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Fiches de Physique.tex
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Fiches de Physique.tex
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% ==== Document Class & Packages =====
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% ========= Path to images ============
% - Direct the computer on the path
% to the folder containg the images
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% ============= Macros ================
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% ======== Footers & Headers ==========
\cfoot{\thepage}
\chead{}\rhead{}\lhead{}
% =====================================
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
\newcommand\sectionnumfont{% font specification for the number
\fontsize{114}{39}\color{myblueii}\selectfont}
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\normalfont\color{white}\scshape\small\bfseries }
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% ----- Blue -----
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% ---- Yellow ----
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% ----- Green ------
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% ---- White -----
\definecolor{ghostwhite}{rgb}{0.97, 0.97, 1.0}
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% ---- Grey -----
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% ========= Part Format ==========
\titleformat{\section}
{\normalfont\huge\filleft}
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\fill[myblueiii]
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\node[
fill=mybluei,
text width=2\paperwidth,
rounded corners=3cm,
text depth=6cm,
anchor=center,
inner sep=0pt] at (current page.north east) (parttop)
{\thepart};%
\node[
anchor=south east,
inner sep=0pt,
outer sep=0pt] (partnum) at ([xshift=-20pt]parttop.south)
{\sectionnumfont\thesection};
\node[
anchor=south,
inner sep=0pt] (partname) at ([yshift=2pt]partnum.south)
{\sectionnamefont SECTION};
\node[
anchor=north east,
align=right,
inner xsep=0pt] at ([yshift=-0.5cm]partname.east|-partnum.south)
{\parbox{.7\textwidth}{\raggedleft#1}};
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% ========= Hyper Ref ===========
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% ========= Example Boxes =============
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\begin{document}
\begin{titlepage}
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% Title Section
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{ \Huge Fiches de Physiques\\
\vspace{4mm}
PTSI \\ }
% ======================================
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% =================
% Information
% =================
{\large Noë Charlier \\
\vspace*{1.2\baselineskip}
2021-2022} \\
\vfill
\end{titlepage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\tableofcontents
\vfill
\small{\noindent \textbf{À propos} \vspace{-3mm}\\
\noindent \rule{3.3cm}{0.5pt} \\
Le but est de produire des courtes fiches pour réviser facilement les concours.\\
L'intégralité du contenu de ce fichier et de ce dossier est gratuite pour un usage public.}
\newpage
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Analyse Dimensionnelle}
\vspace{3cm}
L'analyse dimensionnelle est essentiel en physique, elle permet de vérifier l'homogénéité !
\subsection{Tableau récapitulatif}
\begin{table}[h!]
\centering
\begin{tabular}{c|c|c}
Grandeur & Unité SI & Dimension \\\hline
Longueur & mètre(m) & L \\
Masse & kilogramme(kg) & M \\
Durée & seconde(s) & T \\
Température & kelvin(K) & $\theta$ \\
Intensité éclectique & ampère(A) & I \\
Quantité de matière & mole(mol) & N\\
Intensité lumineuse & candela(Cd) & J
\end{tabular}
\caption{\label{tab:table1}Unité du Système International (USI)}
\label{table:1}
\end{table}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fondements de l'optique géométrique}
\vspace{3cm}
Loi de Snell Descartes, Spectres d’émission, Indice optique...
\subsection{Milieu d'étude}
On s’intéressera à la propagation de la lumière dans des milieux qualifiés de \textbf{Transparents, Linéaires, Homogènes et Isotropes.}
\subsubsection{Indice de réfraction}
\[n=\frac{c}{v}\]
Avec: $n$ l'indice, $c$ la célérité, et $v$ la vitesse dans le milieu.
\subsection{Lois de Snell-Descartes}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item Rayon réflechi et réfracté sur le même plan d'incidence.
\item Le rayon est symétrique par rapport à la normal au dioptre.
\item Le rayon réfracté vérifie: \fbox{$n_1 sin(i_1) = n_2 sin (i_2)$}
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Systèmes optiques usuels}
\vspace{3cm}
Lentille mince convergente/divergente, distance focale, relation de conjugaison.
