diff --git a/404.html b/404.html new file mode 100644 index 0000000..58bcadf --- /dev/null +++ b/404.html @@ -0,0 +1,89 @@ + + + + + + + Page Not Found + + + +
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+kk头牛位于树上的1...k1...k号点。这是非常显然的。

+
+

我们考虑一下，假设位置(x,y)(x,y)上的牛是可以在不改动其它位置上的牛的前提下完成交换的，我们把它称作“交换关系”（注意这一名词是针对位置的，不针对位置上到底是哪头牛）。则如果位置(x,y)(x,y)与位置(y,z)(y,z)都具有“交换关系”，那么，位置(x,z)(x,z)也将具有交换关系，因为我们可以先交换位置(x,y)(x,y)，再交换(y,z)(y,z)，再交换(x,y)(x,y)达到交换。换句话说，“交换关系”这种性质，具有可传递性。

+

则我们如果把“交换关系”看作边的话，它们将会构成许多团（完全图）。设这些团的大小为sis^{i}，则有kk头牛时的答案即为

+

k!∑si\frac{k!}{∑s^{i}} +

+
+

现在我们考虑一下，什么情况下两个位置(x,y)(x,y)会具有“交换关系”。
+我们不妨想一想，假如你正常地想调换两个位置，你会怎么做？
+现在我们画出图来：
+
+假设我们要交换位置33和55的牛，应该怎么办？
+先把一头牛移到11等待，然后再移动另一头牛。
+这启发我们在移动牛时需要在分叉的路径上等待。
+也就是说，在一条直线上的牛是不可能交换的。只有有“分叉”的地方才能完成交换。

+
+

什么样的地方不存在“分叉”呢？
+对，一条路径。
+我们定义一条“链”为一条路径，使得路径两端的点的度数都不等于22，而链上其它点的度数都等于22。
+典型的例子：
+
+(3−4−5−6)(3−4−5−6)是一条链，链的两端是子树33与子树66。（实际上，如(2−11−12)(2−11−12)，(7−9)(7−9)都是链）。
+来看一下本人亲自拿ipad上的procreate画的抽象草图：
+
+（白瞎这么好的软件）

+

我们设左边子树有AA个点，右边子树有BB个点，链上有CC个点（注意链两段的点既属于链，又属于子树）。
+则如果k<(A−1)+(B−1)k<(A−1)+(B−1)的话，左右子树的点就可以任意交换。

+

我们感性理解一下：
+首先，将所有kk个点全都移到AA子树或BB子树中。则此时链上没有任何点（包括链两段），并且两颗子树中至少有一个空隙。
+则这一个空隙，就可以成为我们之前提到的“等待”处，进行交换。
+而只要能完成一次“交换”，则所有位置都可以交换。
+（感性理解一下吧……严谨的证明我自己都看不懂……）
+因为(A−1)+(B−1)=N−C(A−1)+(B−1)=N−C，因此只要k<N−Ck<N−C，两边子树就是可交换的。

+
+

我们考虑删去所有满足上述要求的链上的边。如果从大到小地枚举kk的话，则删边就会变成加边，就可以使用并查集维护联通块。

+

考虑对于一坨联通块，有多少个外部节点可以通到它。设ai,bi{a^{i},b^{i}}为一条链，使得链的一端在块内，一端在块外。再设Bi{B^{i}}为该链通到的另一端的子树大小。

+

则能通到该联通块的节点数量为

+

k−∑(k−Bi−1)k-∑(k-B^{i}-1) +

+

（感性理解：外层用kk减去的那一大坨，是通不到的点的数量；而内层用kk减去的，则是对于当前链ai,bi{a^{i},b^{i}}来说，能通到联通块内的数量。很明显这样做可能会重复计算，但估计容斥容斥就出来了？）

+
+

我们对于每个联通块，维护它内部的边数量insins与它周围被切断的边数outout。
+则按照实际意义化简，我们得到了

+

k−(n−ins−1)+(n−k−1)outk−(n−ins−1)+(n−k−1)out +

+

理解：
+(n−ins−1)(n−ins−1)是外部的点数量（注意insins是边数）。我们一开始假设这所有外部的点全部通不到）
+outout是被切断的边数，就是上述的ai,bi{a^{i},b^{i}}的数量。乘上(n−k−1)(n−k−1)是子树中原本的kk个点数量，再加上需要空出来的那个“等待区”的大小。这是(n−ins−1)(n−ins−1)中多减去的那些点。

