[A/L] (2021/22) Relazioni - Esercizio 19

[matypist]

[LuginiAndrea]

Edit

Mi sono accorto di non aver notato la parte o $y < w$. Fare riferimento quindi alla risposta sotto la mia.

Userò la teoria degli insiemi in quanto un intervallo può essere visto come insieme (infinito) di tutti i valori presenti in esso
E' riflessiva: ogni intervallo è sottoinsieme largo di se stesso in quanto uguale a se stesso.
E' anti-simmetrica: Per teoria degli insiemi, se due insiemi sono sottoinsieme largo dell'altro a vicenda i due insiemi sono uguali
E' transitiva: Per teoria degli insiemi, $X \subseteq Y \subseteq Z \Longrightarrow X \subseteq Z$. Facile vedere come si applica agli intervalli

Vediamo come la relazione è un ordine parziale (non totale: pensiamo a $\left[1,2\right], \left[3,4\right]$)

[CiottoloMaggico]

[Exyss]

La dimostrazione di @CiottoloMaggico è corretta ma incompleta dal punto di vista dimostrativo, poiché non sono stati trattati i casi impossibili riguardo l'antisimmetria.

Il seguente commento è solo una formalizzazione della correttezza dell'intera dimostrazione.

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Verifica Riflessività ✔️

Per ogni intervallo si ha che $[x,y] \subseteq [x,y] \implies [x,y] \prec [x,y]$, dunque la relazione è riflessiva

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Verifica Antisimmetria ✔️

Consideriamo $[x,y] \prec [w,z]$ e $[w,z] \prec [x,y]$. Preliminarmente, affermiamo che per definizione dell'intervallo $[x,y]$ si ha che $x \leq y$ e che per definizione dell'intervallo $[w,z]$ si ha che $w \leq z$.

• Se $[x,y] \prec [w,z]$ poiché $[x,y] \subseteq [w,z]$ mentre $[w,z] \prec [x,y]$ poiché $[w,z] \subseteq [x,y]$, allora
  $[x,y] \subseteq [w,z] \land [w,z] \subseteq [x,y] \iff [x,y] = [w,z]$
  dunque in tal caso l'antisimmetria $\underline{\text{persiste}}$

• Se $[x,y] \prec [w,z]$ poiché $[x,y] \subseteq [w,z]$ mentre $[w,z] \prec [x,y]$ poiché $z < x$, allora si ha che
  $[x,y] \subseteq [w,z] \implies w \leq x \leq y \leq z$, contraddicendo l'ipotesi per cui $z < x$, dunque tale caso risulta essere $\underline{\text{impossibile}}$

• Se $[x,y] \prec [w,z]$ poiché $y < w$ mentre $[w,z] \prec [x,y]$ poiché $[w,z] \subseteq [x,y]$, allora si ha che
  $[w,z] \subseteq [x,y] \implies x \leq w \leq z \leq y$, contraddicendo l'ipotesi per cui $y < w$, dunque tale caso risulta essere $\underline{\text{impossibile}}$

• Se $[x,y] \prec [w,z]$ poiché $y < w$ mentre $[w,z] \prec [x,y]$ poiché $z < x$, allora si ha che
  $y < w \leq z < x$, contraddicendo la condizione di esistenza per cui $[x,y] \implies x < y$, dunque tale caso risulta essere $\underline{\text{impossibile}}$

Poiché solo il primo caso è possibile e poiché in tal caso l'antisimmetria persiste, allora la relazione è antisimmetrica

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Verifica Transitività 🚫

Consideriamo $[x,y] \prec [w,z]$ e $[w,z] \prec [a,b]$. Preliminarmente, affermiamo che $[x,y] \implies x \leq y$, che $[w,z] \implies w \leq z$ e infine che $[a,b] \implies a \leq b$.

• Se $[x,y] \prec [w,z]$ poiché $[x,y] \subseteq [w,z]$ mentre $[w,z] \prec [a,b]$ poiché $[w,z] \subseteq [a,b]$, allora
  $[x,y] \subseteq [w,z] \subseteq [a,b] \implies [x,y] \prec [a,b]$
  dunque in tal caso la transitività $\underline{\text{persiste}}$

• Se $[x,y] \prec [w,z]$ poiché $[x,y] \subseteq [w,z]$ mentre $[w,z] \prec [a,b]$ poiché $z < a$, allora si ha che
  $[x,y] \subseteq [w,z] \implies w \leq x \leq y \leq z$, dunque $y \leq z < a \implies y < a \implies [x,y] \prec [a,b]$
  dunque in tal caso la transitività $\underline{\text{persiste}}$

• Se $[x,y] \prec [w,z]$ poiché $y < w$ mentre $[w,z] \prec [a,b]$ poiché $[w,z] \subseteq [a,b]$, allora si ha che
  $[w,z] \subseteq [a,b] \implies a \leq w \leq z \leq b$, andando a creare tre sottocasi:

  • Se $x \leq y \leq a$, allora $y \leq a \implies [x,y] \prec [a,b]$
  • Se $a \leq x \leq y$, allora $a \leq x \leq y < w \leq z \leq b \implies [x,y] \subseteq [a,b] \implies [x,y] \prec [a,b]$
  • Se $x \leq a \leq y$, allora $x \leq a \leq y < w \leq z \leq b \implies [x,y] \not\subseteq [a,b] \land y \nless a \implies [x,y] \not\prec [a,b]$
    dunque in tal caso la transitività $\underline{\text{non persiste}}$

Poichè esiste almeno un caso in cui $[x,y] \prec [w,z] \land [w,z] \prec [a,b] \centernot\implies [x,y] \prec [a,b]$, allora la relazione non è transitiva

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EDIT: a voler essere precisi, anche il secondo sottocaso del terzo caso della transitività risulta invalidare la condizione necessaria, poiché $a \leq x \leq y < z \leq b \implies y \neq b$, dunque applicando la vera definizione di sottoinsieme proprio ed improprio si ha che $[x,y] \subset [a,b]$ mentre $[x,y] \not\subseteq [a,b]$. Quindi, possiamo concludere che anche in tale sottocaso la transitività non persista.