\subsection{Grandissement}
Le grandissement transversal est le rapport entre la taille de l'image et celle de l'objet:
\[ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}\]
\subsection{Conditions de Gauss}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item Le rayon est proche de l'axe optique.
\item Le rayon est peu inclé par rapport à l'axe optique.
\end{itemize}
Les rayons sont \textbf{paraxiaux}
\end{DashedDefinition}
\subsection{Modèle de l'oeil}
\begin{itemize}
\item Le \textbf{cristallin} est la lentille.
\item la \textbf{pupille} est le diaphragme.
\item la \textbf{rétine} est l'écran.
\end{itemize}
Limite de \textbf{résolution angulaire pour l'oeil}: \fbox{1 minutes d'arc}.
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Circuit électriques dans l'ARQS}
\vspace{3cm}
\subsection{Intensité du courant électrique}
C'est le débit de charge (en \textbf{Coulomb} (USI: C)) à travers une section de conducteur:
\[i=\frac{\delta q}{dt}\]
\textbf{Unité: A}
\subsection{ARQS}
Il s'agit de \textbf{l'appromixation des régimes quasi-satationnaires} vérifie lorsque le retard est négligable devant la période T:
\[\Delta t << T\]
Avec le retard: \fbox{$\Delta t = \frac{L}{c}$} avec L distance de deux points du circuit.
\subsection{Pont diviseur de tension}
\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth}
\begin{circuitikz} \draw
(0,0) -- (1,0) to[R, l=$R_1$, v=$U_1$] (1,2)
to[R, l=$R_2$, v=$U_2$] (1,4) -- (0,4)
(0,0.2) to[open, v=$U$] (0,3.8)
;
\end{circuitikz}
\end{wrapfigure}
On a les relations suivantes: \\~\\
\begin{DashedDefinition}{}[
\fbox{$U_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}U$} \ et \ \fbox{$U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}U$}
\end{DashedDefinition}
\subsection{Énergie}
L'énergie échangée entre les instants $t_1$ et $t_2$ est: \\
\[E=\int_{t_1}^{t_2} P(t) dt \]
\[ P(t)=\frac{dE}{dt}\]
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Circuit linéaires du premier ordre}
\vspace{3cm}
\subsection{Dipôle usuels}
\subsubsection{Condensateur}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item Relation charge-tension: $q(t)=Cu_c(t)$
\item Relation courant-tension: \fbox{$i=C\frac{du_c}{dt}$}
\item En \textbf{RP}: $u_c=cte$ et $i=0$
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\subsubsection{Bobine}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item Relation courant-tension: \fbox{$u_l=L\frac{di}{dt}$}
\item En \textbf{RP}: $u_l=0$ et $i=cte$
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\subsection{Circuit du 1er ordre}
On peut déterminer l'équation différentiel en faisant une \textbf{loi des mailles}, on la résout ensuite
cf. \textbf{Complément Mathématiques}. \\
On étudie un circuit RC: \\
\textbf{Equation différentiel}: \fbox{$\frac{du_c}{dt}+\frac{u_c}{\tau}=\frac{E}{\tau}$}
\ Avec $\tau=RC$ \\
On a une fonction de la forme: $u_c(t)=E(1-exp(- \frac{t}{\tau})$
\subsubsection{Détermination de $\tau$}
\begin{itemize}
\item \textbf{Méthode graphique}:
\begin{itemize}
\item On calcule $u_c=63\% E$
\item Le point d'ordonnée $63\% E$ a pour abscisse $t=\tau$
\end{itemize}
\item \textbf{Par le calcul:} $\tau=RC$
\end{itemize}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Oscillateur harmonique}
\vspace{3cm}
\subsection{Oscillateur mécanique}
\subsubsection{Force de rappel élastique}
\begin{DashedDefinition}{}[
\[ \overrightarrow{F_e} = -k(l-l_0) \overrightarrow{u_{ext}}\]
Avec:
\begin{itemize}
\item $k$ la constante du ressort ($N.m^{-1}$)
\item $l_0$ la longueur à vide
\item $\overrightarrow{u_{ext}}$ le vecteur unitaire dirigé vers l'extérieur du ressort.
