From 79c6530df2da119a90571859dc86a311245687e8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Martin Zahnd Date: Sat, 26 Nov 2022 15:51:04 -0300 Subject: [PATCH] Agrega familia de cmds fullref. Arregla errores. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit * El encabezado dice 'Página' en lugar de 'Hoja' * Arregla errores en Repaso, Cardinalidad y Lógica Proposicional, varios encontrados tanto por Felipe Mindlin como por Alberto Bendayan. --- main.tex | 68 ++++++- teoria/cardinalidad.tex | 132 ++++++++------ teoria/funciones-computables.tex | 8 +- teoria/funciones-rp.tex | 8 +- teoria/logica-primer-orden.tex | 8 +- teoria/logica-proposicional.tex | 299 +++++++++++++++---------------- teoria/repaso.tex | 109 ++++++----- 7 files changed, 357 insertions(+), 275 deletions(-) diff --git a/main.tex b/main.tex index 2b10ea6..3dfa2b1 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -193,7 +193,7 @@ \fancyheadoffset[lh]{\headerovermarginoffset}% \fancyhead[L]{\nouppercase{\leftmark}}% \fancyhead[C]{\materia}% - \fancyhead[R]{Hoja \thepage}% + \fancyhead[R]{Página \thepage}% } % Estilo para el anexo @@ -362,7 +362,12 @@ % Definiciones \newtcbtheorem% - []% init options + [% + % crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + crefname={definición}{definiciones}, + % Crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + Crefname={Definición}{Definiciones} + ]% init options {definicion}% name {Definición}% title {% @@ -372,7 +377,12 @@ % Teoremas \newtcbtheorem% - []% init options + [% + % crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + crefname={teorema}{teoremas}, + % Crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + Crefname={Teorema}{Teoremas} + ]% init options {teorema}% name {Teorema}% title {% @@ -383,7 +393,13 @@ % Corolarios \newtcbtheorem% - [number within=cteoremas]% init options + [% + number within=cteoremas, + % crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + crefname={corolario}{corolarios}, + % Crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + Crefname={Corolario}{Corolarios} + ]% init options {corolario}% name {Corolario}% title {% @@ -393,7 +409,13 @@ % Lemas \newtcbtheorem% - [number within=cteoremas]% init options + [% + number within=cteoremas, + % crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + crefname={lema}{lemas}, + % Crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + Crefname={Lema}{Lemas} + ]% init options {lema}% name {Lema}% title {% @@ -403,7 +425,12 @@ % Proposiciones \newtcbtheorem% - []% init options + [% + % crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + crefname={proposición}{proposiciones}, + % Crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + Crefname={Proposición}{Proposiciones} + ]% init options {proposicion}% name {Proposición}% title {% @@ -414,7 +441,13 @@ % Corolarios de proposicion \newtcbtheorem% - [number within=cproposicion]% init options + [% + number within=cproposicion, + % crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + crefname={corolario}{corolarios}, + % Crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + Crefname={Corolario}{Corolarios} + ]% init options {corolario-proposicion}% name {Corolario}% title {% @@ -424,7 +457,12 @@ % Hipótesis \newtcbtheorem% - []% init options + [% + % crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + crefname={hipótesis}{hipótesis}, + % Crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + Crefname={Hipótesis}{Hipótesis} + ]% init options {hipotesis}% name {Hipótesis}% title {% @@ -435,7 +473,12 @@ % Tesis \newtcbtheorem% - []% init options + [% + % crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + crefname={tesis}{tesis}, + % Crefname={⟨singular⟩}{⟨plural⟩} + Crefname={Tesis}{Tesis} + ]% init options {tesis}% name {Tesis}% title {% @@ -468,6 +511,13 @@ % Comandos propios +% \fullref +\newcommand{\fullref}[1]{\hyperref[{#1}]{\Cref*{#1}}} +% \fullrefgeneric +\newcommand{\fullrefgeneric}[2]{\hyperref[#1]{#2}} +% \fullrefpage +\newcommand{\fullrefpage}[2]{\hyperref[{#1}]{#2 \pageref*{#1}}} + % \includePDFAnexo \newcommand{\includePDFAnexo}[2]{% \includepdf[% diff --git a/teoria/cardinalidad.tex b/teoria/cardinalidad.tex index 496117d..ebabcb2 100644 --- a/teoria/cardinalidad.tex +++ b/teoria/cardinalidad.tex @@ -155,7 +155,7 @@ \section{Cardinal} \medskip \begin{definicion}{Comparación de cardinales}{} - Sean $A$ y $B$ conjuntos. $\#A=n$, $\#B=k$ + Sean $A$ y $B$ conjuntos tales que $\#A=n$ y $\#B=k$ \begin{enumerate} \item Decimos que $n \leq k$ $\iff$ existe $f: A \to B$ inyectiva. @@ -165,20 +165,18 @@ \section{Cardinal} $A$ en $B$.}% \item Decimos que $n \geq k$ $\iff$ existe $f: A \to B$ sobreyectiva. \item Decimos que $n>k$ $\iff$ $n \geq k$ y $n \neq k$ - \item Decimos que $n = k$ $\iff$ existe $f: A \to B$ biyectiva, es - decir, si $A \sim B$. + \item Decimos que $n = k$ $\iff$ existe $f: A \to B$ biyectiva,\\ + \phantom{Decimos que $n = k$ $\iff$} % Hack for alingment (: + es decir, si $A \sim B$. \end{enumerate} \end{definicion} -Veamos que no depende del representante elegido. -\nota{\textit{Noni:} ``Buena definición.''}% \begin{enumerate} - \item Veamos que está bien definido. Es decir, que no depende del - representante elegido. + \item Veamos que está bien definido. + \nota{\textit{Noni:} ``Buena definición.''}% + Es decir, que no depende del representante elegido. - - Si tomo $\widetilde{A}$ y $\widetilde{B}$ conjuntos tales que $\#\widetilde{A} = n$ y $\#\widetilde{B} = k$ $\implies \exists \; g: \widetilde{A}\to A$ biyectiva y @@ -434,7 +432,8 @@ \subsubsection{Ejemplos} \end{align*} \item Sobrey.) Sea $(z_1, z_2) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N}$. - Como $f$ es sobreyectiva, $\implies \exists \; a \in A/ f(a) = z_1$, + + Como $f$ es sobreyectiva $\implies \exists \; a \in A/ f(a) = z_1$, y como $g$ es sobreyectiva $\exists \; b \in B/g(b)=z_2$ \begin{gather*} \therefore ~ H(a,b) = \left(f(a),g(b)\right)=(z_1,z_2) @@ -483,7 +482,8 @@ \subsubsection{Ejemplos} \end{enumerate} -\nota{Reescrito con la Propiedad \ref{subsec:prop-card-lqeq}}% +\nota{Reescrito con la \fullrefgeneric{subsec:prop-card-lqeq}{% +Propiedad \ref*{subsec:prop-card-lqeq}}}% \begin{teorema}{Teorema de Bernstein}{bernstein-v2} Sea $\#A = m$, $\#B = k$. @@ -502,7 +502,8 @@ \subsubsection{Ejemplos} \begin{proof} - Usando la Propiedad \ref{subsec:prop-card-lqeq}. + Usando la \fullrefgeneric{subsec:prop-card-lqeq}{% + Propiedad \ref*{subsec:prop-card-lqeq}}. \end{proof} @@ -527,7 +528,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} \notamath{Por Teorema Fundamental de la Aritmética (TFA)} \end{align*} - Entonces, $g$ inyectiva + Entonces, $g$ es inyectiva y $\# (\mathbb{N} \times \mathbb{N}) \leq \mathbb{N}$. Por el \nameref{teo:bernstein}, @@ -568,7 +569,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} \nota{La función inclusión es inyectiva (tarea)}% Por un lado, tenemos la función inclusión: - $A \to B/ inc(a) = a$ + $inc: A \to B/ inc(a) = a$ Por otro lado, como $B \sim I_k \implies \exists g: B \to I_k$ biyectiva. @@ -589,8 +590,10 @@ \subsubsection{Ejemplo} Pero $\tilde{h}$ es biyectiva por ser inyectiva: - \[ \tilde{h}(a) = \tilde{h}(b) - \implies h(a) = h(b) \implies a = b \] + \begin{gather*} + \tilde{h}(a) = \tilde{h}(b) + \implies h(a) = h(b) \implies a = b + \end{gather*} Y sobreyectiva: @@ -602,11 +605,16 @@ \subsubsection{Ejemplo} \medskip - Por lo tanto, por ser $\tilde{h}$ biyectiva $\implies \#A = \#Im(h)$ - y $Im(h) \subseteq I_k$ + Por lo tanto, por ser $\tilde{h}$ biyectiva, + $\#A = \#Im(h)$ + y + $Im(h) \subseteq I_k$ - $\underbrace{\implies}_{\text{Por el item 1}} Im(h)$ es finita - $\implies$ $A$ es finito. ¡Absurdo! + $\underbrace{\implies}_{\substack{\text{Por el item 1}\\% + \text{ de la observación}}} % + Im(h)$ es finita + $\implies$ + $A$ es finito. ¡Absurdo! \end{enumerate} Como el absurdo vino de suponer $B$ finito, entonces $B$ es @@ -626,25 +634,30 @@ \subsubsection{Ejemplo} \begin{proof}\phantom{.