}.
			\]

			Тут за контур \( L \) узято коло радіусу \( r \) з центром на осі конденсатора. Маючи на увазі, що конденсатор заряджається (\(
			\dot{q} > 0 \)), робимо висновок, що струм зміщення спрямований від нижньої пластини до верхньої. Це означає, що силові лінії
			магнітного поля
			спрямовані, як 	показано на рис.
		\end{block}
		\onslide<2>
		\begin{block}{}\justifying
			Якщо відстань між пластинами дорівнює \( h \), то енергія, що втікає в конденсатор за одиницю часу, дорівнює:
			\[
				\frac{dW}{dt} = S \cdot 2 \pi R h = \frac{1}{\varepsilon \pi R^2} \cdot q \dot{q} \cdot 2 \pi R h = \frac{q \dot{q}}{C},
			\]
			де \( C = \epsilon \pi R^2 / 4\pi h\) --- ємність конденсатора. За кінцевий час, при досягненні заряду q на пластині, енергія складе:
			\[
				W = \frac{q^2}{2C}.
			\]
			Ми прийшли до відомої формули для енергії, що запасається в конденсаторі.
		\end{block}
	\end{overprint}
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Довгий провідник}{}\small
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.3\linewidth}\centering
			\begin{tikzpicture}[>=latex]
				\draw[fill=gray!50] (0, 0) -- ++(0,2) arc(180:360:1 and 0.3) -- ++(0, -2) arc(0:-180:1 and 0.3);
				\draw[fill=gray!50] (1, 2) circle (1 and 0.3);
				\draw[blue, arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}] (1, 1) [partial ellipse=155:385:1.1 and 0.3] node[pos=0.5, below] {$\Hfield$};
				\draw[->, red] (1, 1) -- ++(0, 0.5) node[left] {$\Efield$};
				\draw[->, orange!60!black, thick] (2.1, 1) -- ++(-0.5, 0) node[above] {$\vect{\Pi}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{column}
		\begin{column}{0.69\linewidth}
			\begin{block}{}\justifying
				Розглянемо довгий прямий дріт радіуса $R$ і довжини $\ell$, яким тече струм $I$ . На зовнішній поверхні дроту
				присутнє магнітне поле $H = \frac{2I}{cR}$. Струм у дроті виникає
				завдяки напрузі $U$ на його кінцях, що створює поле величиною $E = \frac{U}{\ell}$. Напрямки полів $\Efield$ і $\Hfield$
				показано на рис.
			\end{block}
		\end{column}
	\end{columns}
	\begin{block}{}\justifying
		Вектор Пойнтінга виявляється спрямованим до осі дроту і дорівнює за величиною:
		\begin{equation*}
			\Pi = \frac{c}{4\pi} EH = \frac{c}{4\pi} \frac{U}{\ell} \frac{2I}{cR} = \frac{1}{2\pi\ell R} UI
		\end{equation*}
		Оскільки площа бічної поверхні дроту дорівнює $S= 2\pi\ell R$, то повний потік енергії, що втікає в дріт, становить $\Pi S = UI$. Це
		в точності та сама
		енергія, що йде на джоулеві втрати в дроті: $\Pi S = Q = UI$.
	\end{block}
	\begin{block}{}\justifying
		Таким чином, електрони отримують свою енергію, ззовні, від потоку енергії зовнішнього поля всередину дроту і витрачають її на
		створення теплоти. Енергія віддалених зарядів якимось чином розтікається по великій області простору і потім втікає всередину дроту.
	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================


%% --------------------------------------------------------
\section{Скін-ефект}
%% --------------------------------------------------------

% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Скін-ефект}{Означення та наслідки}
	\begin{block}{}\justifying
		Скін-ефект (термін походить від англ. слова skin -- шкіра.) --- це протікання струмів високої частоти в тонкому
		поверхневому шарі провідника.
	\end{block}
	\begin{center}
		\input{tikz/skin.tikz}
	\end{center}
	\begin{block}{}\justifying\small
		Внаслідок скін-ефекту електричний струм при великих частотах тече переважно крізь поверхневий шар провідника. Це призводить до:
		\begin{itemize}\justifying
			\item зменшення  \emph{діючого} перерізу провідника і, як наслідок, до \alert{збільшення опору провідника}.
			\item зменшення  індуктивності провідника.

