- Introducción
- Ejemplos de aplicación
- ¿Qupe es una ecuación diferencial?
- ¿Cuál es la variable dependiente y la variable independiente en una ecuación?
- ¿Qué tipos de ecuaciones diferenciales podemos encontrar?
- Orden y linealidad de una ecuación
- ¿Qué significa solucionar una ecuación diferencial?
- Conceptos básicos de cálculo
- Ecuaciones diferenciales de primer orden
- Ecuaciones diferenciales de segundo orden
- Modelos matemáticos
- Conceptos para la transformada de laplace
- Transformada de laplace
- Solucionador de ecuaciones
La ecuaciones diferenciales nos sirven para crear modelos matemáticos de cosas que existen en la realidad que dependen de alguna variable como el tiempo, un ejemplo de esto sería saber la variación en la temperatura de un objeto a lo largo de diferentes rangos de tiempo.
Es la relación entre una función, una variable y su derivada. Recordemos que una derivada representa una razón de cambio, y cuando hablamos de una función f(t) está refiriéndonos a que cambia con el tiempo o alguna otra variable.
Hay dos conceptos que debemos tener completamente claros antes de continuar a fondo con las ecuaciones diferenciales.
Siempre que estemos derivando con respecto a una función, esa será nuestra variable dependiente.
- Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Estas ecuaciones son aquellas que solo tienen una variable dependiente.
- Ecuaciones diferenciales parciales (EDP), estas son aquellas que cuentan con más de una variable independiente.
También podemos clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su orden y linealidad que tengan.
El orden de una ecuación diferencial se refiere a la máxima derivada que aparezca en una la ecuación.
La linealidad se basa en la variable dependiente de una ecuación diferencial, si dicha variable no tiene ningún exponente significa que la ecuación es lineal, mientras que si tiene algún cambio exponencial entonces es una ecuación no lineal.
Mientras que en las ecuaciones normales su solución era encontrar un número que cumpliera la igualdad de la ecuación; en las ecuaciones diferenciales se va a buscar una función o conjunto de función que cumpla la igualdad.
En ciertos problemas nos vamos a encontrar que una ecuación diferencial tiene alguna condición donde la función se le denota un valor, este valor es el valor inicial de una ecuación y nos servirá para encontrar soluciones específicas.
Debemos de tener claros tres conceptos básicos que nos servirán de herramientas a la hora de adentrarnos en las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Si tenemos la derivada de una función podemos integrar para obtener la función original, y si se tiene la integral de una función se deriva para obtener la función. La derivada y la integral son operaciones que se complementan entre sí.
Si tenemos potencias con misma base a la hora de multiplicar las potencias se suman, si se trata de dividir entonces las potencias se restarán y por último si el exponente es negativo se puede representar como una fracción de la base elevado al exponente en su valor positivo.
Para poder eliminar el logaritmo natural de nuestra ecuación deberemos convertir este en la potencia de e. También, si tenemos alguna constante multiplicando a logaritmo natural entonces podemos representarlo como la potencia de dicho logaritmo.
Como su nombre lo indica, es aquella donde puedes separar a cada lado de tu ecuación todo lo que dependa de tu componente x y del otro lado todo lo que dependa de y. Al final solo debes integrar cada lado para poder sacar su función. Cada lado estará constituido por una función y una derivada donde ambas dependen de la misma variable.
Recordemos que la ecuación diferencial tiene una solución general, pero si cuentas con un valor inicial entonces ya contaras con una solución especifica.
Lo primero a la hora de iniciar será expresar las derivadas como una división en caso de no tenerlas así.
Una vez separadas las variables nos quedaría integrar, hacemos esto pues tenemos las derivadas y queremos buscar la función de esta.
Recordemos que si tenemos la integral de una división donde una función se encuentra en el denominador y su derivada en la parte superior eso es igual a logaritmo natural de la función.
Propiedad
Existe un procedimiento que nos hará saber si una ecuación es separable, dicho procedimiento será bastante útil para aquellas ecuaciones donde no tenemos claro si es separable o no.