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\begin{DashedDefinition}{}[
\textbf{Énergie potentielle élastique}:
\[E_p=\frac{1}{2} k (l-l_0)^2 (+cte)\]
\end{DashedDefinition}
\subsection{Oscillateur harmonique}
\begin{DashedDefinition}{}[
Il s'agit d'un système physique décrit par une grandeur $x(t)$ vérifiant l'équation différentiel suivante:
\[ \ddot{x} + \omega_0^2 x = cte\]
\end{DashedDefinition}
Pour la résolution, voir \textbf{Complément Mathématiques}.
\subsection{Oscillateur électrique}
On étudie un circuit LC: \\
\textbf{Equation différentiel}: \fbox{$\ddot u_c + \frac{u_c}{LC}=0$} \\
Avec : $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, solution: $u(t)=X_m cos(\omega_0 t + \phi)$.
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Régimes transitoires des oscillateurs amortis}
\vspace{3cm}
\subsection{Forces de frottements}
\begin{DashedDefinition}{}[
Solide en mouvement dans un fluide à une vitesse $\overrightarrow{v}$, la force de frottements est $\overrightarrow{f}$:
\[\overrightarrow{f}=-\alpha \overrightarrow{v}\]
Unité SI: \textbf{$kg.s^{-1}$}
\end{DashedDefinition}
\subsection{Fome canonique}
\begin{DashedDefinition}{}[
De la forme canonique suivante:
\[ \ddot{X}+ \frac{\omega_0}{Q} \dot{X} + \omega_0^2 X = cte\] \\
Avec $Q$ le facteur de qualité et $\omega_0$ la pulsation propre. \\
\end{DashedDefinition}
Comparaison des deux systèmes amortis:
\begin{table}[h!]
\centering
\begin{tabular}{c|c}
Mécanique & Electrique \\\hline
$Q=\frac{\sqrt{km}}{a}$ & $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ \\
$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ & $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
\end{tabular}
\end{table}
\subsection{Résolution de l'équation différentiel}
Équation caractéristique : \fbox{$r^2+\dfrac{\omega_0}{Q}r+\omega_0^2=0$}
\vspace{-0.5 cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\multirow{1}{*}{Signe de $\Delta$} &\multirow{1}{*}{$\Delta>0$ }& \multirow{1}{*}{$\Delta=0$ }&\multirow{1}{*}{$\Delta<0 $ }\\ \hdashline
{\multirow{1}{*}{ Facteur de qualité} }& {\multirow{1}{*}{$Q<1/2$ }}& { \multirow{1}{*}{$Q=1/2$ }}&{\multirow{1}{*}{$Q>1/2 $ }}\\\hdashline
Régime transitoire & Apériodique & Critique & Pseudo-périodique \\ \hdashline
\multirow{4}*{Solution de l'EC} &\multirow{4}*{$r_{1,2}=-\dfrac{\omega_0}{2Q}\pm\dfrac{\omega_0}{2Q}\sqrt{1-4Q^2}$}&\multirow{4}*{$r=-\dfrac{\omega_0}{2Q}=-\omega_0$} &\multirow{2}*{$r_{1,2}=-\dfrac{\omega_0}{2Q}\pm j\dfrac{\omega_0}{2Q}\sqrt{4Q^2-1}$} \\
&&&\\
& & &\multirow{2}*{$=-\dfrac{1}{\tau}\pm j\Omega$} \\
&&&\\\hdashline
\multirow{2}*{ Solutions homogène }&\multirow{2}*{ $A\mathrm{e}^{r_1t}+B\mathrm{e}^{r_2t}$} & \multirow{2}*{ $(At+B)\mathrm{e}^{-\omega_0t}$} & \multirow{2}*{ $\mathrm{e}^{-t/\tau}[A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t)]$} \\
& & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\subsection{Différents régimes}
\subsubsection{Régime pseudo-périodique (Q>1/2)}
Speudo-période: $T=\frac{2 \pi}{\Omega}=\frac{2 \pi}{\frac{\omega_0}{4Q}\sqrt{4Q^2-1}}$ \\
Durée du régime transitoire: $tr=\frac{10Q}{\omega_0}$ \\
Nombre d'oscillations: $N=\frac{10}{4 \pi}\sqrt{4Q^2-1}$
\subsubsection{Régime apériodiques (Q<1/2)}
Durée du régime transitoire: $tr=5\tau_{max}$
\subsubsection{Régime critique (Q=1/2)}
Durée du régime transitoire: $tr=S\frac{1}{\omega_0}$
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Propagation d'un signal}
\vspace{3cm}
\subsection{Ondes}
\begin{DashedDefinition}{}[
Ondes: \textbf{Propagation spatiale d'une perturbation local d'une grandeur physique.}
\begin{itemize}
\item \textbf{Ondes transversales}, la direction de la perturbation est \textbf{orthogonale} à la direction de propagation.