			      {\scriptsize Оскільки за наявності сильного скін-ефекту, струму, а отже і магнітного поля всередині
			      провідника немає. Магнітна енергія стає меншою на величину енергії поля всередині провідника, а отже,
			      \alert{індуктивність провідника
				      зменшується}.}

			\item Електромагнітна хвиля, що потрапляє на поверхню провідника (металу, електроліту або плазми),
			      швидко загасає в глиб провідника,
			      проникаючи лише на невелику глибину. Тому \alert{провідники добре відбивають світло}.
		\end{itemize}
	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Скін-ефект}{Якісне пояснення}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\linewidth}\centering
			\input{tikz/skin-effect.tikz}
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\linewidth}
			\begin{block}{}\justifying\small
				Змінний струм у провіднику породжує змінне \textcolor{blue}{вихрове магнітне поле}, силові лінії
				якого перпендикулярні до осі
				провідника. Змінне
				магнітне поле породжує \textcolor{red}{вихрове електричне поле}, що спричиняє виникнення струмів
				Фуко,
				причому на поверхні провідника вихровий
				струм спрямований у напрямку струму провідника, а всередині провідника --- протилежно. Це явище
				знижує струм у серцевині провідника і
				збільшує
				поверхневий струм.
			\end{block}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Скін-ефект}{Чому у металах нехтують струмами зміщення?}
	\begin{block}{}\justifying
		У провіднику густина струму провідності і напруженість електричного поля пов'язані законом Ома: $
			\vect{j} = \lambda\Efield. $
		Якщо електричне поле в провіднику змінюється з часом, наприклад, за гармонічним законом $
			\Efield=\Efield_0\cos(\omega t)$,
		то поряд зі струмом провідності виникне ще й струм зміщення:
		\begin{equation*}
			\vect{j}_\text{зм} = \frac{\epsilon}{4\pi} \parttime{\Efield} = \frac{\epsilon\omega}{4\pi}
			E_0\cos(\omega t + \pi/2).
		\end{equation*}
		Де величину $\frac{\epsilon\omega}{4\pi}$ можна формально трактувати як <<питому провідність>> для струмів
		зміщення.
		Для типових металів провідність $\lambda = 10^{15} - 10^{17}$~с$^{-1}$. Це означає,
		що аж до частот порядку $10^{13}$~Гц виконується нерівність:
		\begin{equation*}
			\frac{\epsilon\omega}{4\pi} \ll \lambda.
		\end{equation*}
		(для металів типові значення діелектричної проникності становлять $10-100$). Отже, у широкому діапазоні
		частот виявляється що струми зміщення не відіграють істотної ролі у металах.
	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================





% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Скін-ефект}{Оцінка глибини проникнення поля (струму) в провідник}
\begin{onlyenv}<1>
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.3\linewidth}\centering
			\begin{tikzpicture}[>=latex]
				% Основные параметры
				\pgfmathsetmacro\h{3}          % Высота
				\pgfmathsetmacro\R{1}          % Радиус
				\coordinate (A) at (0, {-\h/2});
				\coordinate (B) at (0, {+\h/2});

				% Вертикальные линии
				\draw[gray] ([xshift=\R cm]A) -- ([xshift=\R cm]B)
				([xshift=-\R cm]A) -- ([xshift=-\R cm]B);
				\draw[line width={\R*2cm}, gray!50] (A) -- (B);

				% Верхняя и нижняя части
				\draw[gray, fill=gray!50] (B) circle ({\R} and {0.2*\R});
				\draw[gray] ([xshift=\R cm]A) arc(0:-180:{\R} and {0.2*\R});
				\draw[gray, densely dashed] ([xshift=-\R cm]A) arc(180:0:{\R} and {0.2*\R});
				\fill[gray!50] (A) circle ({\R} and {0.2*\R});

				% Стрелка для тока
				%    \draw[->] ([yshift={\h*0.3cm}]A) -- ([yshift={-\h*0.3cm}]B) node[above] {$I$};
				\draw[green!70!black, thick,
					arrowpos={0.15}{2pt}{3pt},
					arrowpos={0.40}{2pt}{3pt},
					arrowpos={0.70}{2pt}{3pt},
					arrowpos={0.90}{2pt}{3pt}
				] (-1,-0.5) -- ++(0,1) -- ++(0.5, 0) -- ++(0, -1) -- cycle;

				\def\fLarge{0.95}  % Масштаб большого витка

				\foreach \x in {0,0.1,...,0.5}{
						\draw[->, red, ultra thin] ({\x-1},-0.5) -- ++(0, {1-2*\x});
					}