} - Como $X$ es infinito $\implies x \neq \varnothing \implies \exists \; + Como $X$ es infinito $\implies X \neq \varnothing \implies \exists \; x_0 \in X$. + Defino $f(0) = x_0$ \medskip Como $X \neq \{x_0\} \sim I_1$ y $X$ es infinito $\implies$ - $\exists \; x_1 \in X - \{ x_0 \}$. Defino $f(1) = x_1 \neq x_0$ + $\exists \; x_1 \in X - \{ x_0 \}$. + + Defino $f(1) = x_1 \neq x_0$ Notemos que si $X \neq \{ x_0 \}$ fuera finito - $\implies \underbrace{(X-\{x_0\})}_{\text{finito}} - \cup \underbrace{\{ x_0 \}}_{\text{finito}} = X $ sería finito, lo cual + $\implies \overbrace{(X-\{x_0\})}^{\text{finito}} + \cup \overbrace{\{ x_0 \}}^{\text{finito}} = X $ sería finito, lo cual es absurdo. \nota{Por el ejercicio 3 de la práctica.}% \medskip Luego $X \neq \{x_0, x_1\} \sim I_2$ y $X$ es infinito $\implies$ - $\exists \; x_2 \in X - \{x_0, x_1\}$. Defino $f(2) = x_2$ + $\exists \; x_2 \in X - \{x_0, x_1\}$. + + Defino $f(2) = x_2$ Inductivamente, $X \neq \{\overbrace{x_0}^{f(0)}, \overbrace{x_1}^{f(1)}, \dotsc, @@ -904,7 +917,7 @@ \subsection{Teorema} \end{align*} \nota{Por el ejercicio 3 de la guía.}% - $A$ y $B$ numerables $\implies A \cup B$ numerables. + $A$ y $B$ numerables $\implies A \cup B$ es numerable. Como $B$ es infinito y $B \subset A \cup B \implies A \cup B$ infinito. @@ -1013,7 +1026,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \[ \underbrace{[0,1]}_{\text{Inf. no num.}} - \underbrace{\{0,1\}}_{\text{Finito num.}} \sim [0,1] \implies (0,1) - \underbrace{\sim}_{\text{Teorema } \ref{teo:inf-nonum-cjto-num}} + \underbrace{\sim}_{\fullref{teo:inf-nonum-cjto-num}} [0,1]\] \end{proof} @@ -1080,7 +1093,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \section{Teorema de Cantor} \begin{teorema}{Teorema de Cantor}{cantor} - Dado $X$ un conjunto, $\# X < \# \mathcal{P} (x)$ + Dado $X$ un conjunto, $\# X < \# \mathcal{P}(X)$ \end{teorema} @@ -1096,16 +1109,20 @@ \section{Teorema de Cantor} \begin{proof} \phantom{.} - Sea $F: X \to \mathcal{P}(x) / F(a) = \{a\} \subseteq X$ + Sea $F: X \to \mathcal{P}(X) / F(a) = \{a\} \subseteq X$ \begin{gather*} F(a) = F(b) \implies \{a\} = \{b\} \implies a = b \\ \therefore ~ F\text{ es inyectiva.} \end{gather*} - Por esto, $\# X \leq \# \mathcal{P}(x)$ + Por esto, $\# X \leq \# \mathcal{P}(X)$ + \nota{Recordar: + $\#A \geq \#B$ + $\iff$ + $\exists \; f: A \to B$ sobreyectiva}% Para ver que es menor estricto, tenemos que ver que no existe ninguna - función sobreyectiva de $X$ en $\mathcal{P}(x)$, ya que esto implica + función sobreyectiva de $X$ en $\mathcal{P}(X)$, ya que esto implica que no puede ser mayor o igual. Supongo que existe $g: X \to \mathcal{P}(X)$ sobreyectiva. @@ -1135,9 +1152,9 @@ \section{Teorema de Cantor} ¡Absurdo! Vino de suponer que existe una $g$ sobreyectiva. \begin{align*} - \therefore ~ &\nexists \; g:X \to\mathcal{P}(x) \text{ sobreyectiva}\\ - &\implies \# X \not\geq \# \mathcal{P}(x) \\ - &\implies \# X < \# \mathcal{P}(x) + \therefore ~ &\nexists \; g:X \to\mathcal{P}(X) \text{ sobreyectiva}\\ + &\implies \# X \not\geq \# \mathcal{P}(X) \\ + &\implies \# X < \# \mathcal{P}(X) \end{align*} \end{proof} @@ -1150,8 +1167,8 @@ \section{Álgebra de cardinales} \begin{enumerate} \item $a + b = \# (X \cup Y)$, con $X \cap Y = \varnothing$ \item $a \cdot b = \# (X \times Y)$ - \item $b^a = \# \{ f: X \to Y / f $ es función - $\} = \# \left({Y}^{X}\right)$ + \item $a^b = \# \{ f: Y \to X / f $ es función + $\} = \# \left({X}^{Y}\right)$ \nota{$X \neq \varnothing$, $Y \neq \varnothing$}% \end{enumerate} @@ -1162,15 +1179,19 @@ \section{Álgebra de cardinales} \begin{enumerate} \item Sea $\underbrace{\widetilde{X} \sim X}_{\# \widetilde{X} = a}$. - Sea $\underbrace{\widetilde{Y} \sim Y}_{\# \widetilde{Y} = b}$ tal que + Sea $\underbrace{\widetilde{Y} \sim Y}_{\# \widetilde{Y} = b}$ + tal que $\widetilde{X} \cap \widetilde{Y} = \varnothing$ - Quiero ver que $\# (\widetilde{X} \cup \widetilde{Y}) = \# (X \cup Y)$ + Quiero ver que + $\# (\widetilde{X} \cup \widetilde{Y}) = \# (X \cup Y)$ \begin{align*} - \widetilde{X} \sim X & \implies \exists \; f: \widetilde{X} \to X + \widetilde{X} \sim X & \implies \exists \; + f: \widetilde{X} \to X \text{ biyectiva}\\ - \widetilde{Y} \sim Y & \implies \exists \; g: \widetilde{Y} \to Y + \widetilde{Y} \sim Y & \implies \exists \; + g: \widetilde{Y} \to Y \text{ biyectiva}\\ \end{align*} @@ -1191,7 +1212,7 @@ \section{Álgebra de cardinales} \item Defino $X \neq \varnothing$, $Y \neq \varnothing$. \begin{gather*} - m^{n} = \# \{ f: Y \to X / f \text{ es función} \} = \# X^{y} + m^{n} = \# \{ f: Y \to X / f \text{ es función} \} = \# X^{Y} \end{gather*} Veamos que está bien definida. @@ -1310,19 +1331,18 @@ \subsection{Propiedad} Definamos $F(A) = \Chi_A$ \begin{itemize} - \item Iny.) $F(A) = F(B) \implies \Chi_A = \Chi_B - \implies \Chi_A (t) \underbrace{=}_{*} - \Chi_B (t) $, $\forall t \in X$ - + \item Iny.) % Puesta acá para correcta alineación con la página \nota{$\Chi_A$ es la función característica de A.\\ Recordemos que se define como: \\ $\Chi_A: X \to \{0,1\}/$ $\Chi_A (t) = \begin{cases} 1 & t \in A \\ 0 & t \notin A \end{cases}$}% - + $F(A) = F(B) \implies \Chi_A = \Chi_B + \implies \Chi_A (t) \underbrace{=}_{*} + \Chi_B (t) $, $\forall t \in X$ \begin{align*} - \text{Sea } t \in A & \\ + \text{Sea } t \in A \phantom{\iff} & \\ \iff &\Chi_A (t) = 1 \\ \underbrace{\iff}_{*} &\Chi_B (t) = 1 \\ \iff & t \in B @@ -1373,9 +1393,13 @@ \subsection{Teorema} \begin{proof}\phantom{.} - Sean $U = [0,1]$, $\# U = \mathfrak{C}$, - $T = {\{0,1\}}^{\mathbb{N}} - = \{f:\mathbb{N} \to \{0,1\}/f \text{ es función}\}$, $\# T=2^{\aleph_0}$ + Sea + $U = [0,1] \implies \# U = \mathfrak{C}$ + + Sea + $T = {\{0,1\}}^{\mathbb{N}} + = \{f:\mathbb{N} \to \{0,1\}/f \text{ es función}\} + \implies \# T=2^{\aleph_0}$ \nota{Interpreto el número en base 2.