\item \textbf{Ondes longitudinales}, la direction de la perturbation est \textbf{identique} à la direction de propagation.
\end{itemize}
Elle peut être modélisée par:
\[\fbox{$s(t)=S_m cos(\omega t + \Phi)$}\]
Avec $S_m$, l'amplitude, $\Phi$, la phase, $\omega$ la pulsation ($\omega=2\pi f$, et $\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2 \pi}$).
\end{DashedDefinition}
\subsubsection{Onde progressive unidimensionnelle}
Conditions:
\begin{itemize}
\item \textbf{illimité}: pas de réflexion.
\item \textbf{non dispersif}: la vitesse de propagation de dépend pas de la fréquence.
\item \textbf{transparent}: le milieu n'absorbe pas l'énergie transporté par l'onde.
\item \textbf{linéaire}: le signal se propage sans modification de sa fréquence.
\end{itemize}
\subsection{Propagation d'une onde}
\begin{DashedDefinition}{}[
Onde dans le sens des x croissant:
\begin{itemize}
\item Retard $\Delta t= \frac{x}{c}$ est la duré su trajet de l'onde entre 0 et $x$.
\item Le signal en M à t est identique au signal en O à $t-\Delta t$
\item Le signal en M s'écrit: $s(x,t)=f(f-\frac{x}{c})$
\item Le signal se déplace d'une distance $\delta=st$, soit $s(x,t)=F(x-ct)$
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\subsection{Vitesse de phase}
\begin{DashedDefinition}{}[
La \textbf{vitesse de phase} est la vitesse tel que la vitesse de phase soit constant, défini par:
\[v_p= \frac{\omega}{k}\]
\end{DashedDefinition}
Lien entre \textbf{déphasage} et \textbf{retard temporel}:
\[\fbox{$\Delta \Phi = - \omega \Delta t$}\]
Conditions signaux en \textbf{phase}:
\[\fbox{$\Delta \Phi=2p \pi, p \in \mathbb{N}$}\]
Conditions signaux en \textbf{opposition de phase}:
\[\fbox{$\Delta \Phi=(2p+1) \pi, p \in \mathbb{N}$}\]
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Phénomène d'interférences}
\vspace{3cm}
Nb: la formule de Fresnel sera à connaître et à redémontrer en deuxième année.
\subsection{Superposition de deux signal de même fréquence}
L'amplitude A en un point M du signal associé à l'onde s résultant de la superposition de deux ondes $s_1$ (resp.$s_2$) ont des amplitudes $A_1$ (resp. $A_2$) et de même fréquence s'écrit:
\[A=\sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 cos(\Delta \Phi_{1/2}^M)}\]
Démo à connaître.
\subsection{Différence de marche}
\begin{DashedDefinition}{}[
On note \textbf{chemin optique} entre deux points A et B:
\[(AB)=\int_s n ds\]
\textit{Il s'agit de la notation général, deuxième année.} \\
La \textbf{différence de marche} est une différence de chemin optique.
\end{DashedDefinition}
\subsubsection{Différence de marche, fente d'Young}
Démonstration à connaître:
\[\delta_M=\frac{nax}{D}\]
Avec: $n$ l'indice du milieu, $a$ la distance entre les fentes, $D$, la distance entre le dispositif et l'écran.