				\foreach \y in {-0.4,0,0.4} {
				\draw[arrowpos={0.5}{0}{2pt}, blue, ultra thin] (0,{\fLarge*\y})
				[partial ellipse=91:{360+89}:{\fLarge*\R} and {\fLarge*0.1*\R}];
				}

				\node[left, font=\scriptsize, text=red] at (-1, 0.5) {$\Efield$};
				\node[below, font=\scriptsize] at (-0.75, -0.5) {$\delta$};
				\node[left, font=\scriptsize] at (-1, 0) {$h$};

			\end{tikzpicture}
		\end{column}
		\begin{column}{0.7\linewidth}
			\begin{block}{}\justifying
				Знайдемо циркуляцію вектора \textcolor{red}{$\Efield$} вздовж контура
				\textcolor{green!60!black}{$L$}. За законом електромагнітної індукції:
				\begin{equation*}
					Eh = - \frac1c\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.
				\end{equation*}
				Магнітний потік через цей контур:
				\begin{equation*}
					\Phi = -BS = \mu H h \delta.
				\end{equation*}
				Його зміна за одиницю часу (тобто похідна за часом) буде порядку
				\(
				\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \approx \frac{\Phi}{T} \approx \omega \Phi,
				\)
				де $T$ --- період зміни струму, $\omega$ --- частота зміни струму, $\omega \sim \frac1T $.
			\end{block}
		\end{column}
	\end{columns}
	\begin{block}{}\justifying
		Тому, циркуляція вектора $\Efield$ буде дорівнювати:
		\(
		E h = \frac1c \mu H\omega h \delta,
		\) а величина електричного поля на поверхні провідника:
		\begin{equation*}
			E = \frac1c \mu H\omega \delta
		\end{equation*}
	\end{block}
\end{onlyenv}
\begin{onlyenv}<2>
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\linewidth}
			\begin{tikzpicture}[>=latex]

				\draw[gray, fill=gray!50] (0,0) circle(1.5);
				%        \draw[arrowpos={0.5}{2pt}{4pt}, blue, ultra thin] circle (1.35);
				\draw[green!60!black, thick,
					arrowpos={0.15}{2pt}{4pt},
					arrowpos={0.4}{2pt}{4pt},
					arrowpos={0.7}{2pt}{4pt},
					arrowpos={0.85}{2pt}{4pt},
				] (-1.5, 0.25) --
				node[left, font=\scriptsize, text=black] {$\ell$}
				++(0, -0.5) --  node[below, font=\scriptsize, text=black] {$\delta$}
				++(0.5, 0) -- ++(0, 0.5) -- cycle;

				\foreach[count=\c] \x in {0,0.1,...,0.5}{
						\draw[->, blue, ultra thin] ({\x-1.5},0.25) -- ++(0, {-(1-2*\x)})
						\ifnum\c=1 node[pos=1, left] {$\Hfield$}\fi;
					}
				\foreach \a in {0,30,...,330} {
						\draw[] (\a:1.25) circle(0.05);
						\fill[] (\a:1.25) circle(0.025);
						\ifnum\a=90\node[below, font=\scriptsize, red] at (\a:1.3){$\vect{j}$}\fi;
					}
			\end{tikzpicture}
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\linewidth}
			\begin{block}{}\justifying
				Тепер знайдемо циркуляцію напруженості
				магнітного поля \textcolor{blue}{$\Hfield$} по контуру \textcolor{green!60!black}{$L$}. За
				теоремою про циркуляцію:
				\begin{equation*}
					H \ell = \frac{4\pi}{c} j \ell \delta.
				\end{equation*}
				Так як $j = \lambda E$, і після спрощення знаходимо магнітне поле на поверхні провідника:
				\begin{equation*}
					H = \frac{4\pi}{c} \lambda E \delta.
				\end{equation*}
			\end{block}
		\end{column}
	\end{columns}
	\begin{block}{}\justifying
		Підставимо величину напруженості магнітного поля у знайдену формулу:
		\begin{equation*}
			E =  \frac{4\pi\mu\omega \delta^2}{c^2} \lambda E,
		\end{equation*}
		Звідки, оцінка глибини проникнення поля дає величину:
	\end{block}
\end{onlyenv}
\begin{onlyenv}<2->
	\begin{block}{}\justifying
		\begin{equation*}
			\delta = \frac{c}{\sqrt{4\pi\mu\lambda\omega}}.
		\end{equation*}
	\end{block}
\end{onlyenv}
\begin{onlyenv}<3>
\begin{alertblock}{}\justifying\scriptsize
Отримана оціночна формула є наближеним виразом, оскільки вона ґрунтується на наближених розрахунках і спрощеннях, які
дозволили її отримати.