+

再套上我们一开始得出的那个公式k!∑si\frac{k!}{∑s^{i}} ，则我们得出的那个k−(n−ins−1)+(n−k−1)outk−(n−ins−1)+(n−k−1)out的式子就是分母中的sis^{i}。通过预处理阶乘和阶乘的逆元，我们可以直接应用公式。

+
+

最后是统计答案。直接枚举每个联通块即可，不必担心复杂度，因为所有时刻的联通块数量是O(n)O(n)的（联通块数量与∑链长∑链长是同级别的）。
+复杂度分析：瓶颈在于添加上符合要求的链时，为了方便在kk递减时直接处理要排序。如果用桶排，复杂度就是O(n)O(n)的。这里为了图方便，使用的是O(nlogn)O(n log n)的常规排序。然后是并查集，复杂度是nα(n)nα(n)的。这里为了方便，没有按秩合并，因此仍然是O(nlogn)O(nlogn)的。另一个瓶颈就是维护仍然存在的联通块标号，只能采取平衡树等在O(nlogn)内通过。但是我不小心敲的是vector，理论复杂度是O(n2)O(n^{2})的，会被菊花图卡掉，但是没有被卡，大家敲的时候用普通set即可。

+
+

如下是AC代码：

+
#include<bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+const int mod=1e9+7;
+int ksm(int x,int y){
+	int z=1;
+	for(;y;x=1ll*x*x%mod,y>>=1)if(y&1)z=1ll*z*x%mod;
+	return z;
+}
+int n,fac[100100],inv[100100],res[100100];
+vector<int>g[100100],key;
+struct dsu{
+	int fa,ins,out;
+}a[100100];
+void init(){
+	for(int i=1;i<=n;i++)if(g[i].size()!=2)a[i].fa=i,a[i].out=g[i].size(),key.push_back(i);
+	fac[0]=1;
+	for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
+	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
+	for(int i=n-1;i>=0;i--)inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
+}
+int find(int x){
+	return a[x].fa==x?x:a[x].fa=find(a[x].fa);
+}
+void merge(int x,int y,int z){
+	x=find(x),y=find(y);
+	if(x==y)return;
+	key.erase(lower_bound(key.begin(),key.end(),y));
+	a[x].ins+=a[y].ins+z-1,a[x].out+=a[y].out-2,a[y].fa=x;
+}
+struct path{
+	int x,y,z;
+	path(int u,int v,int w){x=u,y=v,z=w;}
+	friend bool operator <(const path &x,const path &y){
+		return x.z<y.z;
+	}
+};
+vector<path>paths;
+void getpath(int x,int fa,int len,int from){
+	if(g[x].size()!=2){
+		if(from)paths.push_back(path(from,x,len));
+		len=1,from=x;
+	}
+	for(auto y:g[x])if(y!=fa)getpath(y,x,len+1,from);
+}
+int main(){
+	scanf("%d",&n);
+	for(int i=1,x,y;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),g[x].push_back(y),g[y].push_back(x);
+	init();
+	getpath(key.front(),0,0,0);
+	sort(paths.begin(),paths.end());
+	for(int i=n-1,j=0;i;i--){
+		while(j<paths.size()&&i<n-paths[j].z)merge(paths[j].x,paths[j].y,paths[j].z),j++;
+		res[i]=fac[i];
+		for(auto x:key)res[i]=1ll*res[i]*inv[i-(n-a[x].ins-1)+a[x].out*(n-i-1)]%mod;
+	}
+	res[n]=fac[n];
+	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",res[i]);
+	return 0;
+}
+
+]]> + + + <![CDATA[Hello Blog]]> + https://mongohsy.github.io/post/hello-blog/ + + + 2023-08-28T10:45:02.000Z + +

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欢迎来到花似雪的个人博客
+这是我的第一篇文章
+日后会添加更多文章
+感谢支持！

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考虑我们现在树上有k头牛。它们无论散布在树的什么地方，我们总可以移动某些牛，使得这
+kk头牛位于树上的1...k1...k号点。这是非常显然的。

+
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我们考虑一下，假设位置(x,y)(x,y)上的牛是可以在不改动其它位置上的牛的前提下完成交换的，我们把它称作“交换关系”（注意这一名词是针对位置的，不针对位置上到底是哪头牛）。则如果位置(x,y)(x,y)与位置(y,z)(y,z)都具有“交换关系”，那么，位置(x,z)(x,z)也将具有交换关系，因为我们可以先交换位置(x,y)(x,y)，再交换(y,z)(y,z)，再交换(x,y)(x,y)达到交换。换句话说，“交换关系”这种性质，具有可传递性。