}% @@ -1421,8 +1445,8 @@ \subsection{Teorema} &\implies \# T_0 < \# \mathbb{N} = \aleph_0 \\ &\implies T_0 \text{ es numerable} \\ \\ - & \therefore ~ \# (T-T_0) = \# T = \mathfrak{C} - \notamath{ $T-T_0\sim T$\\ Con $T$ + & \therefore ~ \# (T-T_0) = \# T = 2^{\aleph_0} + \notamath{ $T-T_0\sim T$\\ Con $T$ infinito no numerable, pues $2^{\aleph_0} > \aleph_0$ (por el \nameref{teo:cantor}), $T_0$ numerable y, en consecuencia, $\# T = 2^{\aleph_0}$. } @@ -1477,7 +1501,9 @@ \subsection{Teorema} \therefore ~ F(u_0 u_1 u_2 \dots) = x \end{gather*} - Conclusión, $F$ es biyectiva y, entonces, $\# (T-T_0) = \# \widetilde{U}$. + Conclusión, $F$ es biyectiva y, en consecuencia, + $\# (T-T_0) = \# \widetilde{U}$. + Como $\#(T-T_0) = 2^{\aleph_0}$ y $\# \widetilde{U} = \mathfrak{C}$, queda probado que diff --git a/teoria/funciones-computables.tex b/teoria/funciones-computables.tex index b5cbacb..779d5f3 100644 --- a/teoria/funciones-computables.tex +++ b/teoria/funciones-computables.tex @@ -46,7 +46,8 @@ \section{Función par} \iff& 2^x(2y+1) = z+1 \\ \end{align*} \nota{La función $V_p$ está definida en la - página \pageref{def:funcion-vp} del Anexo}% + \fullrefpage{def:funcion-vp}{página} + del Anexo}% \begin{gather*} x = \max_{t} {~\divides{2^t}{(z+1)}} = V_2(z+1) \; \in \mathbb{N} @@ -233,8 +234,9 @@ \subsection{Indicadores de números de Gödel} \begin{definicion}{Indicadores de números de Gödel}{indicadores-num-godel} \begin{enumerate} - \item \nota{La función $V_p$ está definida en la página - \pageref{def:funcion-vp} del Anexo}% + \item \nota{La función $V_p$ está definida en la + \fullrefpage{def:funcion-vp}{página} + del Anexo}% $\cdot \, [ \, \cdot \, ]: \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N} / x[i] = V_{p_i}(x)$ \item $|\, \cdot \,|: \mathbb{N} \to \mathbb{N} / diff --git a/teoria/funciones-rp.tex b/teoria/funciones-rp.tex index f962348..3d334af 100644 --- a/teoria/funciones-rp.tex +++ b/teoria/funciones-rp.tex @@ -77,7 +77,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} \smallskip $g$ es computable por ser composición de funciones computables -\nota{Ver los ejemplos en la página~\pageref{ej:funcion-suma}}% +\nota{Ver los ejemplos en la \fullrefpage{ej:funcion-suma}{página}}% (ya vimos que $\mathrm{PROD}$, $\mathrm{SUC}$ y $\Pi_j$ es computable). \begin{center} @@ -169,7 +169,7 @@ \section{Funciones iniciales} \label{sec:funciones-iniciales} \begin{proof} \nota{En los ejemplos de programas en la sección del lenguaje S. - Página~\pageref{ej:funcion-suma}}% + \fullrefpage{ej:funcion-suma}{Página}}% Ya la hicimos. \end{proof} @@ -649,7 +649,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} Luego $P = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 / x \leq y \}$, ya vimos que es RP. - $\implies$ Por el Teorema \ref{teo:rp-computable-funcionpartida} $F$ es RP. + $\implies$ Por el \fullref{teo:rp-computable-funcionpartida} $F$ es RP. \end{proof} \subsection{Teorema} @@ -1113,7 +1113,7 @@ \subsection{Cuantificador acotado con menor estricto} \medskip - \nota{En el Teorema \ref{teo:cuantificador-acotado-menor}, + \nota{En el \fullref{teo:cuantificador-acotado-menor}, $\mathrm{EAE}_P$ y $\mathrm{UAE}_P$ también se pueden definir de una variable.}% diff --git a/teoria/logica-primer-orden.tex b/teoria/logica-primer-orden.tex index 761ed36..8b05ef1 100644 --- a/teoria/logica-primer-orden.tex +++ b/teoria/logica-primer-orden.tex @@ -1941,7 +1941,7 @@ \subsection{Aplicaciones del isomorfismo} corolario-aplicacion-iso-vuelta} \caption{Construcción de $w$.} \end{figure} - En ambos casos estamos usando el Teorema \ref{teo:equiv-isomorfs}: + En ambos casos estamos usando el \fullref{teo:equiv-isomorfs}: \begin{gather*} \mathcal{I}_1 \vDash \alpha[v] \iff \mathcal{I}_2 \vDash \alpha [h \circ v] @@ -1984,7 +1984,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} \end{gather*} \begin{gather*} - \therefore ~ \notamath{Por Corolario \ref{corol:no-equiv-isomorf} } + \therefore ~ \notamath{Por \fullref{corol:no-equiv-isomorf} } \mathcal{I}_1 \not\approx \mathcal{I}_2 \end{gather*} @@ -2016,7 +2016,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} $\overbrace{V_{\mathcal{I},v_{x=b}} (\alpha)= 0}^{\circled{2}}$ si $b \neq a$. - Aplicando el Teorema \ref{teo:equiv-isomorfs}: + Aplicando el \fullref{teo:equiv-isomorfs}: \begin{gather*} \mathcal{I} \vDash \alpha [F \circ v_{x=a}] \iff \notamath{$v$ ``manda'' $x$ a $a$, y @@ -2181,7 +2181,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} \begin{proof} \phantom{.} Sabemos que: - \nota{Por el Teorema \ref{teo:equiv-isomorfs}}% + \nota{Por el \fullref{teo:equiv-isomorfs}}% $\mathcal{I}_1 \vDash \alpha[v] \overbrace{\iff}^{\star} \mathcal{I}_2 \vDash \alpha[h \circ v]$. diff --git a/teoria/logica-proposicional.tex b/teoria/logica-proposicional.tex index a67ff95..294d563 100644 --- a/teoria/logica-proposicional.tex +++ b/teoria/logica-proposicional.tex @@ -304,7 +304,7 @@ \subsection{Concatenación} Si $long(E) = long(G) \implies long(E) \geq long(G)$. - Por lo tanto, por el Teorema \ref{teo:efgh-longe-geq-longg}, + Por lo tanto, por el \fullref{teo:efgh-longe-geq-longg}, $\exists \; H' \in A^{*}/E=GH'$ Luego @@ -403,9 +403,10 @@ \subsection{Eslabones y cadenas de formación} leftmargin=2\parindent, label=Caso \arabic*)] \item $X_i \in \mathrm{VAR}$ \nota{$1 \leq i \leq n$}% - \item $\exists \; j < i / X_i = \neg X_j$ \nota{$1 \leq i, j \leq n$}% + \item $\exists \; j < i / X_i = \neg X_j$ + \nota{$1 \leq j < i \leq n$}% \item $\exists \; s,t0$ -\begin{proof}[Demostración del Teorema \ref{teo:peso-formula}:] \phantom{.} +\begin{proof}[Demostración del \fullref{teo:peso-formula}:] \phantom{.} Lo vamos a demostrar por inducción en $c(\alpha)$. @@ -1159,7 +1160,8 @@ \subsubsection{Ejemplo} \begin{enumerate} \item Supongamos que $long(\beta_1) = long(\gamma_1)$. - Entonces, por el Corolario \ref{corol:alfabeto-igual-long}, + Entonces, por el + \fullref{corol:alfabeto-igual-long}, \begin{gather*} \beta_1 = \gamma_1 ~ \text{ y } ~ @@ -1173,7 +1175,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} \item Supongamos $long(\beta_1) > long(\gamma_1)$. Entonces - \nota{Por el Teorema \ref{teo:efgh-longe-geq-longg}}% + \nota{Por el \fullref{teo:efgh-longe-geq-longg}}% $\exists \; H'\in A^{*} / \beta_1 = \gamma_1 H'$ . @@ -1184,7 +1186,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} Como $\beta_1 \in F$, la expresión a la izquierda de $\circ$ en $\beta_1$ tiene peso positivo. \begin{gather*} - p(\gamma_1) > 0 + \implies p(\gamma_1) > 0 \end{gather*} ¡Absurdo! @@ -1347,12 +1349,13 @@ \subsubsection{Ejemplos} Entonces $\alpha = X_n = (\beta_1 * \beta_2)$. Como es cadena, entonces el único caso posible - es $X_n = (X_i \cdot X_j)$ \nota{$i, j < n$}% + es $X_n = (X_i \bullet X_j)$ \nota{$i, j < n$}% Luego, por unicidad de escritura, $X_i = \beta_1$, - $X_j = \beta_2$ y $\cdot = *$. + $X_j = \beta_2$ y $\bullet = *$. Entonces $X_1, \dotsc, X_i = \beta_1$ es cadena - $\implies$ $\beta = X_l$ \nota{$1 \leq l \leq i$}% + \nota{$1 \leq l \leq i$}% + $\implies$ $\beta = X_l$ $\implies$ $\beta$ aparece en la cadena de $\alpha$. \end{itemize} @@ -1389,12 +1392,10 @@ \subsection{Valuaciones} \end{definicion} \subsubsection{Ejemplo} -$v: \mathrm{FORM} \to \{ 0,1 \} / v(\alpha) = 1$ +Sea $v: \mathrm{FORM} \to \{ 0,1 \} / v(\alpha) = 1$ -No es una valuación, pues $v(p_1)=1$ y $v(\neg p_1) = 1$ -\begin{gather*} - \implies \text{ no verifica } v(\neg \alpha)=1-v(\alpha) -\end{gather*} +$v$ no es una valuación pues $v(p_1)=1$ y $v(\neg p_1) = 1$ +$\implies$ no verifica $v(\neg \alpha) = 1 - v(\alpha)$ \subsection{Teorema} @@ -1591,7 +1592,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} Como en este caso tenemos que probar que existen dos valuaciones, una tal que $v(\alpha)=1$ y otra $w(\alpha)=0$, tenemos que - definirlas. Para ello nos ayuda el Teorema \ref{teo:valuacion-unica} + definirlas. Para ello nos ayuda el \fullref{teo:valuacion-unica} \begin{proof} \phantom{.