Los pasos son los siguientes:
- Asignamos valores a x y y de tal forma que nos de un valor diferente a 0.
- Vamos a calcular una nueva función donde multiplicaremos el resultado de nuestra función con el valor que asignamos a x y la variable y por el resultado de la función con la variable x y el valor asignado a y.
- Por último, será comprobar si la función evaluada en el anterior paso es igual a multiplicar la función del primer paso por nuestra ecuación.
Si aplicamos estos pasos, además de saber si la ecuación es separable, obtendremos la separación de la ecuación.
Este método es aplicable a los casos donde la ecuación tiene a la derivada de un lado y la función del otro.
Este método consiste en sustituir el polinomio de la derecha de la ecuación por una nueva variable. Después, hallar la diferencial de esta nueva variable.
Una vez conseguida la derivada, dividiremos toda la ecuación por la derivada de x (dx) haciendo que se cancele dx. Con está nueva ecuación podemos despejar dy/dx y con ello reemplazarla en la ecuación principal.
Al final obtendremos una nueva ecuación separable, la cual ya sabemos resolver. Una vez resuelta tendremos que volver a sustituir valores con la ecuación original.
Estas ecuaciones cumplen dos condiciones:
- Puedan ser representadas de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
- La derivada de M con respecto a la derivada de y sea igual a la derivada de N con la derivada de x dM/dy = dN/dx
Para resolver una ecuación exacta primero debemos verificar que, si sea una ecuación exacta, una vez verificada debemos integrar a M o a N.
- Una vez integrada M o N, debemos derivar a F con respecto a la otra variable que no integramos.
- Por último, integramos la ecuación para obtener nuestra solución.
- Verificar que la función es exacta
Derivando M respecto a y
Derivando N respecto a x
Comprobamos que ambos resultados son iguales
- Integrar a M o a N
Elegimos la que sea más sencilla, en este caso M
g(y) es una constante que depende de y, por lo tanto cuando se derive será 0
- Derivar a F con respecto a la otra variable
- Integrar para obtener la constante
Finalmente obtenemos el resultado sustituyendo F por g(y)
Identificar y escribir quien es M y quien N
Si las derivadas son iguales, es exacta
La expresión es igual, por lo tanto elegimos la que sea más fácil de integrar
La constante es una función que depende de x
Derivamos con respecto a X
Esto, debe ser igual que M
Simplificamos la expresión
Volvemos a integrar
Finalmente completamos la función y obtenemos el resultado
En caso de que tengamos una ecuación que no sea separable, ni se pueda realizar una sustitución lineal, ni sea una ecuación exacta entonces chequemos si es una función homogénea.
Para identificar si una ecuación es homogénea contamos con dos métodos:
- Aplicación de fórmula: si tenemos la siguiente ecuación f(tx, ty) = tnf(x, y), entonces f(x, y) es homogénea de grado n.
- Inspeccionar grados de términos: si el grado de cada termino del polinomio es el mismo entonces la función es homogénea.
Para solucionar una ecuación homogénea debemos seguir los siguientes pasos:
- Verificar que la función sea homogénea.
- Cambiamos una de las variables, x la cambiamos por yv si M es más sencilla o y la cambiamos por xv si N es más sencilla.
- Realizamos una sustitución, con ello obtendremos una derivada. Integramos para obtener la función.
Reemplazamos con la formula
Solucionamos
Factorizamos
Como t**4 multiplica a la función, por lo tanto es homogenea de grado 4
Basta con mirar los exponentes
Recuerda que el método de solución de ecuaciones homogéneas lo que busca es realizar dos sustituciones para obtener al final una ecuación separable.
Realizamos una sustitución
Resolvemos
Multipliquemos los terminos por su factor
Simplificamos
Tenemos una ecuación separable
Resolvemos la acuación separable integrando
Eliminamos el logaritmo con un exponencial
Simplificamos y resolvemos
Sustituimos u de la sustitución que hicimos al inicio
Encontramos la función
Puede que te encuentres con una ecuación de coeficientes lineales.