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Oscilateurs amortis en régime sinusoïdale forcé}
\vspace{3cm}
\subsection{Régime Sinusoïdal Forcé}
\begin{DashedDefinition}{}[
Équation différentiel de la forme:
\[\ddot{s}+\frac{\omega_0}{Q}\dot{s}+\omega_0^2 s = D cos(\omega t)\]
Avec: $Q$ facteur de qualité, $D=\frac{F_0}{m}$ \ (resp. \ $\omega_0^2E_0$) \ ($F_0$ l'amplitude de la force, $m$ la masse, \ (resp. \ $E_0$ l'amplitude)), $\omega_0$ la pulsation propre, et $\omega$ la pulsation de l'excitation.
\end{DashedDefinition}
\subsection{Les complexes}
\begin{DashedDefinition}{}[
Relation importantes:
\begin{itemize}
\item $\frac{\ubar{dx}}{dt}=j \omega \ubar{x}$
\item $\int \ubar{x} dt =\frac{1}{j \omega} \ubar{x}$
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\begin{DashedDefinition}{}[
\textbf{Impédance}:
\[\ubar{Z}=\frac{\ubar{U}}{\ubar{i}}\]
USI: Ohm
\end{DashedDefinition}
\textit{On peut se rappeler que l'impédance est comme la résistance, soit U=RI}
\subsubsection{Tableau récapitulatif en RSF}
A partir des relations de la page 9, on retrouve: \\
\begin{table}[h!]
\centering
\begin{tabular}{c|c|c}
Dipôle & Condensateur idéal & Bobine idéal \\\hline
Relation courant-tension & $i=C\frac{du_c}{dt}$ & $u_c=L\frac{di}{dt}$ \\
Notation complexe & $\ubar{i}=j\omega C \ubar{u_c}$ & $\ubar{u_c}=j \omega L \ubar{i}$ \\
Impédance complexe & $\ubar{Z}=\frac{1}{j \omega C}$ & $\ubar{Z}=j \omega L$ \\
\end{tabular}
\end{table}
\begin{table}[h!]
\centering
\begin{tabular}{c|c|c}
Déphasage & $arg \ubar{Z}=-\pi/2$ & $arg \ubar{Z}=\pi/2$ \\
Basses fréquences & Interrupteur ouvert & Interrupteur fermé \\
Haute fréquences & Interrupteur fermé & Interrupteur ouvert
\end{tabular}
\end{table}
\subsubsection{Impédance équivalentes}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item En série: $\ubar{Z_{eq}}=\sum \ubar{Z_k}$
\item En parallèle: $\frac{1}{\ubar{Z_{eq}}}=\sum \frac{1}{\ubar{Z_k}}$
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\subsubsection{Ponts diviseurs}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item De tension: $\ubar{u_1}=\frac{\ubar{Z_1}}{\ubar{Z_1}+\ubar{Z_2}}\ubar{u}$
\item De courant: $\ubar{i_1}=\frac{\ubar{Z_2}}{\ubar{Z_1}+\ubar{Z_2}}\ubar{i}$
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\textbf{Schéma:}
\begin{circuitikz}\draw
(0,0) to[european resistor, l=$\ubar{Z_1}$] ++(1.5,0)
to[european resistor, l=$\ubar{Z_2}$] ++(1.5,0)
(3.5,0.5) to[short] ++(0.5,0)
to[european resistor, l=$\ubar{Z_1}$, v=$U$] ++(0,-1.5)
(4,0.5) to[short] ++(1,0)
to[european resistor, l=$\ubar{Z_2}$] ++(0,-1.5)
(3.5,-1) to[short] ++(0.5,0)
to[short] ++(1,0)
(0,-0.5) to[open, v=$U$] (3,-0.5)
;\end{circuitikz}
\end{center}
\end{figure}
\subsection{Résonance}
\begin{DashedDefinition}{}[
Dans un circuit RLC en RSF, il existe une pulsation avec une amplitude maximale:
\[\omega_r=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}, \ Q \ \geq \frac{1}{\sqrt{2}}\]
\end{DashedDefinition}
\subsection{Bande passante}
\begin{DashedDefinition}{}[
La bande passante est la bande de fréquence pour l'amplitude de réponse est supérieure ou égale à l'amplitude maximale divisée par $\sqrt{2}$. \\
$\Delta \omega$ est la largeur de la bande passante à -3dB.
\end{DashedDefinition}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Filtrage linéaire en électricité}
\vspace{3cm}
\subsection{Les signaux périodiques}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item Un signal périodique de période T: \fbox{$s(t)=s(t+T)$}.
