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题目描述：
在世界的某个区域，有一些分散的神秘岛屿，每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。国王打算在这些岛屿上建公路，方便运输。
不同岛屿之间，路途距离不同，国王希望你可以规划建公路的方案，如何可以以最短的总公路距离将 所有岛屿联通起来。
给定一张地图，其中包括了所有的岛屿，以及它们之间的距离。以最小化公路建设长度，确保可以链接到所有岛屿。
输入描述：
第一行包含两个整数V 和 E，V代表顶点数，E代表边数 。顶点编号是从1到V。例如：V=2，一个有两个顶点，分别是1和2。
接下来共有 E 行，每行三个整数 v1，v2 和 val，v1 和 v2 为边的起点和终点，val代表边的权值。
输出描述：
输出联通所有岛屿的最小路径总距离
输入示例：
7 11
1 2 1
1 3 1
1 5 2
2 6 1
2 4 2
2 3 2
3 4 1
4 5 1
5 6 2
5 7 1
6 7 1
输出示例：
6
在上一篇 我们讲解了 prim算法求解 最小生成树，本篇我们来讲解另一个算法：Kruskal，同样可以求最小生成树。
prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合。
上来就这么说，大家应该看不太懂，这里是先让大家有这么个印象，带着这个印象在看下文，理解的会更到位一些。
kruscal的思路：
- 边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
- 遍历排序后的边
- 如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环
- 如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合
下面我们画图举例说明kruscal的工作过程。
依然以示例中，如下这个图来举例。
将图中的边按照权值有小到大排序，这样从贪心的角度来说，优先选 权值小的边加入到 最小生成树中。
排序后的边顺序为[(1,2) (4,5) (1,3) (2,6) (3,4) (6,7) (5,7) (1,5) (3,2) (2,4) (5,6)]
(1,2) 表示节点1 与 节点2 之间的边。权值相同的边，先后顺序无所谓。
开始从头遍历排序后的边。
选边(1,2)，节点1 和 节点2 不在同一个集合，所以生成树可以添加边(1,2)，并将 节点1，节点2 放在同一个集合。
选边(4,5)，节点4 和 节点 5 不在同一个集合，生成树可以添加边(4,5) ，并将节点4，节点5 放到同一个集合。
大家判断两个节点是否在同一个集合，就看图中两个节点是否有绿色的粗线连着就行
（这里在强调一下，以下选边是按照上面排序好的边的数组来选择的）
选边(1,3)，节点1 和 节点3 不在同一个集合，生成树添加边(1,3)，并将节点1，节点3 放到同一个集合。
选边(2,6)，节点2 和 节点6 不在同一个集合，生成树添加边(2,6)，并将节点2，节点6 放到同一个集合。
选边(3,4)，节点3 和 节点4 不在同一个集合，生成树添加边(3,4)，并将节点3，节点4 放到同一个集合。
选边(6,7)，节点6 和 节点7 不在同一个集合，生成树添加边(6,7)，并将 节点6，节点7 放到同一个集合。
选边(5,7)，节点5 和 节点7 在同一个集合，不做计算。
选边(1,5)，两个节点在同一个集合，不做计算。
后面遍历 边(3,2)，(2,4)，(5,6) 同理，都因两个节点已经在同一集合，不做计算。
此时 我们就已经生成了一个最小生成树，即：
在上面的讲解中，看图的话 大家知道如何判断 两个节点 是否在同一个集合（是否有绿色的线连在一起），以及如何把两个节点加入集合（就在图中把两个节点连上）
但在代码中，如果将两个节点加入同一个集合，又如何判断两个节点是否在同一个集合呢？
这里就涉及到我们之前讲解的并查集。
我们在并查集开篇的时候就讲了，并查集主要就两个功能：
- 将两个元素添加到一个集合中
- 判断两个元素在不在同一个集合
大家发现这正好符合 Kruskal算法的需求，这也是为什么 我要先讲并查集，再讲 Kruskal。
关于 并查集，我已经在并查集精讲 详细讲解过了，所以这里不再赘述，我们直接用。
本题代码如下，已经详细注释：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
// l,r为 边两边的节点，val为边的数值
struct Edge {
int l, r, val;
};
// 节点数量
int n = 10001;
// 并查集标记节点关系的数组
vector<int> father(n, -1); // 节点编号是从1开始的，n要大一些
// 并查集初始化
void init() {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
father[i] = i;
}
}
// 并查集的查找操作
int find(int u) {
return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}
// 并查集的加入集合
void join(int u, int v) {
u = find(u); // 寻找u的根
v = find(v); // 寻找v的根
if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
father[v] = u;
}
int main() {
int v, e;
int v1, v2, val;
vector<Edge> edges;
int result_val = 0;
cin >> v >> e;
while (e--) {
cin >> v1 >> v2 >> val;
edges.push_back({v1, v2, val});
}
// 执行Kruskal算法
// 按边的权值对边进行从小到大排序
sort(edges.begin(), edges.end(), [](const Edge& a, const Edge& b) {