Para reconocer esta ecuación veremos que al igual que las ecuaciones de sustitución lineal, la ecuación con coeficientes lineales cuenta un x, y y una constante, además los coeficientes que acompañan esas variables son constantes.
La sustitución lineal nos funciona cuando tenemos un solo polinomio que reemplazar, en este caso al encontrarnos con dos polinomios queda totalmente descartado el método de sustitución lineal.
Para resolver esta ecuación debemos reemplazar la variable x por una nueva variable más una constante, hacemos lo mismo con la variable y para poder obtener una ecuación homogénea y con ello poder buscar una ecuación separable que nos dará la solución.
Hacemos la traslación de ejes, ¿pero con qué valor?
Tenemos un sistema de ecuaciones
Por el método de eliminación, multiplicamos por -1
Nos queda una ecuación con una incognita
y obtenemos dx y dy
Ahora sustituimos en nuestra ecuación inicial
Simplificamos y nos queda una ecuación homogenea
Realizamos la sustitución
Separamos du de dw
simplificamos
De forma que tenemos una ecuación separable
Solucionando la ecuación separable
Integramos, para la segunda integral, multiplicamos arriba y abajo por 2
Simplificamos con los exponenciales
Reemplazamos w
Sustituimos en términos de x e y
Es un termino por el cual puedes multiplicar una ecuación para convertirla en una ecuación exacta.
Existen tres casos de factores integrantes:
- El factor integrante solo dependerá de x.
- El factor integrante solo dependerá de y.
- El factor integrante dependerá tanto de x como de y.
¿Qué pasa si múltiplicamos los términos por x?
- Caso 1: El factor integrante solo depende de x
- Caso 2: El factor integrante solo depende de y
- Caso 3: El factor integrate depende de xy
Nuestro primero paso será comprobar que la derivada parcial de M con respecto a y sea diferente a la derivada parcial de N con respecto a x.
Una vez demostrado el primer paso, para hallar el factor integrante aplicaremos la siguiente formula: (dM/dy – dN/dx)/N = g(x)
Si el resultado de la función depende de X, entonces estamos hablando del primer caso en factores integrantes.
Validamos que no es exacta
Aplicamos la formula y la ecuación
Encontramos una ecuación exacta resultante de una no exacta
Nos queda resolver está ecuación
Integramos la que sea más fácil, en este caso N y obtenemos la función
Tenemos la función con una constante que depende de x
Tenemos nuestra función
Resolvemos derivando f respecto a x
Igualamos con la otra ecuación
Reducimos
Volvemos a integrar para tener la función para obtener g(x)
Para la ecuación final sustituimos en nuestra función
Verificamos que se de tipo 2
Aplicamos la formula y vemos que depende sólo de y
Sustituimos para obtener el factor integrante
Obtenemos un nuevo M y N
Verificamos si las derivadas son iguales
Vemos que es exacta y ahora tenemos una nueva ecuación diferencial, integramos N por ser más sencilla
Resolvemos la ecuación
Validamos si es exacta caso por caso
Evaluando caso 1
Evaluando caso 2
Evaluamos caso 3, cumple y aplicamos la formula
Integramos para encontrar el factor integrante
Multipliquemos toda la ecuación
Vemos que podemos simplificar y obtenemos un nuevo m y n
Derivamos respecto a m y n y vemos que son iguales
Solución de la ecuación exacta
El factor integrante además de ayudarnos a solucionar ecuaciones que en un principio no eran exactas, también nos ayudara a solucionar ecuaciones diferenciales lineales.
La ecuación diferencial lineal va a tener una función que multiplica por la derivada de y con respecto a la derivada de x, más una segunda función que multiplica a y todo esto que es igual a una tercera función, cada función va a depender de x.