\item \textbf{Valeur moyenne:}
\[<s(t)>=s_0=\frac{1}{T}\int_0^T s(t) dt\]
\item \textbf{Valeur efficace:}
\[S_{eff}=\sqrt{<s^2(t)>}\]
\end{itemize}
\textit{La valeur efficace correspond à une tension constante dans un circuit pour dissiper la même puissance dans une résistance.}
\end{DashedDefinition}
\subsection{Filtrage linéaire}
\subsubsection{Définition}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item \textbf{Linéaire:} la sortie est l'entrée est linéaire ($\omega$ constant)
\item \textbf{L'ordre:} l'ordre de dérivation le plus élevé.
\item \textbf{Fonction de transfert \ubar{H}:}
\[\ubar{H} \omega = \frac{\ubar{s}}{\ubar{e}}\]
\begin{itemize}
\item \textbf{Le module:} $G(\omega)= |\ubar{H} (\omega)|$
\item \textbf{L'argument:} $arg(\ubar{H}) = \phi_s - \phi_e$
\item \textbf{Le gain en dB:} $G_{dB}=20log(G(\omega))$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\subsubsection{Diagramme de Bode}
Il s'agit d'un digramme souvent asymptotique où l'on trace les asymptotes de $G_{dB}$ et $\phi$ en fonction de $\omega$. \\
\textbf{Pulsation de coupure:}
\[\fbox{$G(\omega_c)=\frac{G_{max}}{\sqrt{2}}$}\]
\subsection{Mémo}
\subsubsection{1er Ordre}
Pente de $-20dB$ par décades.
\begin{itemize}
\item \textbf{Passe-bas:} \textit{R(C), L(R) série}
\[\ubar{H}=\frac{H_o}{1+jx}\]
\item \textbf{Passe-haut:} \textit{C(R), R(L) série}
\[\ubar{H}=\frac{jxH_o}{1+jx}\]
\end{itemize}
\subsubsection{2eme Ordre}
\begin{itemize}
\item Pente de $-40dB$ par décades; $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
\begin{itemize}
\item \textbf{Passe-bas:} \textit{RLC série}
\[\ubar{H} = \frac{H_0}{1-x^2+\frac{jx}{Q}}\]
\item \textbf{Passe-haut:} \textit{RCL série}
\[\ubar{H} = \frac{H_0}{1-\frac{1}{x^2}+\frac{j}{Qx}}\]
\end{itemize}
\item Pente de $-20dB$ par décades; $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
\begin{itemize}
\item \textbf{Passe-bande:} \textit{CLR série}
\[\ubar{H} = \frac{H_0}{1+jQ(x-\frac{1}{x})}\]
\item \textbf{Coupe-bande:} \textit{R(CL) série}
\[\ubar{H} = \frac{H_0}{1-\frac{j}{Q(x-\frac{1}{x})}}\]
\end{itemize}
\end{itemize}
\vfill
\small{\noindent \textbf{Note:} \vspace{-3mm}\\
\noindent \rule{3.3cm}{0.5pt} \\
Votre prof préférer à proposé une approche documentaire d'un sismomètre à l'aide de ce chapitre !}
\newpage
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\section{Description et paramétrage du mouvement d'un point}
\vspace{3cm}
Comment représenter l'espace ?
\subsection{Repérage}
\begin{DashedDefinition}{}[
\textbf{Référentiel:} Un choix des points de l'espace à partir desquels on repère le mouvement des corps, le référentiel doit être suivi d'un horloge permettant de définir le temps.
