-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathWK.tex
235 lines (209 loc) · 12.2 KB
/
WK.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{gensymb}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{polski}
\begin{document}
\textbf{Zginanie czyste}\\\\
Wymiary stanowiska pomiarowego\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$l[mm]$ & $a[mm]$ & $E[MPa]$ & $b[mm]$ & $h[mm]$ & $A[mm^2]$ & $I_y[mm^4]$ & $W_Y[mm^3]$\\ \hline
1000 & $296$ & $2.1*10^5$ & $30$ & $20$ & $600$ & $2*10^4$ & $2*10^3$\\ \hline
\end{tabular}
\\\\\\
Wyniki pomiarów\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$lp.$ & $P[N]$ & $c_i[mm]$ & $f_c = c_i - c_0[mm]$ & $\epsilon_i[tens 8]$ & $\epsilon_i[tens 9]$ & $\epsilon_i[tens9] - \epsilon_0[tens9]$\\ \hline
0 & 0 & 7.5 & 0 & 0 & - 0.156 & 0\\ \hline
1 & 49.05 & 7.93 & 0.43 & 0.036 & -0.123 & 0.033\\ \hline
2 & 98.1 & 8.35 & 0.85 & 0.073 & -0.088 & 0.068\\ \hline
3 & 147.15 & 8.79 & 1.29 & 0.112 & -0.053 & 0.103\\ \hline
4 & 196.2 & 9.22 & 1.72 & 0.15 & -0.017 & 0.139\\ \hline
5 & 215.82 & 9.39 & 1.84 & 0.164 & -0.004 & 0.152\\ \hline
\end{tabular}
\\\\\\
Wyznaczanie doświadczalnej wartości modułu Younga na podstawie pomiaru czujnikowego\\
\begin{tabular}{cc}
Strzałka ugięcia: $f_c = \frac{Pal^2}{8EJ_y}$ & Błąd względny:\\\\
$E = \frac{Pal^2}{8J_yf_c}$ & $\frac{|E_i - E|}{E} * 100\%$\\\\
$E_1 = \frac{49.05 N * 0.296 m * 1^2 m}{8 * 2 * 10^-8 m^4 * 0.43 * 10^-3 m} \approx 211.029 GPa$ & $\frac{|211.029 GPa - 210 GPa|}{210 GPa} * 100\% = 0.49\%$\\\\
$E_2 = \frac{98.1 N * 0.296 m * 1^2 m}{8 * 2 * 10^-8 m^4 * 0.85 * 10^-3 m} \approx 213.512 GPa$ & $\frac{|213.512 GPa - 210 GPa|}{210 GPa} * 100\% \approx 1.67\%$\\\\
$E_3 = \frac{147.15 N * 0.296 m * 1^2 m}{8 * 2 * 10^-8 m^4 * 1.29 * 10^-3 m} \approx 211.029 GPa$ & $\frac{|211.029 GPa - 210 GPa|}{210 GPa} * 100\% = 0.49\%$\\\\
$E_4 = \frac{196.2 N * 0.296 m * 1^2 m}{8 * 2 * 10^-8 m^4 * 1.72 * 10^-3 m} \approx 211.029 GPa$ & $\frac{|211.029 GPa - 210 GPa|}{210 GPa} * 100\% = 0.49\%$\\\\
$E_5 = \frac{215.82 N * 0.296 m * 1^2 m}{8 * 2 * 10^-8 m^4 * 1.84 * 10^-3 m} \approx 216.993 GPa$ & $\frac{|216.993 GPa - 210 GPa|}{210 GPa} * 100\% = 3.33\%$\\
\end{tabular}
\\\\\\
2.3.2
Wyznaczanie doświadczalnej wartości modułu Younga na podstawie pomiaru tensometrycznego\\
$E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{M_gz}{I_y\epsilon} = \frac{Pah}{2I_y\epsilon}$\\
\begin{tabular}{cc}
Moduł Younga & Błąd względny\\
