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| 1 | +#zkp #math |
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| 3 | +## Finite Domain Terminology |
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| 5 | +**群**:具有封闭==加法运算==的集合称为群 |
| 6 | +**环**:在群的基础上,添加一种==乘法运算==。但每个元素不一定有乘法逆元。 |
| 7 | +**域**:在环的基础上,要求每个元素都有乘法逆元。等于加法群和乘法群 |
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| 9 | +**常见的域**:$Q$ 有理数;$Z$ 整数;$Z^+$ 正整数;$N$ 非负整数;$N^+$ 正整数;$R$ 实数 |
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| 11 | +**群的定义**:只有一个运算的、简单的代数结构(代数结构是指具有一个以及以上运算的非空集合),由 一个集合 $\mathbb{G}$ 和一个二元操作构成,满足以下四个性质: ^1c64a8 |
| 12 | +1. **封闭性**:如果 $a, b \in \mathbb{G}$,则 $a \cdot b \in \mathbb{G}$ |
| 13 | +2. **结合律**:$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ |
| 14 | +3. **单位元 $I$**:存在一个元素使得 $a \cdot I = I \cdot a = a$ |
| 15 | +4. **逆元**:每个元素 $a$ 都有逆元 $a^{-1}$ 使得 $a \cdot a^{-1} = e$ |
| 16 | + |
| 17 | +**阿贝尔群(Abelian Group)**:又称交换群,额外满足一个性质: |
| 18 | +5. **交换律**:$a \cdot b = b \cdot a$ |
| 19 | + |
| 20 | +**循环群(Cyclic Group)**:循环群都是阿贝尔群,还额外满足一个性质: |
| 21 | +6. **生成元**:存在一个元素 $g$,能够通过 **有限次的本身运算** 表达出其它所有元素。一般用 $g^x$ 表达生成元 $g$ 经过 $x$ 次自身运算得到的结果。 |
| 22 | + |
| 23 | +群的举例: |
| 24 | +- $G = \set{0, 1}$, 除法运算 $\div$。不满足封闭性,比如 $1 \div 0 \notin G$,所以不是群。 |
| 25 | +- $G = \set{0, 1, 2, 3, 4}$,加法再模5运算 $(x + y) \mod 5$。这是一个满足条件的加法群,单位元为 0,生成元 $\set{1, 2, 3, 4}$。 |
| 26 | +- $G = \set{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$,乘法再模7运算 $(x + y) \mod 7$。这是一个满足条件的乘法群,单位元为 0,生成元 $\set{3, 5}$。 |
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| 28 | +**常见的群**:密码学中常见的群是素数群、椭圆曲线群,只是计算的速度不一样。要达到相同的安全性,所需要的私钥位宽不一样。 |
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| 30 | +**环的定义**:由一个集合和两个二元操作构成,满足以下性质: |
| 31 | +1. **加法结合律**:$(a + b) + c = a + (b + c)$ |
| 32 | +2. **加法交换律**:$a + b = b + a$ |
| 33 | +3. **加法单位元**:$a + I = I + a = a$ |
| 34 | +4. **加法逆元**:$a + (-a) = I$ |
| 35 | +5. **乘法结合律**:$(a * b) * c = a * (b * c)$ |
| 36 | +6. **分配律**:$a * (b + c) = (a * b) + (a * c)$ |
| 37 | +可以看出,**环** 在加法操作下是个 **阿贝尔群**。 |
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| 39 | +**域的定义**:域,是一个集合,满足加法和乘法的结合律、交换律、分配律、单位元和逆元共五个性质。 |
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| 41 | +**伽罗瓦域**:有限域 |
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| 43 | +### See Also |
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| 45 | +- [密码学03|群和公钥加密_哔哩哔哩_bilibili](https://www.bilibili.com/video/BV1KG4y1G7ZB/?spm_id_from=333.880.my_history.page.click&vd_source=b7d8f4fe7d99d7045075d9b1f350612b) |
| 46 | +- [密码学04|Hacker Dōjo 数字签名与KZG承诺_哔哩哔哩_bilibili](https://www.bilibili.com/video/BV17e411N7Jm/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=b7d8f4fe7d99d7045075d9b1f350612b) |
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