add 2024-08-20-finite-domain-terminology.md

Author: keroro520

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 ## Articles
 
+- [Finite Domain Terminology](/_posts/2024-08-20-finite-domain-terminology.md)
 - [Schwartz-Zippel Lemma](/_posts/2024-08-19-schwartz-zippel-lemma.md)

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+#zkp #math
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+## Finite Domain Terminology
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+**群**：具有封闭==加法运算==的集合称为群
+**环**：在群的基础上，添加一种==乘法运算==。但每个元素不一定有乘法逆元。
+**域**：在环的基础上，要求每个元素都有乘法逆元。等于加法群和乘法群
+
+**常见的域**：$Q$ 有理数；$Z$ 整数；$Z^+$ 正整数；$N$ 非负整数；$N^+$ 正整数；$R$ 实数
+
+**群的定义**：只有一个运算的、简单的代数结构（代数结构是指具有一个以及以上运算的非空集合），由 一个集合 $\mathbb{G}$ 和一个二元操作构成，满足以下四个性质： ^1c64a8
+1. **封闭性**：如果 $a, b \in \mathbb{G}$，则 $a \cdot b \in \mathbb{G}$
+2. **结合律**：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
+3. **单位元 $I$**：存在一个元素使得 $a \cdot I = I \cdot a = a$
+4. **逆元**：每个元素 $a$ 都有逆元 $a^{-1}$ 使得 $a \cdot a^{-1} = e$
+
+**阿贝尔群（Abelian Group）**：又称交换群，额外满足一个性质：
+5. **交换律**：$a \cdot b = b \cdot a$
+
+**循环群（Cyclic Group）**：循环群都是阿贝尔群，还额外满足一个性质：
+6. **生成元**：存在一个元素 $g$，能够通过 **有限次的本身运算** 表达出其它所有元素。一般用 $g^x$ 表达生成元 $g$ 经过 $x$ 次自身运算得到的结果。
+
+群的举例：
+- $G = \set{0, 1}$, 除法运算 $\div$。不满足封闭性，比如 $1 \div 0 \notin G$，所以不是群。
+- $G = \set{0, 1, 2, 3, 4}$，加法再模5运算 $(x + y) \mod 5$。这是一个满足条件的加法群，单位元为 0，生成元 $\set{1, 2, 3, 4}$。
+- $G = \set{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$，乘法再模7运算 $(x + y) \mod 7$。这是一个满足条件的乘法群，单位元为 0，生成元 $\set{3, 5}$。
+
+**常见的群**：密码学中常见的群是素数群、椭圆曲线群，只是计算的速度不一样。要达到相同的安全性，所需要的私钥位宽不一样。
+
+**环的定义**：由一个集合和两个二元操作构成，满足以下性质：
+1. **加法结合律**：$(a + b) + c = a + (b + c)$
+2. **加法交换律**：$a + b = b + a$
+3. **加法单位元**：$a + I = I + a = a$
+4. **加法逆元**：$a + (-a) = I$
+5. **乘法结合律**：$(a * b) * c = a * (b * c)$
+6. **分配律**：$a * (b + c) = (a * b) + (a * c)$
+可以看出，**环** 在加法操作下是个 **阿贝尔群**。
+
+**域的定义**：域，是一个集合，满足加法和乘法的结合律、交换律、分配律、单位元和逆元共五个性质。
+
+**伽罗瓦域**：有限域
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+### See Also
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+- [密码学03｜群和公钥加密_哔哩哔哩_bilibili](https://www.bilibili.com/video/BV1KG4y1G7ZB/?spm_id_from=333.880.my_history.page.click&vd_source=b7d8f4fe7d99d7045075d9b1f350612b)
+- [密码学04｜Hacker Dōjo 数字签名与KZG承诺_哔哩哔哩_bilibili](https://www.bilibili.com/video/BV17e411N7Jm/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=b7d8f4fe7d99d7045075d9b1f350612b)