${E_1}_8 = \frac{49.05 N * 0.296 m * 2 * 10^{-2} m}{2 * 2 * 10^{-8} m^4 * 0.036 * 10^{-3}} \approx $ & $\frac{|198.888-210|}{210} * 100\% \approx 5.29\%$\\\\
${E_2}_8 = \frac{98.1 N * 0.296 m * 2 * 10^-2 m}{2 * 2 * 10^-8 m^4 * 0.036 * 10^{-3}} \approx 198.888 MPa$& $\frac{|198.888-210|}{210} * 100\% \approx 5.29\%$\\\\
${E_3}_8 = \frac{147.15 N * 0.296 m * 2 * 10^-2 m}{2 * 2 * 10^-8 m^4 * 0.036 * 10^{-3}} \approx $ & $\frac{|198.888-210|}{210} * 100\% \approx 5.29\%$\\\\
${E_4}_8 = \frac{196.2 N * 0.296 m * 2 * 10^-2 m}{2 * 2 * 10^-8 m^4 * 0.036 * 10^{-3}} \approx $ & $\frac{|198.888-210|}{210} * 100\% \approx 5.29\%$\\\\
${E_5}_8 = \frac{215.82 N * 0.296 m * 2 * 10^{-2} m}{2 * 2 * 10^{-8} m^4 * 0.036 * 10^{-3}} \approx $ 194.764 MPa & $\frac{|194.764-210|}{210} * 100\% \approx 7.26\%$\\
\end{tabular}\\\\
2.3.3
Wyznaczyć wartość doświadczalną krzywizny osi belki na podstawie pomiaru:\\
\textbf{a) czujnikowego:}\\
Korzystając z: $f_c = \frac{Pal^2}{8EJ_y}$\\
${f_c}_1 =\frac{215.82*0.296*1}{8*210*10^6*2*10^{-8}m^4}=0.0036m=3.6mm$\\\\
${f_c}_2 =\frac{98.1*0.296*1}{8*210*10^6*2*10^{-8}m^4}=0.00864m=0.8646mm$\\\\
${f_c}_3 =\frac{215.82*0.296*1}{8*210*10^6*2*10^{-8}m^4}=0.0036m=3.6mm$\\\\
${f_c}_4 =\frac{215.82*0.296*1}{8*210*10^6*2*10^{-8}m^4}=0.0036m=3.6mm$\\\\
${f_c}_5 =\frac{215.82*0.296*1}{8*210*10^6*2*10^{-8}m^4}=0.0036m=3.6mm$\\
\textbf{b) tensometrycznego} dla wskazanego obciążenia wraz z porównaniem z wielkością teoretyczną(wraz z błędem względnym):\\
\textbf{Zginanie poprzeczne}\\\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$P[N]$ & $c_{1i}$ & $c_{2i}$ & $\epsilon_i(13)$ & $\epsilon_i(14)$ & $\epsilon_i(15)$ & $\epsilon_i(16)$\\ \hline
$P_0 = 0$ & 0.25 & 7.1 & 0 & -0.72 & -0.139 & -0.118\\ \hline
$P_1 = 20$ & 3.4 & 5.65 & 0.023 & -0.687 & -0.129 & -0.086\\ \hline
$P_2 = 50$ & 5.13 & 3 & 0.075 & -0.621 & -0.106 & -0.028\\ \hline
$P_1 + P_2 = 70$ & 8.45 & 1.6 & 0.098 & -0.588 & -0.095 & 0.003\\ \hline
\end{tabular}\\\\
\textbf{3.3}\\
\textbf{c)} zweryfikować zgodność naprężeń doświadczalnych w przekroju "13" z wartością teoretyczną:\\
\begin{tabular}{cc}
Naprężenie teoretyczne: $\sigma = \frac{M_yh}{I_y2}$ & Błąd względny:$\frac{|\sigma_i - \sigma|}{\sigma} * 100\%$\\
Wartość rzeczywista: $\sigma_2=\varepsilon*E$\\\\
$\sigma_1 = \frac{{M_y}_1h}{I_y2}$ & $\frac{|\sigma_1 - \sigma|}{\sigma} * 100\%$\\
${M_y}_1$\\\\
$\sigma_2 = \frac{{M_y}_2h}{I_y2}$ & $\frac{|\sigma_2 - \sigma|}{\sigma} * 100\%$\\
${M_y}_2=P_2*0.42m=20.1Nm$ & ${I_y}_2=\frac{0.03*0.018^3}{12}=1.46*10^{-8}m^4$\\
