[A/L] (2021/22) Induzione - Esercizio 5

[matypist]

[Exyss]

-- Risposta cancellata per i motivi indicati da Elia nel commento sotto --

[Elia-Belli]

La dimostrazione di @Exyss è algebrica e non fa utilizzo del Principio di Induzione, infatti nel passo induttivo è assente l'uso dell'ipotesi induttiva: procedendo in quel modo tanto vale operare sulla proposizione (equazione) iniziale.

Dimostrazione per Induzione

• Caso Base: $n=1$, $2^2=4$;
• Passo Induttivo: $n\geq1$, $P(n) \Rightarrow P(n+1)$
  $P(n+1) = (n+2)^2-n^2 = 4(n+1) \rightarrow (n+2)^2-n^2 = 4n+4$ , ora applichiamo l'ipotesi induttiva al termine 4n
  $(n+2)^2-n^2 = (n+1)^2-(n-1)^2 + 4$ , adesso è possibile procedere algebricamente ottenendo: $4+4n = 4+4n$

[VladGeek]

La dimostrazione di @Elia-Belli è stata ritenuta sbagliata dal professor Piperno e quindi giudicata non valida a tutti quelli che l'abbiano svolta in quel modo nell'ultimo appello. La motivazione fornita dal professore è che non c'è l'induzione.
Allego il metodo che invece il professore ha ritenuto corretto.

[Exyss]

La dimostrazione di @Elia-Belli è stata ritenuta sbagliata dal professor Piperno e quindi giudicata non valida a tutti quelli che l'abbiano svolta in quel modo nell'ultimo appello. La motivazione fornita dal professore è che non c'è l'induzione. Allego il metodo che invece il professore ha ritenuto corretto.

Il metodo di @Elia-Belli è corretto, l'unico "errore" è nel non aver specificato quale sia l'ipotesi induttiva, cosa che in questo caso non è importante trattandosi di un'equivalenza.

In particolare, il metodo di Elia dimostra che $4n$ sia uguale a $(n+1)^2 - (n-1)^2$, mentre il professore "voleva" il contrario.

Tuttavia, entrambe le soluzioni ed entrambe le ipotesi sono equivalenti in quanto non c'è una precedenza all'interno di un'egualianza. Dunque, applicare l'ipotesi induttiva su $4n$ o su $(n+1)^2 - (n-1)^2$ non fa alcuna differenza.

Ipotizzare e affermare che $A = B$ è equivalente ad ipotizzare ed affermare che $B = A$.