\end{DashedDefinition}
\subsection{Système de coordonnées}
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{adjustwidth}{-1cm}{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
&En coordonnées cartésiennes & En coordonnées cylindriques & En coordonnées sphériques \\ \hline
&&&\\
&\includegraphics[width=5.2cm]{Figures/cartesien.png}&\includegraphics[width=5.2cm]{Figures/cylin.png}&\includegraphics[width=5.2cm]{Figures/sphere.png}\\ \hline
\multirow{2}{*}{$\overrightarrow{OM}$}&\multirow{2}{*}{$x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$} &\multirow{2}{*}{$r\vec e_r+z\vec e_z$}&\multirow{2}{*}{$r\vec e_r$}\\
&&&
\\ \hline
\multirow{2}{*}{$d\overrightarrow{OM}$}&\multirow{2}{*}{$d x\vec e_x+d y\vec e_y+d z\vec e_z$}&\multirow{2}{*}{$d r\vec e_r+r d \theta\vec e_\theta+d z\vec e_z$}&\multirow{2}{*}{$d r\vec e_r+rd \theta\vec e_\theta+r\sin\theta d \varphi \vec e_\varphi$}\\
&&&
\\ \hline
\multirow{2}{*}{$\overrightarrow{v}$}&\multirow{2}{*}{$\dot x\vec e_x+\dot y\vec e_y+\dot z\vec e_z$}&\multirow{2}{*}{$\dot r \vec e_r+r\dot \theta \vec e_\theta+\dot z\vec e_z$}&\multirow{2}{*}{$\dot r\vec e_r+r\dot \theta\vec e_\theta+r\sin\theta\dot \varphi \vec e_\varphi$}\\
&&&
\\ \hline
\end{tabular}
\end{adjustwidth}
\end{center}
\label{default}
\end{table}%
\vspace{-0.7 cm}
\textbf{Remarque} : Vous devez également savoir établir l'expression du vecteur accélération $\vec a$ dans le cas des coordonnées cartésiennes et cylindriques. Pour cela on retiendra surtout qu'avec les coordonnées cylindriques : \[\fbox{$\dfrac{d \vec e_r}{d t}=\dot \theta \vec e_\theta$} \hspace{1cm} \mathrm{et} \hspace{1cm} \fbox{$\dfrac{d \vec e_\theta}{d t}=-\dot \theta \vec e_r$}\]
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\section{Lois de Newton}
\vspace{3cm}
\subsection{Quantité de mouvement}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item \textbf{Quantité de mouvement:} \[\vec p (M)_{/R}=m \vec v (M)_{/R}\]
\item \textbf{Centre de masse:} \[m \overrightarrow{OG}=\sum_{k=1}^N m_k \overrightarrow{OM}_k\]
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\subsection{Lois de Newton}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item \textbf{1er principe:} tout corps conservera son état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins qu'une force ne soit appliquée sur ce corps. (Principe vérifié pour un repère galiléen).
\item \textbf{2eme principe} (PFD): \[\fbox{$\sum_i \overrightarrow{F}_{ext \rightarrow M,i} = m \vec a$}\]
\item \textbf{3eme principe} (Actions réciproques): \[\overrightarrow{F}_{A \rightarrow B} = - \overrightarrow{F}_{B \rightarrow A}\]
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\subsection{Forces de frottements quadratiques}
\begin{DashedDefinition}{}[
Solide en mouvement dans un fluide à une vitesse importante $\overrightarrow{v}$, la force de frottements est $\overrightarrow{f}$:
\[\overrightarrow{f}=-\beta ||\overrightarrow{v}|| \overrightarrow{v}\]
* Avec $\beta$ le \textbf{coefficient de frottement}. \\
Unité SI: \textbf{$kg.s^{-1}$} \\
\textit{Voir page 11, pour les frottements linéaires.}
\end{DashedDefinition}
\newpage
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\section{Approche énergétique du mouvement d'un point}
\vspace{3cm}
\subsection{Puissance et travail}
\subsubsection{Puissance}
\begin{DashedDefinition}{}[
La \textbf{puissance} d'une force $\vec F$, appliquée au point matériel M, d'une vitesse $\vec v$, dans le référentiel \( \mathcal{R} \):
\[ \mathcal{P}(\vec F)_R=\vec F \cdot \vec v (M)_R\]
USI: W(Watt)
\end{DashedDefinition}
\subsubsection{Travail}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item \textbf{Travail élémentaire:} $\delta W (\vec F)_R = P(\vec F)_R dt = \vec F \cdot d \overrightarrow{OM}$