$\sigma_2 = \frac{20.1Nm*0.018m}{1.46*10^{-8}*2}=12.4MPa$ & $\sigma_2=270*10^6*0.075=20.25MPa$\\
$\frac{|12.4- 20.25|}{20.25} * 100=38.77\%$\\\\
$\sigma_3 = \frac{{M_y}_3h}{I_y2}$ & $\frac{|\sigma_3 - \sigma|}{\sigma} * 100\%$\\
${M_y}_3=$\\\\
\end{tabular}\\\\
\textbf{e)} zweryfikować zasadę de Saint Venanta porównując naprężenia doświadczalne w przekroju "14" z wartością teoretyczną:\\
Przez zastosowanie karbu, zasada Saint Venanta nie obowiązuje w tym przekroju.\\\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$P[N]$ & $c'_{1i}$ & $c'_{2i}$ & $\epsilon_i(13)$ & $\epsilon'_i(14)$ & $\epsilon'_i(15)$ & $\epsilon'_i(16)$\\ \hline
$P_0 = 0$ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline
$P_1 = 20$ & 3.15 & 1.45 & 0.023 & 0.033 & 0.01 & 0.032\\ \hline
$P_2 = 50$ & 4.88 & 4.1 & 0.075 & 0.099 & 0.033 & 0.09\\ \hline
$P_1 + P_2 = 70$ & 8.2 & 5.5 & 0.098 & 0.132 & 0.044 & 0.121\\ \hline
\end{tabular}\\\\
Zasada superpozycji - suma przemieszczeń z pierwszego i drugiego obciążenia osobno jest przemieszczeniem dla sumy obciążeń:\\\\
\begin{tabular}{c|c|c}
dla $c'_1$: & 3.15 mm + 4.88 mm = 8.03 mm & $\frac{|8.2 mm - 8.03 mm|}{8.02 mm} * 100\% = 2.1\%$\\
dla $c'_2$: & 1.45 mm + 4.1 mm = 5.55 mm & $\frac{|5.5 mm - 5.55 mm|}{5.5 mm} * 100\% = 0.9\%$\\
dla $epsilon'(13)$: & 0.023 + 0.075 = 0.98 & $\frac{|0.98 - 0.98|}{0.98} * 100\% = 0\%$\\
dla $epsilon'(14)$: & 0.033 + 0.099 = 0.132 & $\frac{|0.132 - 0.132|}{0.132} * 100\% = 0\%$\\
dla $epsilon'(15)$: & 0.01 + 0.033= 0.043 & $\frac{|0.044 - 0.043|}{0.044} * 100\% = 2.3\%$\\
dla $epsilon'(16)$: & 0.032+ 0.09 = 0.122 & $\frac{|0.121 - 0.122|}{0.121} * 100\% = 0.8\%$\\
\end{tabular}\\\\
Powyższe wyniki, z powodu niskich błędów względnych (mniej niż $3\%$), można uznać za wiarygodne sprawdzenie zasady superpozycji na przykładzie zginanej belki.\\
Zasada Bettiego - praca wykonana przez pierwsze obciążenie na przemieszczeniu wywołanym drugim obciążeniem jest równa pracy drugiego obciążenia na przemieszczeniu wywołanym przez pierwsze:\\
$P1 * c_{12} = P2 * c_{21}$\\
20 N * 4.88 mm = 50 N * 1.45 mm\\
97.6 N * mm $\approx$ 72.5 N * mm\\
W przypadku zasady Bettiego wyniki doświadczalne odbiegają od założeń teoretycznych. Przyczyną tego mogą być nieliniowości w badanym ustroju.\\\\
\textbf{Zginanie ukośne}\\\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
$ $ & $V_i[N]$ & $\epsilon_i(1)$ & $\epsilon_i(2)$ & $\epsilon_i(3)$ & $\epsilon_i(4)$ \\ \hline
0 & 0 & 0 & -0.077 & -0.299 & -0.257 \\ \hline
1 & 50 & 0.277 & -0.16 & -0.377 & -0.16 \\ \hline
