[A/L] (2021/22) Combinatoria - Esercizio 29

[matypist]

[Rurik-D]

Prendiamo come esempio la seguente data: 03-06-1997

Abbimo quindi: $p = 1997$ e $q = 6 + 3 = 9$

1. Contiamo i modi di scrivere 1997 come somma di 9 interi non negativi.

Abbiamo di fronte un chiaro problema di scrittura additiva, di facile risoluzione tramite la formula

$$ \begin{aligned} \binom{m+t-1}{t-1} = \binom{m+t-1}{m} \end{aligned} $$

Abbiamo quindi:

$$ \begin{aligned} \binom{1997 + 9 - 1}{1997} = \binom{2005}{1997} = \binom{2005}{8} \end{aligned} $$

2. Contiamo i modi di scrivere 9 come somma di 1997 interi non negativi.

Il problema è simile al precedente solo con i valori scambiati.

$$ \begin{aligned} \binom{9 + 1997 - 1}{9} = \binom{2005}{9} = \binom{2005}{1996} \end{aligned} $$

3. Contiamo le sequenze ordinate di 3 cifre distinte scelte tra 03061997.

Siccome 306 (con il primo 0) = 306 (con il secondo 0), è inutile contarlo 2 volte, nella mia solunzione quindi escludo a priori le ripetizioni (siccome non potremo neanche avere soluzioni del tipo "300"). Contiamo quindi le sequenze ordinate di 3 cifre distinte scelte tra 036197. Abbiamo 6 cifre quindi la solunzione sarà banlmente la seguente:

$$ \begin{aligned} \frac{6!}{(6-3)!} = 6 * 5 * 4 \end{aligned} $$

[LuginiAndrea]

Nel punto 2 parla di soluzioni intere positive, il che esclude l'uso delle 0 come valore (tutte le variabili hanno valore $\geq$ 1)
Il problema diventa analogo alla distribuzione di $n$ caramelle a $k$ bambini, con tutti i bambini con almeno 1 caramella.
La risposta è quindi $$\binom{1997 + 9 - 1 - 9}{9-1}$$

[18xChris]

Perché hai scritto 1997 + 9? 6 + 5 sarebbe 11