图G中的欧拉回路是包含G的每一条边的简单回路。
图G中的欧拉通路是包含G的每一条边的简单通路。
啥意思呢？先解释简单，即两个顶点之间不能拥有2条边。再来就是需要包含图中的每条边，最后就是回路需要开点和终点一致。
比如下面的这张图：
欧拉回路：
- a-b
- b-c
- c-e
- e-d
- d-c
- c-a
欧拉通路可以直接拿欧拉回路来当例子说明。
再比如下面这张图：
欧拉回路：不存在。
欧拉通路：
- a-c
- c-d
- d-e
- e-b
- b-d
- d-a
- a-b
到这里就可以理解欧拉通路和欧拉回路的定义了。
上面是直接写出对应的欧拉回路，以此证明该图欧拉回路的存在，下面就是说明欧拉回路存在的必要条件：
含有至少2个顶点的连通多重图具有欧拉回路当且仅当它的每个顶点的度都为偶数。
或者表示成下面的形式： $$ \forall v \in V (deg(v) \mod 2==0) $$ 说人话就是每个顶点的边的数量都是偶数。
这里简单说明一下，首先先从任何一个点开始，按照这个点的边开始前进到下一个点，因为每个点都是偶数边，所以肯定能满足一进一出，因为该图具有连通性，所以肯定可以回到起点。比如下面这张图，以a为起点：
然后我们可以看到，其中一些边是没有走到的，然后我们就以图中没有被包含进去的边为顶点，继续走上面的步骤，这里以c为例子：
然后继续上面的步骤，依次以f和e为例子，构建回路：
我知道这玩意更加像是构建回路的过程，而不像是证明的过程，但是如果上面的步骤一定能完成，那么即证明了如果满足上面的条件，则欧拉回路肯定存在。
最终上面这张图的欧拉回路为：
- a-c
- c-d
- d-b
- b-c
- c-f
- f-d
- d-e
- e-g
- g-f
- f-e
- e-b
- b-a
欧拉通路的存在则是：
连通多重图具有欧拉通路但无欧拉回路当且仅当它恰有2个度为奇数的顶点。
说人话就是如果一个图中，只有2个顶点的边的是奇数，则其就只有欧拉通路，但是没有欧拉回路。
这个证明还是看上面的那个油管视频。简单来说就是比起欧拉回路少一条边就可以了，正是因为少了这一条边，所以就产生了两个顶点的边为奇数的情况。
这里对比一下，可以更好理解啥叫哈密顿通路和回路：
| 对比项目 | 欧拉回路 / 欧拉通路 | 哈密顿回路 / 哈密顿通路 |
|---|---|---|
| 每个点 | 可以经过多次，而且不需要都经过 | 每个顶点只能经过1次，而且都需要经过 |
| 每条边 | 每条边只能经过一次，而且都需要经过 | 可以经过多次，而且不需要都经过 |
简单来说就是将欧拉回路中的点和边的要求互换。
比如下面的这幅图：
就具有哈密顿回路：a-b-c-e-d-a
自然也有哈密顿通路。
但是下面这幅图，就只能哈密顿通路，但是没有哈密顿回路了：
哈密顿通路好像暂时没有充要条件，但是哈密顿通路存在的充分条件有了：
如果图G是有n个顶点的简单图，其中n>=3，并且G中每个顶点的度都至少为n/2，则G有哈密顿回路。
充分条件就是：如果A成立，B就肯定成立，则A是B的充分条件。同时，B不一定都具有A的性质。对应到上面就是，并不是所有的哈密顿回路都具有狄拉克定理中的性质。
如果G是有n个顶点的简单图，其中n>=3，并且对于G中每一对不相邻的顶点u和v来说，都有 deg(u)+deg(v)>=n，则G有哈密顿回路。
这里我试着说明一下： $$ 如果是完全图的话，其肯定具有哈密顿回路。\ 所以借由完全图来说明。\ n个顶点的完全图，其边的总数为 \frac{(n-1)n}{2}\ 去掉两个点之后，少掉的边数量为 n-1+n-1-1=2n-3\ 则剩余的边的数量为：\frac{(n-1)n}{2}-(2n-3)=\frac{n^2-5b+6}{2}=\frac{(n-2)(n-3)}{2} \geq 0\ 假设 deg(u)+deg(v) < n，即 2n-3 < n，即n<3，则结合上面的结论 n<2，即 n=1。但是我们考虑的肯定不是 n=1的情况，所以\ deg(u)+deg(v) \geq n $$ 我自己都觉得这证明很鬼扯。。。。。。
然后你就可以用欧拉定理来推导出狄拉克定理。更鬼扯了。