+

则我们如果把“交换关系”看作边的话，它们将会构成许多团（完全图）。设这些团的大小为sis^{i}，则有kk头牛时的答案即为

+

k!∑si\frac{k!}{∑s^{i}} +

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现在我们考虑一下，什么情况下两个位置(x,y)(x,y)会具有“交换关系”。
+我们不妨想一想，假如你正常地想调换两个位置，你会怎么做？
+现在我们画出图来：
+
+假设我们要交换位置33和55的牛，应该怎么办？
+先把一头牛移到11等待，然后再移动另一头牛。
+这启发我们在移动牛时需要在分叉的路径上等待。
+也就是说，在一条直线上的牛是不可能交换的。只有有“分叉”的地方才能完成交换。

+
+

什么样的地方不存在“分叉”呢？
+对，一条路径。
+我们定义一条“链”为一条路径，使得路径两端的点的度数都不等于22，而链上其它点的度数都等于22。
+典型的例子：
+
+(3−4−5−6)(3−4−5−6)是一条链，链的两端是子树33与子树66。（实际上，如(2−11−12)(2−11−12)，(7−9)(7−9)都是链）。
+来看一下本人亲自拿ipad上的procreate画的抽象草图：
+
+（白瞎这么好的软件）

+

我们设左边子树有AA个点，右边子树有BB个点，链上有CC个点（注意链两段的点既属于链，又属于子树）。
+则如果k<(A−1)+(B−1)k<(A−1)+(B−1)的话，左右子树的点就可以任意交换。

+

我们感性理解一下：
+首先，将所有kk个点全都移到AA子树或BB子树中。则此时链上没有任何点（包括链两段），并且两颗子树中至少有一个空隙。
+则这一个空隙，就可以成为我们之前提到的“等待”处，进行交换。
+而只要能完成一次“交换”，则所有位置都可以交换。
+（感性理解一下吧……严谨的证明我自己都看不懂……）
+因为(A−1)+(B−1)=N−C(A−1)+(B−1)=N−C，因此只要k<N−Ck<N−C，两边子树就是可交换的。

+
+

我们考虑删去所有满足上述要求的链上的边。如果从大到小地枚举kk的话，则删边就会变成加边，就可以使用并查集维护联通块。

+

考虑对于一坨联通块，有多少个外部节点可以通到它。设ai,bi{a^{i},b^{i}}为一条链，使得链的一端在块内，一端在块外。再设Bi{B^{i}}为该链通到的另一端的子树大小。

+

则能通到该联通块的节点数量为

+

k−∑(k−Bi−1)k-∑(k-B^{i}-1) +

+

（感性理解：外层用kk减去的那一大坨，是通不到的点的数量；而内层用kk减去的，则是对于当前链ai,bi{a^{i},b^{i}}来说，能通到联通块内的数量。很明显这样做可能会重复计算，但估计容斥容斥就出来了？）

+
+

我们对于每个联通块，维护它内部的边数量insins与它周围被切断的边数outout。
+则按照实际意义化简，我们得到了

+

k−(n−ins−1)+(n−k−1)outk−(n−ins−1)+(n−k−1)out +

+

理解：
+(n−ins−1)(n−ins−1)是外部的点数量（注意insins是边数）。我们一开始假设这所有外部的点全部通不到）
+outout是被切断的边数，就是上述的ai,bi{a^{i},b^{i}}的数量。乘上(n−k−1)(n−k−1)是子树中原本的kk个点数量，再加上需要空出来的那个“等待区”的大小。这是(n−ins−1)(n−ins−1)中多减去的那些点。

+

再套上我们一开始得出的那个公式k!∑si\frac{k!}{∑s^{i}} ，则我们得出的那个k−(n−ins−1)+(n−k−1)outk−(n−ins−1)+(n−k−1)out的式子就是分母中的sis^{i}。通过预处理阶乘和阶乘的逆元，我们可以直接应用公式。

