Fourth_Order_Runge-Kutta_Method.md

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка

Решение простого дифференциального уравнения

Существует несколько способов расчёта коэффициентов, здесь используется чаще встречающийся в литературе.

Известны:

• уравнение первой производной искомой функции;
• значение искомой функции в начальной точке.

$$\{\begin{array}{l}\frac{dy(t)}{dt}=y^{\prime }(t)=f(y(t),t)\\ y(t_0)=y_0\end{array}$$

Необходимо найти значение функции в точке $t_1$.

Вычисление производится по формулам:

$$\begin{array}{l}h=t_1-t_0\\ k_1=f(y(t_0),t_0)\\ k_2=f(y(t_0)+k_1\frac{h}{2},t_0+\frac{h}{2})\\ k_3=f(y(t_0)+k_2\frac{h}{2},t_0+\frac{h}{2})\\ k_4=f(y(t_0)+k_{3}h),t_0+h)\\ y(t_1)=y(t_0)+\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}h\end{array}$$

Программирование

Для программирования задача заключается в наличии некоторой функции

$$\frac{dy}{dt}=f_{d}y(y_i,t_i)$$

а так же значения переменных $y_i$ и $t_i$ на $i$-ом шаге, и величины шага $h$.

Тогда ход вычислений будет выглядеть как

$$\begin{array}{l}{k}_1:=f_{d}y(y_i,t_i)\\ k_2:=f_{d}y(y_i+k_1\frac{h}{2},t_i+\frac{h}{2})\\ k_3:=f_{d}y(y_i+k_2\frac{h}{2},t_i+\frac{h}{2})\\ k_4:=f_{d}y(y_i+k_{3}h,t_i+h)\\ \\ t_{i+1}:=t_i+h\\ y_{i+1}:=y_i+\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}h\end{array}$$

$y_{i+1}$ и есть значение искомой функции в следующей точке аппроксимации $t_{i+1}$.

Система из двух дифференциальных уравнений

Решается аналогично, коэффициенты вычисляются для каждой из функций.

Программирование

Дано две функции, составляющие систему дифференциальных уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=f_{d}x(x_i,y_i,t_i)\\ \frac{dy}{dt}=f_{d}y(x_i,y_i,t_i)\end{array}$$

значения переменных $x_i$, $y_i$ и $t_i$ на $i$-ом шаге, и величина шага $h$.

Тогда вычисление выполняется как:

$$\begin{array}{l}{k}_{1x}:=f_{d}x(x_i,y_i,t_i)\\ k_{1y}:=f_{d}y(x_i,y_i,t_i)\\ k_{2x}:=f_{d}x(x_i+k_{1x}\frac{h}{2},y_i+k_{1y}\frac{h}{2},t_i+\frac{h}{2})\\ k_{2x}:=f_{d}y(x_i+k_{1x}\frac{h}{2},y_i+k_{1y}\frac{h}{2},t_i+\frac{h}{2})\\ k_{3x}:=f_{d}x(x_i+k_{2x}\frac{h}{2},y_i+k_{2y}\frac{h}{2},t_i+\frac{h}{2})\\ k_{3y}:=f_{d}y(x_i+k_{2x}\frac{h}{2},y_i+k_{2y}\frac{h}{2},t_i+\frac{h}{2})\\ k_{4x}:=f_{d}x(x_i+k_{3x}h,y_i+k_{3y}h,t_i+h)\\ k_{4y}:=f_{d}y(x_i+k_{3x}h,y_i+k_{3y}h,t_i+h)\\ \\ t_{i+1}:=t_i+h\\ x_{i+1}:=x_i+\frac{k_{1x}+2k_{2x}+2k_{3x}+k_{4x}}{6}h\\ y_{i+1}:=y_i+\frac{k_{1y}+2k_{2y}+2k_{3y}+k_{4y}}{6}h\end{array}$$

Применение для аппроксимации осциллятора Хопфа

Использование метода Рунге-Кутта четвёртого порядка позволяет хорошо сгладить генерируемые осциллятором Хопфа значения. Для сглаживания используется алгоритм описанный выше для систем дифференциальных уравнений, однако в формулах отсутствует параметр $t$, а следовательно его не нужно вычислять.