\item \textbf{Travail entre $t_1$ et $t_2$:} \[W_{M_1 \rightarrow M_2}(\vec F)_R=\int_{M_1}^{M_2} \delta W(\vec F)_R=\int_{M_1}^{M_2} = F \cdot d \overrightarrow{OM}\]
\end{itemize}
USI: Joule (J)
\end{DashedDefinition}
\subsection{Théorèmes énergétiques}
\subsubsection{Théorème de de la puissance et de l'énergie cinétiques}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item \textbf{Puissance cinétique:}
\[\frac{dE_c}{dt} = \sum_i P( \vec F_i)\]
\item \textbf{Énergie cinétique:}
\[\Delta E_c = \sum_i W_{M_1 \rightarrow M_2}(\vec F_1)=E_c(t_2)-E_c(t_1)\]
\textit{$M_1$ (resp. $M_2$) aux instants $t_1$ (resp. $t_2$)}
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\subsubsection{Théorème de de la puissance et de l'énergie mécaniques}
\begin{DashedDefinition}{}[
\begin{itemize}
\item \textbf{Puissance mécanique:}
\[\frac{dE_m}{dt}=\sum P(\vec F_{nc})\]
Avec $P_{nc}$ la puissance des forces non conservatives: $P(\vec F_{nc})=\vec F_{nc} \cdot \vec v$
\item \textbf{Énergie mécanique:}
\[\Delta E_m(M)= \sum_k W_{M_1 \rightarrow M_2}(\vec F_{nc,k})=W_{nc}\]
\end{itemize}
\end{DashedDefinition}
\subsection{Énergie potentielle}
\begin{DashedDefinition}{}[
Si une force est conservative (\textbf{indépendant du chemin suivi}), on a
\[\delta W (\vec F) = \vec F \cdot d \overrightarrow{OM} = -d E_p\]
\end{DashedDefinition}
L'énergie potentielle $E_p$ d'une force conservative $\vec F$ est: \fbox{$\vec F = - \overrightarrow{grad} E_p$}
\subsection{Énergie mécanique}
\begin{DashedDefinition}{}[
L'énergie potentielle $E_p$ du point M correspond à la somme des énergies potentielles associées aux forces conservatives. L'énergie mécanique $E_m$ du point M est:
\[E_m(M)=E_c(M)+E_p(M)\]
\end{DashedDefinition}
\newpage
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\section{Mouvement de particules chargées}
\vspace{2cm}
dans des champs électriques et magnétiques uniformes et stationnaires. \\
\subsection{Force de Lorentz}
\begin{DashedDefinition}{}[
Une particule chargée de charge $q$, animée d'une vitesse $\vec v$ dans un référentiel $\mathcal{R}$ subit, en présence d'un champ électrique $\vec E$ et d'un champ mangnétique $\vec B$, la force de Lorentz dont l'expression est:
\[\fbox{$\vec F = q(\vec E + \vec v \wedge \vec B)$}\]
On a aussi: $\vec F_m = q \vec v \wedge \vec B$ la force magnétique et est orthogonale à $\vec v$; \\ et $\vec F_e$ la force électrique.
\end{DashedDefinition}
\begin{itemize}
\item La \textbf{force magnétique} est orthogonale à la vitesse, la puissance et le travail sont nuls. Elle \textbf{ne peut pas dévier} la particule chargée.
\item La \textbf{force électrique} peut délivrer une puissance à une particule chargée. Elle peut \textbf{agir sur la norme et la direction} de la particule chargée.
\end{itemize}
\subsection{Mouvement dans un champ électrostatique uniforme}
Le vecteur accélération est \textbf{constant}
\begin{DashedDefinition}{}[
Potentiel électrostatique (V): \fbox{$\vec E = - \overrightarrow{grad} V$} \\
On a donc l'énergie potentiel: $E_p = qV$
\end{DashedDefinition}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Loi du moment cinétique du point}
\vspace{3cm}
\subsection{Moment cinétique}
\subsubsection{Moment cinétique par rapport à un point}
\begin{DashedDefinition}{}[
Un point M de masse m et de vitesse $\vec v$, dans un référentiel $\mathcal{R}$. Le \textbf{moment cinétique du point M par rapport au point A} dans le référentiel $\mathcal{R}$ est:
\[\vec L_A(M)=\overrightarrow{AM} \wedge \vec p (M) = m \overrightarrow{AM} \wedge \vec v (M)_R\]
USI: $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$