return a.val < b.val;
});
// 并查集初始化
init();
// 从头开始遍历边
for (Edge edge : edges) {
// 并查集，搜出两个节点的祖先
int x = find(edge.l);
int y = find(edge.r);
// 如果祖先不同，则不在同一个集合
if (x != y) {
result_val += edge.val; // 这条边可以作为生成树的边
join(x, y); // 两个节点加入到同一个集合
}
}
cout << result_val << endl;
return 0;
}
时间复杂度：nlogn （快排） + logn （并查集） ，所以最后依然是 nlogn 。n为边的数量。
关于并查集时间复杂度，可以看我在 并查集理论基础 的讲解。
如果题目要求将最小生成树的边输出的话，应该怎么办呢？
Kruskal 算法 输出边的话，相对prim 要容易很多，因为 Kruskal 本来就是直接操作边，边的结构自然清晰，不用像 prim一样 需要再节点练成线输出边 （因为prim是对节点操作，而 Kruskal是对边操作，这是本质区别）
本题中，边的结构为：
struct Edge {
int l, r, val;
};那么我们只需要找到 在哪里把生成树的边保存下来就可以了。
当判断两个节点不在同一个集合的时候，这两个节点的边就加入到最小生成树， 所以添加边的操作在这里：
vector<Edge> result; // 存储最小生成树的边
// 如果祖先不同，则不在同一个集合
if (x != y) {
result.push_back(edge); // 记录最小生成树的边
result_val += edge.val; // 这条边可以作为生成树的边
join(x, y); // 两个节点加入到同一个集合
}整体代码如下，为了突出重点，我仅仅将 打印最小生成树的部分代码注释了，大家更容易看到哪些改动。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Edge {
int l, r, val;
};
int n = 10001;
vector<int> father(n, -1);
void init() {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
father[i] = i;
}
}
int find(int u) {
return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]);
}
void join(int u, int v) {
u = find(u);
v = find(v);
if (u == v) return ;
father[v] = u;
}
int main() {
int v, e;
int v1, v2, val;
vector<Edge> edges;
int result_val = 0;
cin >> v >> e;
while (e--) {
cin >> v1 >> v2 >> val;
edges.push_back({v1, v2, val});
}
sort(edges.begin(), edges.end(), [](const Edge& a, const Edge& b) {
return a.val < b.val;
});
vector<Edge> result; // 存储最小生成树的边
init();
for (Edge edge : edges) {
int x = find(edge.l);
int y = find(edge.r);
if (x != y) {
result.push_back(edge); // 保存最小生成树的边
result_val += edge.val;
join(x, y);
}
}
// 打印最小生成树的边
for (Edge edge : result) {
cout << edge.l << " - " << edge.r << " : " << edge.val << endl;
}
return 0;
}
按照题目中的示例，打印边的输出为：
1 - 2 : 1
1 - 3 : 1
2 - 6 : 1
3 - 4 : 1
4 - 5 : 1
5 - 7 : 1
大家可能发现 怎么和我们 模拟画的图不一样，差别在于 代码生成的最小生成树中 节点5 和 节点7相连的。
其实造成这个差别 是对边排序的时候 权值相同的边先后顺序的问题导致的，无论相同权值边的顺序是什么样的，最后都能得出最小生成树。
此时我们已经讲完了 Kruskal 和 prim 两个解法来求最小生成树。
什么情况用哪个算法更合适呢。
Kruskal 与 prim 的关键区别在于，prim维护的是节点的集合，而 Kruskal 维护的是边的集合。 如果 一个图中，节点多，但边相对较少，那么使用Kruskal 更优。
有录友可能疑惑，一个图里怎么可能节点多，边却少呢？
节点未必一定要连着边那， 例如 这个图，大家能明显感受到边没有那么多对吧，但节点数量 和 上述我们讲的例子是一样的。
为什么边少的话，使用 Kruskal 更优呢？
因为 Kruskal 是对边进行排序的后 进行操作是否加入到最小生成树。
边如果少，那么遍历操作的次数就少。
在节点数量固定的情况下，图中的边越少，Kruskal 需要遍历的边也就越少。
而 prim 算法是对节点进行操作的，节点数量越少，prim算法效率就越优。
所以在 稀疏图中，用Kruskal更优。 在稠密图中，用prim算法更优。
边数量较少为稀疏图，接近或等于完全图（所有节点皆相连）为稠密图
Prim 算法 时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量，它的运行效率和图中边树无关，适用稠密图。
Kruskal算法 时间复杂度 为 nlogn，其中n 为边的数量，适用稀疏图。
如果学过了并查集，其实 kruskal 比 prim更好理解一些。
本篇，我们依然通过模拟 Kruskal 算法的过程，来带大家一步步了解其工作过程。
在 拓展一 中讲解了 如何输出最小生成树的边。
在拓展二 中讲解了 prim 和 Kruskal的区别。
录友们可以细细体会。