\bigskip

Числовий коефіцієнт $\frac1{\sqrt{4\pi}}$ у даному випадку є результатом такої оцінки і, як наслідок, не може
вважатися абсолютно достовірним. Його отримання могло залежати від початкових припущень чи умов, які не завжди
повністю відповідають реальній фізичній ситуації.

\bigskip

Разом із цим, математично строгий аналіз, що базується на рівняннях Максвелла, дозволяє отримати ту саму величину з
високою точністю і для різних фізичних ситуацій. Це показує, що оціночна формула іноді може дати точний результат,
навіть якщо вона побудована без повної формальної обґрунтованості. Проте співпадіння результатів слід вважати радше
випадковістю, ніж закономірністю,
оскільки оціночний метод не гарантує правильності результату в загальному випадку.
\end{alertblock}
\end{onlyenv}
\end{frame}
% ===========================================================================




% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Скін-ефект}{Рівняння скін-ефекту}
	\framesubtitle<1>{Рівняння скін-ефекту}
	\framesubtitle<2>{Глибина проникнення поля (струму) в провідник}
	\begin{onlyenv}<1>\small
		\begin{block}{}\justifying
			Зробимо більш строге виведення глибини проникнення на основі рівнянь Максвелла.
			Нехай $\epsilon = \const$, $\mu = \const$.
			Рівняння Максвелла для
			електромагнітного поля в металі:
			\begin{columns}
				\begin{column}{0.4\linewidth}
					\begin{equation*}
						\begin{cases}
							\Rot\Efield = - \frac{\mu}{c}\parttime{\Hfield},\quad \Rot\Hfield = \frac{4\pi}{c}\vect{j}, \\
							\Div\Efield= 0, \quad \Div\Hfield = 0.
						\end{cases}
					\end{equation*}
				\end{column}
				\begin{column}{0.6\linewidth}
					\begin{block}{}\justifying\footnotesize
						У середовищі немає некомпенсованих зарядів ($\sum q_i = 0$), унаслідок чого у формулі для теореми Гауса
						$\Div\Dfield = \epsilon\Div\Efield =  4\pi\rho = 0$ у правій частині стоїть нуль.
					\end{block}
				\end{column}
			\end{columns}
		\end{block}

		\begin{block}{}\justifying
			Використовуючи закон
			Ома, запишемо два перших рівняння:
			\begin{equation*}
				\Rot\Efield = - \frac{\mu}{c}\parttime{\Hfield},\quad \Rot\Hfield = \frac{4\pi\lambda}{c}\Efield,
			\end{equation*}
			Виключимо звідси магнітне поле. Для цього застосуємо операцію $\Rot$ до
			обох частин першого рівняння і врахуємо друге рівняння:
			\begin{equation*}
				\Rot\Rot\Efield = - \frac{\mu}{c}\parttime{}\Rot\Hfield, \quad \Rot\Rot\Efield = \Grad\Div\Efield - \nabla^2\Efield = -
				\nabla^2\Efield.
			\end{equation*}
			Приходимо наступного рівняння для поля $\Efield$:
			\(
			\tcbhighmath{\nabla^2\Efield = \frac{4\pi\mu\lambda}{c^2}\parttime{\Efield}.}
			\)
		\end{block}
	\end{onlyenv}
	\begin{onlyenv}<2>
		\begin{block}{}\justifying\small
			Рівняння для скін-ефекту має математичну форму, подібну до рівняння дифузії:
			\(
			\nabla^2 F = D \parttime{F}
			\)
			з коефіцієнтом дифузії $D = \frac{c^2}{4\pi\mu\lambda}$. Якщо на
			поверхні речовини діє джерело, то за час $\tau$ хвиля дифузії
			проникає в речовину на глибину $\delta = \sqrt{D\tau}$. Якщо джерело діє
			періодично з періодом $T$ за час $\tau$ слід прийняти
			$\tau \approx T$.
			Нарешті, маючи на увазі, що $T = 2\pi/\omega$, отримуємо \alert{оцінку} для глибини проникнення
			\begin{equation*}
				\delta =\frac{c}{\sqrt{4\pi\lambda\mu\omega}}.
			\end{equation*}
		\end{block}