2 & 70 & 0.39 & -0.195 & -0.41 & -0.13 \\ \hline
\end{tabular}\\\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
$ $ & $V_i[N]$ & $\epsilon_i(1)$ & $\epsilon'_i(2)$ & $\epsilon'_i(3)$ & $\epsilon'_i(4)$ \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 50 & 0.277 & -0.083 & -0.078 & 0.097 \\ \hline
2 & 70 & 0.39 & -0.118 & -0.111 & 0.127 \\ \hline
\end{tabular}\\\\
dural - E = 73 GPa\\
Wartości doświadczalne naprężeń ($\sigma = |\epsilon * E|$):\\
$\sigma_1 = 0.277\permil * 73 GPa = 20.221 MPa$\\
$\sigma_2 = -0.083\permil * 73 GPa = -6.059 MPa$\\
$\sigma_3 = -0.078\permil * 73 GPa = -5.694 MPa$\\
$\sigma_4 = 0.097\permil * 73 GPa = 7.081 MPa$\\
\includegraphics{path7520-7.png}\\
Współrzędne środka ciężkości:\\
$x_c = \frac{30 mm * 5 mm * 15 mm + 45 mm * 5 mm * 27.5 mm}{30 mm * 5 mm + 45 mm * 5 mm} = 22.5 mm$\\
$y_c = \frac{30 mm * 5 mm * 2.5 mm + 45 mm * 5 mm * 27.5 mm}{30 mm * 5 mm + 45 mm * 5 mm} = 17.5 mm$\\
$S_c = [22.5 mm; 17.5 mm]$\\
Momenty bezwładności względem osi $x_1$ i $ y_1$:\\
$I_{x_1} = \frac{5 mm * (45 mm)^3}{12} + 5 mm * 43 mm * (27.5 mm - 17.5 mm)^2 + \frac{30 mm * (5 mm)^3}{12} + 5 mm * 30 mm * (17.5 mm - 2.5 mm)^2 = 59468.75 mm^4 + 34062.5 mm^4 = 93531.25 mm^4$\\
$I_{y_1} = \frac{5 mm * (30 mm)^3}{12} + 5 mm * 30 mm * (22.5 mm - 15 mm)^2 + \frac{45 mm * (5 mm)^3}{12} + 45 mm * 5 mm * (27.5 mm - 22.5 mm)^2 = 19687.5 mm^4 + 6093.75 mm^4 = 25781.25 mm^4$\\
Moment dewiacyjny względem układu $x_1y_1$:\\
$I_{x_1y_1} = 0 + (22.5 mm - 15 mm) * (17.5 mm - 2.5 mm) * 30 mm * 5 mm + 0 + (27.5 mm - 22.5 mm) * (27.5 mm - 17.5 mm) * 45 mm * 5 mm = 28125 mm^4$\\
Momenty główne bezwładności:\\
$I = \frac{I_{x_1} + I_{y_1}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_{x_1} + I_{y_1}}{2}\right)^2 + I_{x_1y_1}^2}$\\
$I_1 = \frac{93531.25 mm^4 + 25781 mm^4}{2} + \sqrt{\left(\frac{93531.25 mm^4 + 25781.25 mm^4}{2}\right)^2 + (28125 mm^4)^2} = 107562.78 mm^4$\\
$I_2 = \frac{93531.25 mm^4 + 25781 mm^4}{2} - \sqrt{\left(\frac{93531.25 mm^4 + 25781.25 mm^4}{2}\right)^2 + (28125 mm^4)^2} = 11749.22 mm^4$\\
Kąt orientacji układu z osiami głównymi względem układu $x_1y_1$:\\
$tg(2\beta) = \frac{-2I_{x_1y_1}}{I_{x_1} - I_{y_1}}$\\
$tg(2\beta) = \frac{-2 * 28125 mm^4}{93531.25 mm^4 - 25781 mm^4} = -0.830255$\\
$\beta = -19.9\degree \approx -20\degree$\\
Wektor momentu gnącego zrzutowany na osie nowego układu:\\
$M_\alpha = M * cos\beta = 50 N * 1 m * cos20\degree = 47 Nm$\\
$M_\gamma = M * sin\beta = 50 N * 1 m * sin20\degree = 17.1 Nm$\\