} @@ -1696,8 +1697,8 @@ \subsubsection{Ejemplos} \subsection{Teorema} - -\begin{teorema}{Otra forma del Teorema \ref{teo:valuacion-unica}}{igualdad-valuaciones-frest} +Otra forma del \fullref{teo:valuacion-unica}. +\begin{teorema}{}{igualdad-valuaciones-frest} \nota{$var(\alpha)$ es el conjunto de variables de $\alpha$}% Sea $\alpha \in F$. @@ -1850,7 +1851,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} 0 & i \text{ es impar} \end{cases}$ - Y sean $v_f$ y $v_g$ son las valuaciones que extienden a $f$ + Y sean $v_f$ y $v_g$ las valuaciones que extienden a $f$ y $g$ respectivamente. Sea $\alpha = (p_0 \to (\neg p_2 \wedge p_4))$, @@ -1865,11 +1866,11 @@ \subsubsection{Ejemplos} Defino $f: \mathrm{VAR} \to \{ 0, 1 \}$ tal que $f(p_i) = \begin{cases} - 0 & i = 1, 2 \\ + 0 & i \in \{ 1, 2 \} \\ 1 & \text{en otro caso} \end{cases}$ - Entonces existe una única $v_f \in \mathrm{VAL}$ tal que $v_f$ + Entonces existe una única valuación $v_f$ tal que $v_f$ extiende a $f$. @@ -1956,8 +1957,8 @@ \subsection{Proposición sobre las tautologías} Sin embargo, la fórmula recuadrada es una contingencia: $(p_1 \to \boxed{p_1})$ -Con esto vemos que si el dato de la Proposición -\ref{propo:p-no-varsalpha-alpha-tautologia}, $p_1 \notin var(\alpha)$, no +Con esto vemos que si el dato de la +\fullref{propo:p-no-varsalpha-alpha-tautologia}, $p_1 \notin var(\alpha)$, no se cumple entonces no es necesariamente verdad que $\alpha$ es tautología. En conclusión, si no lo escribimos en nuestra demostración, esta es una pista @@ -2019,7 +2020,7 @@ \subsection{Proposición sobre las tautologías} \frest{v}{var(\alpha)} = \frest{v_f}{var(\alpha)} \end{gather*} - Entonces, por el Teorema \ref{teo:igualdad-valuaciones-frest}: + Entonces, por el \fullref{teo:igualdad-valuaciones-frest}: \nota{\textit{Noni:} ``Si entienden realmente esta demostración, están comenzando a entender el tema.''}% @@ -2172,7 +2173,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} Defino $f: {\{ 0,1 \}}^3 \to \{ 0,1 \}$ tal que: \begin{gather*} f(x,y,z) = \begin{cases} - 0 & x = 1, \; y=0, \; z=1 \\ + 0 & x = 1, \; y=0, \; z=0 \\ 1 & \text{ otro caso} \end{cases} \end{gather*} @@ -2375,9 +2376,9 @@ \subsection{Propiedad} \end{align*} Sea - $\alpha = \vee_{a \in T} \beta_a + $\alpha = \bigvee_{a \in T} \beta_a = - \beta_{0, 0, \dotsc, 1, 0)} \vee \beta_{0, 0, \dotsc, 1, 1)} \vee \dots$ + \beta_{(0, 0, \dotsc, 1, 0)} \vee \beta_{(0, 0, \dotsc, 1, 1)} \vee \dots$ Sea $v \in \mathrm{Val}$ tal que $v(\alpha) = 1$. \begin{align*} @@ -2438,6 +2439,7 @@ \subsection{Propiedad} \nota{Por propiedad}% $\implies$ $\alpha \equiv \gamma$ + \end{proof} \subsection{Conectivos adecuados} @@ -2608,7 +2610,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} Supongamos que sí existe $\gamma \equiv \alpha$. Si $c(\gamma) = 0 \implies \gamma = p_k$. - Sea $f: \mathrm{VAR} \to \{ 0, 1 \} / f(p_k) = 0 ~ \forall \; k$ y + Sea $f: \mathrm{VAR} \to \{ 0, 1 \} / f(p_k) = 0 ~ \forall k$ y sea $v_f$ la valuación que la extiende. Tomando $v_f (\alpha) = 1$ y $v_f (\gamma) = f(p_k) = 0$, notamos que @@ -2634,7 +2636,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \end{gather*} Sea - $g: \mathrm{VAR} \to \{ 0, 1 \} / g(p_k) = 1 ~ \forall \; k$, + $g: \mathrm{VAR} \to \{ 0, 1 \} / g(p_k) = 1 ~ \forall k$, y sea $v_g$ la valuación que extiende a $g$. \begin{gather*} @@ -2806,7 +2808,7 @@ \subsection{Consecuencia} \begin{definicion}{Consecuencias}{} \nota{\textit{Noni}: ``\textbf{LA} definición.''}% - Sean $\Gamma \subseteq \mathrm{FORM}$, $\alpha \in \mathrm{FORM}$ + Sean $\Gamma \subset \mathrm{FORM}$, $\alpha \in \mathrm{FORM}$ \medskip @@ -2928,8 +2930,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \begin{proof} \phantom{.} \begin{itemize} - \item[$\subseteq$)] $\alpha \in C(\varnothing)$. - + \item[$\subseteq$)] Sea $\alpha \in C(\varnothing)$. Quiero ver que $\alpha$ es tautología. \medskip @@ -2944,8 +2945,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} ¡Absurdo! Vino de suponer que $\alpha$ no era una tautología. - \item[$\supseteq$)] $\alpha$ tautología. - + \item[$\supseteq$)] Sea $\alpha$ tautología. Quiero ver que $\alpha \in C(\varnothing)$ \medskip @@ -3031,7 +3031,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \subsection{Teorema} -\begin{teorema}{}{} +\begin{teorema}{}{alpha-consecuencia-iff-gamma-not-alpha-insat} Sea $\Gamma \subseteq \mathrm{FORM}$, $\alpha \in \mathrm{FORM}$ \medskip @@ -3107,7 +3107,7 @@ \subsection{Teorema} \implies& \exists \; v \text{ valuación}/ v(\beta) = 0 \\ \implies& \underbrace{ v(\gamma_1 \wedge \dots \wedge\gamma_n) = 1}_{ - v(\gamma_i)=1 \implies v(\Gamma)=1 + v(\Gamma)=1 \implies v(\gamma_i)=1 \notamath{$1 \leq i \leq n$}} ~\wedge~ v(\alpha)=0 \end{align*} @@ -3224,7 +3224,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} Probar que $\beta \in C( \{ \alpha, (\alpha\to\beta) \})$ -Por el Teorema \ref{teo:deduccion-semantica}: +Por el \fullref{teo:deduccion-semantica}: \begin{gather*} \beta \in C( \{ \alpha, (\alpha\to\beta) \}) \iff @@ -3393,11 +3393,12 @@ \subsubsection{Ejemplo} Por lo tanto, $v(p_1 \wedge p_2) = \min\{\underbrace{v(p_1)}_{=1}, \underbrace{v(p_2)}_{=1}\} = 1$ - Con lo cual llegamos a probar que dada una valuación que - satisface el conjunto de fórmulas - $\{ \Gamma - \{(p_1\wedge p_2)\} \}$, entonces satisface - $(p_1\wedge p_2)$. Y eso contradice la definición de - independencia. + Con lo cual llegamos a probar que dada una valuación que + satisface el conjunto de fórmulas + $\Gamma - \{(p_1\wedge p_2)\}$, + entonces la valuación satisface + $(p_1\wedge p_2)$. + Y eso contradice la definición de independencia. \begin{gather*} \therefore ~ \Gamma \text{ es dependiente.} @@ -3623,7 +3624,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} $\Gamma \cup \{ \neg p_2 \}$ también es f.s.. -\begin{proof}[Demostración del Lema \ref{lema:gamma-pi-no-pi-esfs}] \phantom{.} +\begin{proof}[Demostración del \fullref{lema:gamma-pi-no-pi-esfs}] \phantom{.} Supongo que existe $p_i \in \mathrm{VAR} / \underbrace{\Gamma \cup \{ p_i \} \text{ no es f.s.}}_{\circled{1}} @@ -3634,8 +3635,8 @@ \subsubsection{Ejemplos} \item $\implies \exists \; X \subseteq \Gamma \cup \{ p_i \} / X$ es finito e insatisfacible. - \nota{$\Gamma$ es f.s.