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最后是统计答案。直接枚举每个联通块即可，不必担心复杂度，因为所有时刻的联通块数量是O(n)O(n)的（联通块数量与∑链长∑链长是同级别的）。
+复杂度分析：瓶颈在于添加上符合要求的链时，为了方便在kk递减时直接处理要排序。如果用桶排，复杂度就是O(n)O(n)的。这里为了图方便，使用的是O(nlogn)O(n log n)的常规排序。然后是并查集，复杂度是nα(n)nα(n)的。这里为了方便，没有按秩合并，因此仍然是O(nlogn)O(nlogn)的。另一个瓶颈就是维护仍然存在的联通块标号，只能采取平衡树等在O(nlogn)内通过。但是我不小心敲的是vector，理论复杂度是O(n2)O(n^{2})的，会被菊花图卡掉，但是没有被卡，大家敲的时候用普通set即可。

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如下是AC代码：

+
#include<bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+const int mod=1e9+7;
+int ksm(int x,int y){
+	int z=1;
+	for(;y;x=1ll*x*x%mod,y>>=1)if(y&1)z=1ll*z*x%mod;
+	return z;
+}
+int n,fac[100100],inv[100100],res[100100];
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+	int fa,ins,out;
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+	for(int i=1;i<=n;i++)if(g[i].size()!=2)a[i].fa=i,a[i].out=g[i].size(),key.push_back(i);
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+int find(int x){
+	return a[x].fa==x?x:a[x].fa=find(a[x].fa);
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+void merge(int x,int y,int z){
+	x=find(x),y=find(y);
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+	key.erase(lower_bound(key.begin(),key.end(),y));
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+}
+struct path{
+	int x,y,z;
+	path(int u,int v,int w){x=u,y=v,z=w;}
+	friend bool operator <(const path &x,const path &y){
+		return x.z<y.z;
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+};
+vector<path>paths;
+void getpath(int x,int fa,int len,int from){
+	if(g[x].size()!=2){
+		if(from)paths.push_back(path(from,x,len));
+		len=1,from=x;
+	}
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+}
+int main(){
+	scanf("%d",&n);
+	for(int i=1,x,y;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),g[x].push_back(y),g[y].push_back(x);
+	init();
+	getpath(key.front(),0,0,0);
+	sort(paths.begin(),paths.end());
+	for(int i=n-1,j=0;i;i--){
+		while(j<paths.size()&&i<n-paths[j].z)merge(paths[j].x,paths[j].y,paths[j].z),j++;
+		res[i]=fac[i];
+		for(auto x:key)res[i]=1ll*res[i]*inv[i-(n-a[x].ins-1)+a[x].out*(n-i-1)]%mod;
+	}
+	res[n]=fac[n];
+	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",res[i]);
+	return 0;
+}
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+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/styles/main.css b/styles/main.css new file mode 100644 index 0000000..cb86470 --- /dev/null +++ b/styles/main.css @@ -0,0 +1,760 @@ +/*! modern-normalize | MIT License | https://github.com/sindresorhus/modern-normalize */ +/* Document + ========================================================================== */ +/** + * Use a better box model (opinionated). + */ +html { + box-sizing: border-box; +} +*, +*::before, +*::after { + box-sizing: inherit; + margin: 0; + padding: 0; +} +/** + * Use a more readable tab size (opinionated). + */ +:root { + -moz-tab-size: 4; + tab-size: 4; +} +/** + * 1. Correct the line height in all browsers. + * 2. Prevent adjustments of font size after orientation changes in iOS. + */ +html { + line-height: 1.15; + /* 1 */ + -webkit-text-size-adjust: 100%; + /* 2 */ +} +/* Sections + ========================================================================== */ +/** + * Remove the margin in all browsers. + */ +body { + margin: 0; + font-size: 14px; +} +/** + * Improve consistency of default fonts in all browsers. (https://github.com/sindresorhus/modern-normalize/issues/3) + */ +body { + font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe UI', Roboto, "PingFang SC", "Hiragino Sans GB", "Microsoft YaHei", Helvetica, Arial, sans-serif, 'Apple Color Emoji', 'Segoe UI Emoji', 'Segoe UI Symbol'; +} +/* Grouping content + ========================================================================== */ +/** + * Add the correct height in Firefox. + */ +hr { + height: 0; +} +/* Text-level semantics + ========================================================================== */ +/** + * Add the correct text decoration in Chrome, Edge, and Safari. + */ +abbr[title] { + text-decoration: underline dotted; +} +/** + * Add the