Równanie funkcji naprężeń:\\
$\sigma = \frac{M_\gamma}{I_2}\alpha - \frac{M_\alpha}{I_1}\gamma$\\
$\sigma = \frac{17.1 Nm}{11749.22 mm^4}\alpha - \frac{47 Nm}{107562.78 mm^4}\gamma$\\
$\sigma = 1455443016\alpha - 436957289\gamma [\frac{N}{m^3}]$\\
Szukamy osi obojętnej:\\
$\sigma = 0 \Rightarrow 0 = 1455443016\alpha - 436957289\gamma$\\
$\gamma = 3,330858\alpha$ - równanie osi obojętnej w układzie osi głównych\\
$\phi \approx 73.3\degree$ - kąt o jaki obrócona jest oś obojętna\\
\\
Transformacja współrzędnych z układu pierwotnego do układu osi głównych:\\
$\alpha = x_1cos\beta - y_1sin\beta$\\
$\gamma = x_1sin\beta + y_1cos\beta$\\
Punkt A($x_1,y_1$) = [2.5 mm, 32.5 mm]:\\
$\alpha_A = 2.5 mm * cos(20\degree) - 32.5 mm * sin(20\degree) \approx -8.77 mm$\\
$\gamma_A = 2.5 mm * sin(20\degree) + 32.5 mm * cos(20\degree) \approx 31.4 mm$\\
Punkt B($x_1,y_1$) = [7.5 mm, -17.5 mm]:\\
$\alpha_B = 7.5 mm * cos(20\degree) + 17.5 mm * sin(20\degree) \approx 13.03 mm$\\
$\gamma_B = 7.5 mm * sin(20\degree) - 17.5 mm * cos(20\degree)
\approx -13.88 mm$\\
\\
Naprężenia w A:\\
$\sigma_A = 1455443016 \frac{N}{m^3} * (-8.77) mm - 436957289 \frac{N}{m^3} * 31.4 mm = -26.485 MPa$\\
Naprężenia w B:\\
$\sigma_B = 1455443016 \frac{N}{m^3} * 13.03 mm - 436957289 \frac{N}{m^3} * (-13.88) mm = 25.029 MPa$\\
\\
W naprężeniach należy uwzględnić, że faktyczne znaki są różne od powyższych, co zaznaczono na wykresie naprężeń.\\
\includegraphics{wykres.png}\\
Współrzędne tensometrów w układzie $x_1y_1$:\\
\begin{tabular}{c|c|c}
tensometr & $x_1[mm]$ & $y_1[mm]$\\ \hline
1 & 2.5 & 25.5\\
2 & 2.5 & -5.3\\
3 & -3.7, & -12.5\\
4 & -17.1 & -12.5\\
\end{tabular}\\
\\
Transformacja do układu osi głównych $\alpha\gamma$:\\
\begin{tabular}{c|c|c}
tensometr & $\alpha[mm]$ & $\gamma[mm]$\\ \hline
1 & -6.37 & 24.82\\
2 & 4.16 & -4.13\\
3 & 0.8, & -13.01\\
4 & -11.79 & -17.59\\
\end{tabular}
\\
\begin{tabular}{c|c}
tensometr & naprężenie [MPa]\\ \hline
1 & -20.116\\
2 & 7.859\\
3 & 6.849\\
4 & -9.474\\
\end{tabular}
\\
Błąd względny pomiarów tensometrycznych naprężeń:\\
\begin{tabular}{cc}
tensometr & błąd względny\\
1 & $\frac{||-20.116 MPa|-|20.221 MPa||}{|-20.116 MPa|} * 100\% \approx 0.52\%$\\
2 & $\frac{||7.859 MPa|-|6.059 MPa||}{|7.859 MPa|} * 100\% \approx 22.9\%$\\
3 & $\frac{||6.849 MPa|-|5.694 MPa||}{|6.849 MPa|} * 100\% \approx 16.9\%$\\
4 & $\frac{||-9.474 MPa|-|7.081 MPa||}{|-9.474 MPa|} * 100\% \approx 25.3\%$\\
\end{tabular}\\
\\\\\\
\includegraphics{wykres_diff.png}
\end{document}