}% Notemos que $X \nsubseteq \Gamma$ + \nota{$\Gamma$ es f.s.}% \begin{gather*} \therefore ~ X=X' \cup \{ p_i \} \notamath{$X' \subseteq \Gamma$} @@ -3644,8 +3645,8 @@ \subsubsection{Ejemplos} \item $\implies \exists \; Y \subseteq \Gamma \cup \{ \neg p_i \} / Y$ es finito e insatisfacible. - \nota{$\Gamma$ es f.s.}% Notemos que $X \nsubseteq \Gamma$ + \nota{$\Gamma$ es f.s.}% \begin{gather*} \therefore ~ Y=Y' \cup \{ \neg p_i \} \notamath{$Y' \subseteq \Gamma$} @@ -3715,7 +3716,6 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} $v(\alpha_i) = 1$, $1 \leq i \leq n$, pues $\alpha_i \in \Gamma$ $\implies v(\Sigma)=1$ - \begin{gather*} \therefore ~ \Gamma \text{ es f.s.} \end{gather*} @@ -3724,7 +3724,6 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} satisfacible. Defino una sucesión creciente de conjuntos literales. - \begin{align*} \Delta_0 =& \varnothing \\ \Delta_{n+1} =& @@ -3750,7 +3749,6 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \begin{itemize} \item CB) $n = 0$ - \begin{gather*} \Gamma \cup \Delta_0 = \Gamma \text{ es f.s.} \notamath{Dato} @@ -3758,7 +3756,6 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \item HI) $\Gamma \cup \Delta_n$ es f.s. \item T) $\Gamma \cup \Delta_{n+1}$ es f.s. \end{itemize} - \begin{align*} \Gamma \cup \Delta_{n+1} = \begin{cases} @@ -3769,8 +3766,7 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \Gamma \cup \Delta_n \cup \{ \neg p_n \} & \text{sino} \end{cases} \\ \end{align*} - - Utilizando el Lema \ref{lema:gamma-pi-no-pi-esfs}: + Utilizando el \fullref{lema:gamma-pi-no-pi-esfs}: Si $\Gamma \cup \Delta_n \cup \{ p_j \}$ es f.s. $\implies \Gamma \cup \Delta_{n+1} @@ -3779,7 +3775,6 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} Si $\Gamma \cup \Delta_n \cup \{ \neg p_j \}$ es f.s. $\implies \Gamma \cup \Delta_{n+1} = \Gamma \cup \Delta_n \cup \{ \neg p_n \}$ es f.s. - \end{proof} \item Sea $p_j \in \mathrm{VAR} \implies p_j \in \Delta$ o @@ -3787,35 +3782,32 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \begin{proof} \phantom{.} - \begin{itemize} - \item \begin{align*} - \text{Si } \Gamma \cup \Delta_j \cup \{ p_j \} - \text{ es f.s.} \implies& \Delta_{j+1} - = \Delta_j \cup \{ p_j \} \\ - \implies& p_j \in \Delta_{j+1} \subseteq \Delta - \end{align*} - - \item \begin{align*} - \text{Si } \Gamma \cup \Delta_j \cup \{ p_j \} - \text{ no es f.s.} \implies& \Delta_{j+1} - = \Delta_j \cup \{ \neg p_j \} \\ - \implies& \neg p_j \in \Delta_{j+1} \subseteq \Delta - \end{align*} - - \end{itemize} + \begin{itemize} + \item Si $\Gamma \cup \Delta_j \cup \{ p_j \}$ es f.s. + \begin{align*} + \implies& \Delta_{j+1} + = \Delta_j \cup \{ p_j \} \\ + \implies& p_j \in \Delta_{j+1} \subseteq \Delta + \end{align*} + + \item Si $\Gamma \cup \Delta_j \cup \{ p_j \}$ no es f.s. + \begin{align*} + \implies& \Delta_{j+1} + = \Delta_j \cup \{ \neg p_j \} \\ + \implies& \neg p_j \in \Delta_{j+1} \subseteq \Delta + \end{align*} + \end{itemize} \end{proof} \item Defino $f:\mathrm{VAR} \to \{ 0,1 \} / f(p_j) = \begin{cases} 1 & \text{si } p_j \in \Delta \\ 0 & \text{sino} \end{cases}$ - \begin{gather*} v_f(\Delta)=1 \end{gather*} Porque: - \begin{itemize} \item Si $p_j \in \Delta \implies v_f(p_j) = f(p_0)=1$ @@ -3836,8 +3828,6 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} $\implies \exists \; \alpha \in \Gamma / v_f(\alpha)=0$ Llamemos $M = \max \{i / p_i \text{ aparece en } \alpha\}$ - - \begin{enumerate}[% labelindent=*, style=multiline, @@ -3846,7 +3836,6 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} leftmargin=2\parindent, label=Caso \arabic*)] \item $v_f(p_M)=1$ - \begin{gather*} v_f(p_M)=1 \underbrace{\implies}_{*} @@ -3854,7 +3843,7 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \text{ es insatisfacible} \end{gather*} - \bigskip + \smallskip \begin{proof}[Demostración de la implicación $*$.] \phantom{.} @@ -3868,13 +3857,12 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \implies p_M \in \Delta_{M+1}$ \begin{align*} \therefore ~ - \frest{w}{var(\alpha)} =& \frest{v_f}{var(\alpha)} \\ - \notamath{$w(\alpha)=1$ por la suposición.\\ - $v_f(\alpha)=0$ por el dato en este item.} - \implies \underbrace{w(\alpha)}_{=1} =& - \underbrace{v_f(\alpha)}_{=0} \\ + \frest{w}{var(\alpha)} =& \frest{v_f}{var(\alpha)} \\ + \notamath{$w(\alpha)=1$ por la suposición y + $v_f(\alpha)=0$ por el dato en este item.} + \implies \underbrace{w(\alpha)}_{=1} =& + \underbrace{v_f(\alpha)}_{=0} \\ \end{align*} - Lo cual es un absurdo que vino de suponer que existe una variable que satisface el conjunto $\{ \alpha \} \cup \Delta_M \cup \{ p_M \}$. @@ -3883,7 +3871,7 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \end{proof} - \bigskip + \smallskip Por otra parte, en este caso tenemos que \begin{gather*} @@ -3893,11 +3881,9 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \subseteq \underbrace{\Gamma \cup \Delta_{M+1}}_{\text{Es f.s.}} \end{gather*} - Lo cual es un absurdo que vino de suponer que $v_f(p_M)=1$ \item $v_f(p_M)=0$ - \begin{gather*} v_f(p_M)=0 \underbrace{\implies}_{*} @@ -3905,7 +3891,7 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \text{ es insatisfacible} \end{gather*} - \bigskip + \medskip \begin{proof}[Demostración de la implicación $*$.] \phantom{.} @@ -3920,7 +3906,7 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \begin{align*} \therefore ~ \frest{w}{var(\alpha)} =& \frest{v_f}{var(\alpha)} \\ - \notamath{$w(\alpha)=1$ por la suposición.\\ + \notamath{$w(\alpha)=1$ por la suposición y $v_f(\alpha)=0$ por el dato en este item.} \implies \underbrace{w(\alpha)}_{=1} =& \underbrace{v_f(\alpha)}_{=0} \\ @@ -3934,7 +3920,7 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \end{proof} - \bigskip + \medskip Por otra parte, en este caso tenemos que \begin{gather*} @@ -4073,16 +4059,17 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \implies& \Gamma \cup \{ \neg \alpha \} \text{ es insatisfacible.} \notamath{Propiedad} \\ - \implies& \text{ Existe } + \implies& \text{ Existe } \Gamma' \subseteq \Gamma \cup \{ \neg \alpha \} - \text{ insatisfacible} + \text{ insatisfacible} \notamath{Por \circled{2}} \end{align*} - Como $\Gamma' \cup \{ \neg \alpha \}$ es finito + Como $\Gamma' \cup \{ \neg \alpha \}$ es finito e insatisfacible - $\implies$ $\alpha \in C(\Gamma')$ - \nota{Por propiedad}% + $\implies$ $\alpha \in C(\Gamma')$ + \nota{Por + \fullref{teo:alpha-consecuencia-iff-gamma-not-alpha-insat}}% \item $\impliedby$) Tarea. \end{enumerate} @@ -4153,7 +4140,7 @@ \subsection{Teorema de Compacidad} \end{proof} \pagebreak -\section{Teoría axiomática} +\section{Teoría axiomática}\label{sec:teoria-axiomatica} \begin{definicion}{Axiomas}{axiomas} Sean $\alpha, \beta, \gamma \in F$, se definen los siguiente axiomas: @@ -4266,6 +4253,7 @@ \subsubsection{Ejemplo} \end{enumerate} Entonces, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5=\gamma \to \gamma$ +es una prueba para $(\gamma \to \gamma)$ \subsection{Teorema} @@ -4413,6 +4401,8 @@ \subsection{Prueba de una fórmula a partir de un conjunto de fórmulas} \textit{Observación:} Notemos el caso particular $\Gamma = \varnothing$. +\bigskip% force page spacing + $\Gamma = \varnothing \vdash \alpha$ es equivalente a decir que $\alpha$ es demostrable, lo cual a su vez es equivalente a decir que $\alpha$ es un teorema. @@ -4446,8 +4436,8 @@ \subsection{Teorema de la deducción} \end{teorema} \bigskip -\nota{La vamos a usar para demostrar el Teorema - \ref{teo:deduccion-axiomatica}.