		\begin{columns}
			\begin{column}{0.5\linewidth}\scriptsize
				\begin{tblr}{
					colspec= {Q[c ,m]|Q[c,m]},
					hlines, vlines,
					}
					{Метал}       & {Глибина \\ скін-шару (мкм)\\ для $10$~ГГц} \\
					Мідь (Cu)     & 0.652    \\
					Срібло (Ag)   & 0.634    \\
					Золото (Au)   & 0.753    \\
					Алюміній (Al) & 0.652    \\
				\end{tblr}
			\end{column}
			\begin{column}{0.5\linewidth}\scriptsize
				\centering
				\begin{tikzpicture}[]
					\begin{loglogaxis}[
							trim axis right,
							title={Глибина скін-шару міді в залежності від частоти},
							xlabel={Частота (Гц)},
							ylabel={Глибина (мкм)},
							grid=both,
							legend pos=south west,
							width=\linewidth,
							height=0.7\linewidth,
						]
						\addplot[mark=o, color=blue] coordinates {
								(50, 9220)
								(60, 8420)
								(10000, 652)
								(100000, 206)
								(1000000, 65.2)
								(10000000, 20.6)
								(100000000, 6.52)
								(1000000000, 2.06)
							};
					\end{loglogaxis}
					\node[anchor=north] at (2, -0.55) {\input{tikz/skin.tikz}};
				\end{tikzpicture}
			\end{column}
		\end{columns}
	\end{onlyenv}
\end{frame}
% ===========================================================================


% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Скін-ефект}{В техніці}\small
	\begin{block}{}\justifying
		Існування скін-ефекту завжди враховують у техніці швидкозмінних струмів. Оскільки такі струми практично не йдуть у глибині провідника, то
		\alert{лінії для них збирають із порожнистих труб}.

		\bigskip


		В радіотехніці надвисоких частот багато деталей (хвилеводи, коаксіальні лінії)
		покривають тонким, добре провідним шаром срібла, оскільки їхній опір практично обумовлений тільки поверхневим шаром.

		\bigskip

		Скін-ефект у поєднанні з нагріванням вихровими струмами \alert{використовують для поверхневого загартування сталі}. У цьому методі деталі
		піддають дії впливу змінних струмів і потім швидко охолоджують. Внаслідок скін-ефекту розігрів і загартування виникають тільки в поверхневому
		шарі, а вся основна маса залишається незагартованою. Це дає змогу отримати вироби з високою стійкістю до стирання поверхні, але не є крихкі, як
		за звичайного загартування.

	\end{block}
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Про рівняння Максвелла}{}
\begin{columns}
	\begin{column}{0.4\linewidth}\centering\scriptsize
            \includegraphics[width=0.75\linewidth]{Hertz}\\


            Ге́нріх Рудольф Герц (1857 -- 1894 ) --- німецький вчений. Перший отримав електромагнітні хвилі, існування яких теоретично передбачено
            Максвеллом.
	\end{column}
	\begin{column}{0.55\linewidth}
\begin{block}{}\justifying\itshape
    Неможливо позбутися відчуття, що математичні формули живуть власним життям і володіють власним розумом, що вони розумніші за нас, розумніші навіть
    за тих, хто їх відкрив, що ми отримуємо з цих формул більше, ніж у них було спочатку закладено...
\end{block}
	\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
% ===========================================================================



% ============================== Слайд ## ===================================
\begin{frame}{Вершина класичної науки}{}\small
	\begin{block}{}\justifying
        \alert{Теорія Максвелла --- це вершина класичної науки про електромагнітне поле.} До цієї висоти ми піднімалися, крок за кроком, уточнюючи
        поняття і розкриваючи глибинні принципи цієї науки. Кожен пройдений етап — електростатика, закони постійного струму, магнітостатика — був немов
        базовий табір на шляху до вершини.

        \medskip

        На вершині перед нами постають рівняння Максвелла --- велична симфонія електричного і магнітного полів, ключ до розуміння електромагнітної
        взаємодії. Але шлях науки триває. З вершини ми спускаємося у простір застосувань: досліджуємо поширення електромагнітних хвиль, принципи
        випромінювання та закладаємо основи оптики, радіо- й електротехніки.

        \medskip

        Ця подорож --- не лише тріумф інтелекту, а й людського духу, що прагне підкорювати вершини й відкривати нові горизонти.
	\end{block}
	\begin{center}
        \includegraphics[height=3cm]{ontop}
	\end{center}
\end{frame}
% ===========================================================================



\end{document}