correct font weight in Chrome, Edge, and Safari. + */ +b, +strong { + font-weight: bolder; +} +/** + * 1. Improve consistency of default fonts in all browsers. (https://github.com/sindresorhus/modern-normalize/issues/3) + * 2. Correct the odd `em` font sizing in all browsers. + */ +code, +kbd, +samp, +pre { + font-family: SFMono-Regular, Consolas, 'Liberation Mono', Menlo, Courier, monospace; + /* 1 */ + font-size: 1em; + /* 2 */ +} +/** + * Add the correct font size in all browsers. + */ +small { + font-size: 80%; +} +/** + * Prevent `sub` and `sup` elements from affecting the line height in all browsers. + */ +sub, +sup { + font-size: 75%; + line-height: 0; + position: relative; + vertical-align: baseline; +} +sub { + bottom: -0.25em; +} +sup { + top: -0.5em; +} +/* Forms + ========================================================================== */ +/** + * 1. Change the font styles in all browsers. + * 2. Remove the margin in Firefox and Safari. + */ +button, +input, +optgroup, +select, +textarea { + font-family: inherit; + /* 1 */ + font-size: 100%; + /* 1 */ + line-height: 1.15; + /* 1 */ + margin: 0; + /* 2 */ +} +/** + * Remove the inheritance of text transform in Edge and Firefox. + * 1. Remove the inheritance of text transform in Firefox. + */ +button, +select { + /* 1 */ + text-transform: none; +} +/** + * Correct the inability to style clickable types in iOS and Safari. + */ +button, +[type='button'], +[type='reset'], +[type='submit'] { + -webkit-appearance: button; +} +/** + * Remove the inner border and padding in Firefox. + */ +button::-moz-focus-inner, +[type='button']::-moz-focus-inner, +[type='reset']::-moz-focus-inner, +[type='submit']::-moz-focus-inner { + border-style: none; + padding: 0; +} +/** + * Restore the focus styles unset by the previous rule. + */ +button:-moz-focusring, +[type='button']:-moz-focusring, +[type='reset']:-moz-focusring, +[type='submit']:-moz-focusring { + outline: 1px dotted ButtonText; +} +/** + * Correct the padding in Firefox. + */ +fieldset { + padding: 0.35em 0.75em 0.625em; +} +/** + * Remove the padding so developers are not caught out when they zero out `fieldset` elements in all browsers. + */ +legend { + padding: 0; +} +/** + * Add the correct vertical alignment in Chrome and Firefox. + */ +progress { + vertical-align: baseline; +} +/** + * Correct the cursor style of increment and decrement buttons in Safari. + */ +[type='number']::-webkit-inner-spin-button, +[type='number']::-webkit-outer-spin-button { + height: auto; +} +/** + * 1. Correct the odd appearance in Chrome and Safari. + * 2. Correct the outline style in Safari. + */ +[type='search'] { + -webkit-appearance: textfield; + /* 1 */ + outline-offset: -2px; + /* 2 */ +} +/** + * Remove the inner padding in Chrome and Safari on macOS. + */ +[type='search']::-webkit-search-decoration { + -webkit-appearance: none; +} +/** + * 1. Correct the inability to style clickable types in iOS and Safari. + * 2. Change font properties to `inherit` in Safari. + */ +::-webkit-file-upload-button { + -webkit-appearance: button; + /* 1 */ + font: inherit; + /* 2 */ +} +/* Interactive + ========================================================================== */ +/* + * Add the correct display in Chrome and Safari. + */ +summary { + display: list-item; +} +/* a11y-dark theme */ +/* Based on the Tomorrow Night Eighties theme: https://github.com/isagalaev/highlight.js/blob/master/src/styles/tomorrow-night-eighties.css */ +/* @author: ericwbailey */ +/* Comment */ +.hljs-comment, +.hljs-quote { + color: #d4d0ab; +} +/* Red */ +.hljs-variable, +.hljs-template-variable, +.hljs-tag, +.hljs-name, +.hljs-selector-id, +.hljs-selector-class, +.hljs-regexp, +.hljs-deletion { + color: #ffa07a; +} +/* Orange */ +.hljs-number, +.hljs-built_in, +.hljs-builtin-name, +.hljs-literal, +.hljs-type, +.hljs-params, +.hljs-meta, +.hljs-link { + color: #f5ab35; +} +/* Yellow */ +.hljs-attribute { + color: #ffd700; +} +/* Green */ +.hljs-string, +.hljs-symbol, +.hljs-bullet, +.hljs-addition { + color: #abe338; 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