}% +\nota{La vamos a usar para demostrar el + \fullref{teo:deduccion-axiomatica}.}% \textit{Observación:} \begin{gather*} @@ -4456,13 +4446,15 @@ \subsection{Teorema de la deducción} \Gamma \cup \Sigma \vdash \rho \end{gather*} +\bigskip % force page spacing + Si de un conjunto de fórmulas puedo deducir una fórmula, entonces también puedo deducirla cuando agrando el conjunto de datos. Al reducirlo no puedo asegurar esto (por eso la vuelta no vale). \begin{proof} \phantom{.} - \nota{Del Teorema \ref{teo:deduccion-axiomatica}.}% + \nota{Del \fullref{teo:deduccion-axiomatica}.}% \begin{itemize} \item $\implies$) Como $\Gamma \vdash (\alpha\to\beta)$, entonces @@ -4522,8 +4514,8 @@ \subsection{Teorema de la deducción} align=left, leftmargin=2\parindent, label=Caso \arabic*)] - \item \begin{align*} - \beta=\alpha & \\ + \item $\beta=\alpha$ + \begin{align*} \implies& \text{Ya vimos que } (\alpha\to\alpha) \text{ es demostrable.} \\ \implies& \varnothing\vdash(\alpha\to\alpha)\\ @@ -4567,11 +4559,9 @@ \subsection{Teorema de la deducción} \item T) $\mathcal{P}(n+1)$ \end{itemize} - Sea $\gamma_1, \dotsc, \gamma_{n+1} = \beta$ una prueba a partir de $\Gamma \cup \{ \alpha \}$, queremos ver que $\Gamma \vdash (\alpha \to \beta)$ - \begin{enumerate}[% labelindent=*, style=multiline, @@ -4616,13 +4606,11 @@ \subsection{Teorema de la deducción} prueba a partir de $\Gamma\cup \{ \alpha \}$, $j \leq n$, entonces, por HI, $\Gamma \vdash(\alpha\to\gamma_j)$ \end{enumerate} - En resumen, ya probamos que $\Gamma \vdash (\alpha\to\gamma_j)$ y que $\Gamma\vdash(\alpha\to(\gamma_j\to\beta))$. Recordemos que queremos ver que $\Gamma\vdash(\gamma\to\beta)$. Armemos la siguiente prueba: - \begin{enumerate} \item $(\alpha\to(\alpha_j\to\beta)) \to ((\alpha\to\alpha_j) \to (\alpha\to\beta))$ @@ -4635,7 +4623,6 @@ \subsection{Teorema de la deducción} \nota{Pues $\Gamma \vdash (\alpha\to\gamma_j)$}% \item $(\alpha\to\beta)$ \nota{MP entre 3 y 4}% \end{enumerate} - \begin{gather*} \therefore ~ \Gamma \vdash (\alpha \to \beta) \end{gather*} @@ -4654,7 +4641,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \begin{align*} \varnothing \vdash (\gamma \to \gamma) &\iff \varnothing \cup \{ \gamma \} \vdash \gamma - \notamath{Teorema \ref{teo:deduccion-axiomatica}}\\ + \notamath{\fullref{teo:deduccion-axiomatica}}\\ &\iff \underbrace{\{ \gamma \} \vdash \gamma}_{\text{Verdadero}} \end{align*} @@ -4685,7 +4672,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \begin{enumerate} \item $p_3 \to (p_4 \to p_3)$ \nota{Axioma 1}% - \item $\alpha$ \nota{Hipótesis}% + \item $\alpha = p_3 \to ((p_1 \to p_6) \to p_7)$ \nota{Hipótesis}% \item $(p_1 \to p_6) \to p_7$ \nota{MP 1 y 2}% \item $p_1 \to p_6$ \nota{Hipótesis}% \item $p_7$ \nota{MP 3 y 4}% @@ -4744,7 +4731,6 @@ \subsection{Teorema de correctitud} \item $\Gamma = \varnothing$ Ya lo demostramos. - \begin{gather*} \underbrace{\varnothing \vdash \alpha}_{% \substack{\alpha \text{ es} \\ \text{demostrable}}} @@ -4788,9 +4774,9 @@ \subsection{Consistencia} \begin{proof} \phantom{.} - Supongo $\Gamma$ inconsistente. - Entonces + Supongo $\Gamma$ inconsistente. + Entonces: \begin{align*} & \exists \; \varphi \in \mathrm{FORM} / \Gamma \vdash \varphi \text{ y } \Gamma \vdash \neg \varphi \\ @@ -4803,9 +4789,8 @@ \subsection{Consistencia} \text{ y } \underbrace{v(\neg\varphi)=1}_{\text{Por }\circled{2}} \end{align*} - Lo cual es un absurdo. Y el absurdo vino de suponer que $\Gamma$ es + Lo cual es un absurdo que vino de suponer que $\Gamma$ es inconsistente. - Por lo tanto, $\Gamma$ es consistente. \end{proof} @@ -4813,7 +4798,7 @@ \subsection{Consistencia} \subsection{Maximal consistente} -\begin{definicion}{Maximal consistente}{} +\begin{definicion}{Maximal consistente}{maximal-consistente} Sea $\Gamma \subseteq \mathrm{FORM}$. \medskip @@ -4844,11 +4829,10 @@ \subsection{Maximal consistente} \textit{Observación:} El maximal \underline{no} es único. -\subsubsection{Ejemplo} - -Dado $\Gamma$ consistente (pero no maximal), y $\phi$ una fórmula tal que ambos -$\Gamma \cup \{ \phi \}$ y $\Gamma \cup \{ \neg \phi \}$ son consistentes, -entonces ambos conjuntos tendrán distintas extensiones maximales consistentes. +Notemos que, dado $\Gamma$ consistente (pero no maximal), y $\phi$ una fórmula +tal que ambos $\Gamma \cup \{ \phi \}$ y $\Gamma \cup \{ \neg \phi \}$ son +consistentes, entonces ambos conjuntos tendrán distintas extensiones maximales +consistentes. Otra manera es pensar que existen dos conjuntos maximales consistentes, $\Gamma '$ y $\Gamma ''$, tales que @@ -4866,17 +4850,17 @@ \subsection{Lema de Lindenbaum} \end{lema} -Este lema nos está diciendo que, dado cualquier cojunto, siempre existe un -maximal consistente que lo contiene. +Este lema nos está diciendo que, dado cualquier cojunto consistente, siempre +existe un maximal consistente que lo contiene. \begin{proof} \phantom{.} \begin{enumerate} \item $\# \mathrm{FORM} = \aleph_0$ \nota{Ejercicio: probarlo.}% - \begin{gather*} - \implies \exists F: \mathbb{N}\to \mathrm{FORM} / F(n) = \varphi_n + \implies \exists \; F: \mathbb{N}\to \mathrm{FORM} / + F(n) = \varphi_n \notamath{$\mathrm{FORM}=\{\varphi_n / n \in \mathbb{N}\}$ $=$ $\{ \varphi_0, \varphi_1, \dots\}$} \end{gather*} @@ -4884,7 +4868,6 @@ \subsection{Lema de Lindenbaum} \item Defino \dashbox{$ \Gamma_0 = \Gamma $} Defino - \begin{gather*} \dashbox{ $\Gamma_{n+1} = @@ -4968,7 +4951,6 @@ \subsection{Lema de Lindenbaum} \end{align*} Entonces creamos el conjunto $X$ y lo definimos - \begin{gather*} \notamath{$X \subseteq \Gamma'$} X=\{\alpha_j / @@ -4978,7 +4960,6 @@ \subsection{Lema de Lindenbaum} \end{gather*} Sea $M = \max \{ n / \varphi_n \in X \}$. - \begin{gather*} \implies X \subseteq \Gamma_{M+1} \end{gather*} @@ -5004,9 +4985,11 @@ \subsection{Lema de Lindenbaum} \item $\Gamma'$ es maximal. - Supongo que $\exists \varphi \in \mathrm{FORM} / \varphi \notin \Gamma'$. + Supongo que + $\exists \varphi \in \mathrm{FORM} / \varphi \notin \Gamma'$. - Como $\varphi \in \mathrm{FORM} \implies \exists\; N \in \mathbb{N}/ + Como + $\varphi \in \mathrm{FORM} \implies \exists\; N \in \mathbb{N}/ \varphi=\varphi_N$ Luego, @@ -5021,18 +5004,19 @@ \subsection{Lema de Lindenbaum} \end{align*} Como $\Gamma_N \subseteq \Gamma'$: + \nota{Está cumpliendo la + \fullrefgeneric{def:maximal-consistente}{% + definición de maximal consistente}.}% \begin{gather*} \Gamma' \cup \{ \varphi_N \} \vdash \psi \text{ y } \Gamma' \cup \{ \varphi_N \} \vdash \neg \psi \end{gather*} - \nota{Está cumpliendo la definición de maximal consistente.}% Por lo tanto, $\Gamma'$ es maximal. \end{enumerate} \end{proof} - -\bigskip +% \bigskip \textit{Observación:} \begin{enumerate} \item $\Gamma \cup \{ \neg \varphi \} \text{ es inconsistente} \iff @@ -5109,12 +5093,13 @@ \subsection{Lema de Lindenbaum} \subsection{Proposición} - \begin{proposicion}{}{} Sea $\Gamma'$ maximal consistente. \medskip + \nota{Notemos que el ``\Verb+o+'' de esta proposición es excluyente. + Si estuvieran las dos el conjunto no sería consistente.}% Entonces \begin{gather*} \forall \varphi \in \mathrm{FORM}: ~ @@ -5122,10 +5107,6 @@ \subsection{Proposición} \end{gather*} \end{proposicion} -\nota{Notemos que el ``\Verb+o+'' de esta proposición es excluyente. - Si estuvieran las dos el conjunto no sería consistente.} - - \begin{proof} \phantom{.} Supongo que el consecuente es falso. @@ -5141,14 +5122,14 @@ \subsection{Proposición} Como $\varphi \notin \Gamma'$ \begin{align*} - \implies& \Gamma \cup \{\varphi\} \text{ es inconsistente}\\ + \implies& \Gamma' \cup \{\varphi\} \text{ es inconsistente}\\ \implies& \Gamma' \vdash \neg\varphi \notamath{Por la observación anterior.} \\ \end{align*} Por otra parte, como $\neg\varphi \notin \Gamma'$ \begin{align*} - \implies& \Gamma \cup \{\neg\varphi\} + \implies& \Gamma' \cup \{\neg\varphi\} \text{ es inconsistente} \notamath{$\Gamma'$ m.c.} \\ \implies& \Gamma' \vdash \varphi @@ -5159,7 +5140,7 @@ \subsection{Proposición} absurdo que vino de suponer que ninguna de las dos condiciones de pertenencia se cumplían. - \item $\Gamma \in \Gamma'$ y $\neg \varphi \in \Gamma'$ + \item $\varphi \in \Gamma'$ y $\neg \varphi \in \Gamma'$ Como $\Gamma \in \Gamma'$ $\implies$ $\Gamma \vdash \varphi$ @@ -5212,7 +5193,7 @@ \subsection{Teorema} \begin{proof} \phantom{.} - Dado $\Gamma$ consistente, entonces por el \nameref{lema:lindenbaum}, + Dado $\Gamma$ consistente entonces, por el \nameref{lema:lindenbaum}, $\exists\; \Gamma'$ m.c. tal que $\Gamma \subseteq \Gamma'$ @@ -5222,7 +5203,8 @@ \subsection{Teorema} \end{cases}$ Esta función está bien definida porque $\Gamma'$ es m.c. - $\implies \alpha \in \Gamma'$ + y esto implica que + $\alpha \in \Gamma'$ $\underbrace{\text{o}}_{\text{excluyente}}$ $\neg \alpha \in \Gamma'$. En particular, $\forall \alpha$ $p_j \in \Gamma'$ @@ -5298,17 +5280,17 @@ \subsection{Teorema} \notamath{Por HI} \\ \implies& \neg\beta_1 \in \Gamma' \notamath{$\Gamma'$ m.c.} \\ - \implies& \underbrace{\Gamma' \vdash + \implies& \Gamma' \vdash \underbrace{% \neg \beta_1}_{\circled{1}} \end{align*} \smallskip Tarea: - $\underbrace{\varnothing \vdash + $\varnothing \vdash \underbrace{% (\neg\beta_1\to(\beta_1\to\beta_2))}_{\circled{2}}$ - Por \circled{1} y \circled{2} y MP: + Por MP entre \circled{1} y \circled{2}: \begin{align*} \Gamma'\vdash(\beta_1\to\beta_2) & \\ \implies&\underbrace{(\beta_1\to\beta_2)}_{\alpha} @@ -5319,7 +5301,7 @@ \subsection{Teorema} \begin{align*} \implies& \beta_2 \in \Gamma' \notamath{Por HI} \\ - \implies& \underbrace{\Gamma' \vdash \beta_2}_{% + \implies& \Gamma' \vdash \underbrace{\beta_2}_{% \circled{3}} \end{align*} @@ -5329,7 +5311,7 @@ \subsection{Teorema} \underbrace{(\beta_2\to(\beta_1\to\beta_2))}_{% \text{Axioma 1 } \circled{4}}$ - Por \circled{3} y \circled{4} y MP: + Por MP entre \circled{3} y \circled{4}: \begin{align*} \Gamma' \vdash(\beta_1 \to \beta_2) & \\ \implies&\underbrace{(\beta_1\to\beta_2)}_{\alpha} @@ -5355,25 +5337,25 @@ \subsection{Teorema} \notamath{Por HI} \\ \implies& \beta_1 \in \Gamma' \text{ y } \neg \beta_2 \in \Gamma' \\ - \implies& \underbrace{\Gamma' \vdash \beta_1}_{% + \implies& \Gamma' \vdash \underbrace{\beta_1}_{% \circled{5}} - \text{ y } \underbrace{\Gamma' \vdash \neg\beta_2}_{% + \text{ y } \Gamma' \vdash \underbrace{\neg\beta_2}_{% \circled{6}} \end{align*} - Tarea: $\underbrace{\varnothing \vdash + Tarea: $\varnothing \vdash \underbrace{% (\beta_1\to(\neg\beta_2\to(\neg(\beta_1\to\beta_2))))}_{% \circled{7}}$ - Por \circled{5} y \circled{6} y MP: + Por MP entre \circled{5} y \circled{7}: \begin{gather*} - \underbrace{\Gamma' \vdash + \Gamma' \vdash \underbrace{% (\neg\beta_2\to\neg(\beta_1\to\beta_2))}_{% \circled{8}} \end{gather*} - Por \circled{6} y \circled{8} y MP: + Por MP entre \circled{6} y \circled{8}: \begin{gather*} \Gamma' \vdash \neg(\beta_1 \to \beta_2) \end{gather*} @@ -5386,6 +5368,9 @@ \subsection{Teorema} &\implies \alpha \notin \Gamma' \end{align*} \end{itemize} + + Por lo que + $\alpha = (\beta_1 \to \beta_2) \in \Gamma' \iff v_f(\alpha) = 1$. \end{enumerate} \end{proof} @@ -5409,7 +5394,6 @@ \subsection{Teorema de completitud} \end{proof} \section{Resumen} - \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{c c c} @@ -5442,15 +5426,14 @@ \section{Consistencia de un sistema axiomático} \subsection{Teorema} \begin{teorema}{}{} - El sistema axiomático que vimos en \nameref{chap:logica-proposicional} + El sistema axiomático que vimos en + \fullrefgeneric{sec:teoria-axiomatica}{Lógica Proposicional} es consistente. \end{teorema} - \begin{proof} \phantom{.} Supongo que es inconsistente. Entonces - \begin{align*} \exists \; \varphi / \vdash \varphi \text{ y } \varphi \neg \varphi&\\ &\implies \varphi \in c(\varnothing) \text{ y } @@ -5461,14 +5444,12 @@ \subsection{Teorema} Lo cual es un absurdo que vino de suponer que el sistema axiomático es inconsistente. - - Por lo tanto el sistema axiomático presentado en - \nameref{chap:logica-proposicional} es consistente. -\end{proof} + Por lo tanto el sistema axiomático presentado en + \fullrefgeneric{sec:teoria-axiomatica}{Lógica Proposicional} + es consistente. -% \textbf{Nota to self:} en el último video teórico de Noni, en 1:30:00 -% empieza a hacer ejercicios de la \textbf{práctica}. +\end{proof} \bigskip diff --git a/teoria/repaso.tex b/teoria/repaso.tex index e327c26..bd7cb8f 100644 --- a/teoria/repaso.tex +++ b/teoria/repaso.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \chapter{Repaso de Álgebra} \graphicspath{ {./teoria/resources/repaso/} } -Una aclaración importante previo a comenzar es que en este apunte vamos a +Una aclaración muy importante es que en este apunte, y en la materia, vamos a considerar $0 \in \mathbb{N}$. \section{Producto cartesiano} @@ -102,15 +102,24 @@ \subsection{Clasificación de relaciones binarias} \subsection{Partición} -Sea $A \neq \varnothing$. Una partición de $A$ es una familia de conjuntos -$\mathcal{F} = \{ A_i \}_{i \in I}$ tal que: +\begin{definicion}{Partición}{} + Sea $A \neq \varnothing$. -\begin{enumerate} - \item $A_i \neq \varnothing$ \nota{$\forall i \in I$}% - \item $A_i \subseteq A$ \nota{$\forall i \in I$}% - \item $A_i \cap A_j = \varnothing$ \nota{$i \neq j$, $\; \forall i,j \in I$}% - \item $\bigcup_{i \in I} A_i = A$ -\end{enumerate} + \medskip + + Una partición de $A$ es una familia de conjuntos + $\mathcal{F} = \{ A_i \}_{i \in I}$ tal que: + + \begin{enumerate} + \item $A_i \neq \varnothing$ + \nota{$\forall i \in I$}% + \item $A_i \subseteq A$ + \nota{$\forall i \in I$}% + \item $A_i \cap A_j = \varnothing$ + \nota{$i \neq j$, $\; \forall i,j \in I$}% + \item $\bigcup_{i \in I} A_i = A$ + \end{enumerate} +\end{definicion} \subsubsection{Ejemplos} @@ -143,7 +152,7 @@ \section{Conjunto cociente} cociente como: \begin{gather*} - \nicefrac{A}{R} = \{ \overline{x} / x \in A \} + \nicefrac{A}{\mathcal{R}} = \{ \overline{x} / x \in A \} \notamath{$\overline{x}$ es la partición de $A$ inducida por $\mathcal{R}$} \end{gather*} \end{definicion} @@ -192,7 +201,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} + \underbrace{\overline{4}}_{\equiv \overline{-1}} = \overline{6} = \overline{1} \] - Notemos que por la congruencia, obtenemos el mismo resultado: + Notemos que, por la congruencia, obtenemos el mismo resultado: \[ \overline{7} + \overline{(-1)} = \overline{6} = \overline{1} \] \bigskip @@ -213,7 +222,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \end{figure} \item Sean $X = \{ a,b,c,d\}$ y - $\mathcal{R} = \{ (a,b), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (b,a) \}$ + $\mathcal{R} = \{ (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (b,a) \}$ \nota{Notemos que $\overline{a}$ cubre el par $(a,a)$ y $(b,b)$ pues $a$ y $b$ se relacionan: $(a,b)$ y $(b,a)$}% @@ -243,8 +252,9 @@ \section{Operaciones en anillos} Tenemos las siguientes operaciones definidas en $Z_n$: \begin{itemize} - \item $\overline{a} + \overline{b} = \overline{a+b}$ - \item $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b}$ + % \vphantom{b} está para mostrar la recta a la misma altura en 'a' y 'b' + \item $\overline{a\vphantom{b}} + \overline{b} = \overline{a+b}$ + \item $\overline{a\vphantom{b}} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b}$ \end{itemize} \section{Funciones} @@ -252,6 +262,8 @@ \section{Funciones} \begin{definicion}{Función}{} Sean $A$ y $B$ conjuntos. + \medskip + Una función de $A$ en $B$ \nota{$f: A \to B$} es una relación $\mathcal{R} \subseteq A \times B$ que verifica: @@ -268,7 +280,7 @@ \section{Funciones} \subsubsection{Ejemplos} \begin{enumerate} \item $\mathcal{R} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / y = x\}$ es una función - $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$. + $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} / f(x) = x$. \nota{Esta es la función identidad}% \item $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{Z}^2 / \divides{x}{y} \}$ no es @@ -290,7 +302,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} x^2 + y^2 + z = 0\}$ es función. \begin{gather*} - f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \; f(x,y) = -x^2 - y^2 + f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} / \; f(x,y) = -x^2 - y^2 \end{gather*} \item $\mathcal{R} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / x^2 + y^2 + z^2 = 1 \}$ @@ -309,9 +321,11 @@ \subsubsection{Ejemplos} Sean $A_1, \dotsc, A_n$ conjuntos, $\mathcal{R} \subseteq A_1 \times \dots \times A_n$ relación n-aria. -Se puede pensar a $\mathcal{R}$ como una relación binaria: -$\mathcal{R} \subseteq A \times B$ donde $A = A_1 \times \dots A_{n-1}$ y -$B = A_n$. +Se puede pensar a $\mathcal{R}$ como una relación binaria: +$\mathcal{R} \subseteq A \times B$ +donde +$A = A_1 \times \dots \times A_{n-1}$ +y $B = A_n$. Diremos que $\mathcal{R}$ es una función de $n-1$ variables si $\mathcal{R} \subseteq A \times B$, $A$ es el producto cartesiano de $n-1$ @@ -394,36 +408,41 @@ \subsubsection{Ejemplos} \subsection{Extensión y restricción de funciones} -\begin{definicion}{Extensión de una función}{} - Sea $f: A \to B$ una función. +\begin{definicion}{Restricción de una función}{} + Sea $f: C \to B$ una función. - Sea $C$ un conjunto tal que $A \subseteq C$ y $D$ un conjunto tal que - $D \subseteq B$. + Sea $A$ un subconjunto $A \subseteq C$. \medskip - - \nota{Defino la función $\tilde{f}$ en un conjunto más grande que $f$, pero - ambas coinciden sobre $A$.}% - Entonces la función $\tilde{f}: C \to D$ es una extensión de $f$ si - $\frest{\tilde{f}}{A} = f$, es decir, - $\tilde{f}(a) = f(a)$, $\forall a \in A$ + La restricción de $f$ a $A$ es la función + \begin{center} + $\frest{f}{A}: A \to B$ tal que + $\frest{f}{A} (x) = f(x)$, $\forall x \in A$ + \end{center} \end{definicion} \bigskip -La restricción de $f$ a $A$ queda entonces definida como: -\begin{definicion}{Restricción de una función}{} +\begin{definicion}{Extensión de una función}{} Sea $f: A \to B$ una función. - \medskip + Sea $C$ un conjunto tal que + $A \subseteq C$ + . - \begin{center} - $\frest{\tilde{f}}{A}: A \to B$ es una función tal que - $\frest{\tilde{f}}{A} (x) = f(x)$, $\forall x \in A$ - \end{center} + \medskip + + Entonces la función $\tilde{f}: C \to B$ es una extensión de $f$ si + $\frest{\tilde{f}}{A} = f$, es decir, + $\tilde{f}(a) = f(a)$, $\forall a \in A$ \end{definicion} +En la restricción estamos definiendo $\tilde{f}$ a partir de un subconjunto del +dominio de $f$; +y en la extensión estamos definiendo la función $\tilde{f}$ en un conjunto más +grande que $f$, pero ambas coinciden sobre $A$. + \subsubsection{Ejemplos} \begin{enumerate} @@ -452,8 +471,9 @@ \subsubsection{Ejemplos} es continua y no derivable, y $\tilde{f}_3$ no es continua. \item Hallar extensiones a $\mathbb{R}$ de $f: \mathbb{R}-\{0\} \to - \mathbb{R} / f(x) = \frac{\sin{(x)}}{x}$. ¿Existe alguna extensión - continua? + \mathbb{R} / f(x) = \frac{\sin{(x)}}{x}$ + + ¿Existe alguna extensión continua? \begin{enumerate} \item $\tilde{f}_1: \mathbb{R}\to\mathbb{R} / \tilde{f}_1 (x) = @@ -476,7 +496,9 @@ \subsubsection{Ejemplos} \end{enumerate} \item Hallar extensiones a $\mathbb{R}$ de $f: \mathbb{R}-\{0\} \to - \mathbb{R} / f(x) = \frac{1}{x}$. ¿Existe alguna extensión continua? + \mathbb{R} / f(x) = \frac{1}{x}$ + + ¿Existe alguna extensión continua? \begin{gather*} \notamath{Para algún $a\in\mathbb{R}$} @@ -506,7 +528,8 @@ \section{Números complejos} z = e^{i\beta} = \cos{(\beta)} + i \sin{(\beta)} \end{gather*} -\subsection{Conjunto Gn} +% Hack para mostrar G_n sin que hyperref se queje +\subsection{Conjunto \texorpdfstring{G\textsubscript{n}}{Gn}} \begin{definicion}{Conjunto $G_n$}{} @@ -627,7 +650,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \textit{¿Existe alguna extensión que sea T.L.?} -La respuesta es que sí, por el Teorema \ref{teo:base-tl}. +La respuesta es que sí, por el \fullref{teo:base-tl}. Como $B=\{ (1,0); (1,1) \}$ es base de $\mathbb{R}^2$ @@ -668,7 +691,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \nota{$B$ es base pues son 3 elementos LI en un espacio de dimensión 3.}% \textit{Plan:} conseguir una base $B = \{ 1+x, 1, x^2 \}$ - y después usar el Teorema \ref{teo:base-tl} para extender a todo + y después usar el \fullref{teo:base-tl} para extender a todo $\mathbb{R}_2[x]$. Propongamos @@ -681,7 +704,7 @@ \subsubsection{Ejemplos} \end{cases} \end{gather*} - Usando el Teorema \ref{teo:base-tl}: existe una única + Usando el \fullref{teo:base-tl}: existe una única $T: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^3$ y, porque extiende a \circled{$\star$} $\implies$ $T(1+x) = (2,0,0)$