Qué pasaría si
El primer paso es dividir todo sobre f1 y aplicamos el factor integrante
Aplicamos lo siguiente
Para la siguiente ecuación, dividimos por x3
Obtenemos P y Q
Aplicamos la formula
Quitamos e y obtenemos el factor integrante
Resolvemos sustituyendo
Estas ecuaciones son aquellas donde está la segunda derivada de una función. Existe un concepto muy importante: Soluciones linealmente independientes
Son aquellas donde no existe ninguna constante por la que puedas multiplicar para obtener o llegar a otra solución.
Una ecuación diferencial de segundo orden solo tiene dos soluciones linealmente independientes, o mejor dicho, una solución diferencial de n orden solo tiene n soluciones linealmente independientes.
Las soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial de segundo orden juntas forman lo que se conoce como Combinación lineal, la cual vendría siendo la solución general de la ecuación.
Evaluemos si y=ex es una solución de la ecuación encontrando primera, segunda derivada y reemplazando en la ecuación
Con una constante también es solución
Por lo tanto las ecuaciones de n orden tienen n soluciones independientes
Las ecuaciones lineales homogéneas son aquellas que son igualadas a 0. Para que sean de coeficientes constantes como su nombre lo indica, todos los coeficientes de la ecuación deben de ser una constante y no una función.
Para resolver este tipo de ecuaciones debemos buscar su ecuación característica, la solución a esta ecuación nos dará las constantes para nuestras soluciones linealmente independientes y con ello nuestra solución general.
Encontramos la ecuación catacterística
Vemos una ecuación con coeficientes constantes ya que los terminos que acompañan a y no dependen de x, es homogenea por que es igual a 0
Asumimos una solución
Intentamos encontrar una ecuación carácteristica
Verificamos con el procedimiento
Reemplazamos en la ecuación y factorizamos
Solucionamos la ecuación cuadrática con la chicharronera
Tenemos nuestras dos soluciones
La solución general seria
Al resolver ecuaciones lineales homogéneas podrá darse el caso donde sus soluciones incluyan un término imaginario o letra i, el cual es dado por la raíz cuadrada de un número negativo.
No se puede dejar una solución expresada con números imaginarios
La solución quedaría
Pero no podemos expresarla como número negativo por lo que aplicamos la formula
A este punto ya hemos aprendido como resolver ecuaciones de n orden que sean homogéneas ósea que estén igualadas a 0, pero que pasa con aquellas donde están igualadas a alguna función o simplemente diferente de 0.
Estas ecuaciones diferenciales no homogéneas tienen una ecuación diferencial homogénea relacionada, simplemente es una ecuación donde vamos a anular la función a la cual esta igualada nuestra ecuación o mejor dicho igualarla a 0.
El proceso para resolver una ecuación no homogénea es:
- Encontrar la solución general de la ecuación diferencial homogénea relacionada. Recuerda que encontrar la solución general primero debes hallar las soluciones linealmente independientes.
- Encontrar la solución particular para la ecuación diferencial no homogénea. Existen dos métodos para encontrar estas soluciones Coeficientes Indeterminados y Variación de parámetros.
- Por último, la solución de nuestra ecuación diferencial no homogénea será la suma de la solución del primer paso más la del segundo paso.
Obtenemos la solución general
Para la solución particular
Los coeficientes indeterminados ya los tenemos
Tenemos nuestra solución particular
Solución general para la ecuación homogenea
Para la solución particular y realizamos nuestras dobles derivadas
Sustituimos la primera y segunda derivada en nuestra ecuación inicial y simplificamos
La igualdad debe cumplir que lo de la izquierda es = a lo de la derecha, resolvemos el sistema de ecuaciones
El coeficiente de seno y conseno debe ser igual al del otro lado
Ahora solo tenemos que hayar la solución general
Ejemplo con una exponencial
https://www.youtube.com/watch?v=-tsBMdiZ7oc
Para encontrar u1 y u2 necesitamos encontrar lo siguiente
w wronskiano
El wronskiano es un determinante de la matriz de 2x2
Intercambio de constantes c x u
Obtenemos el Wrowskiano
Obtenemos el Wrowskiano
Encontramos u1 y u2
Obtenemos u1
Para u2
Ya tenemos todo para encontrar nuestra solución
Encontramos la solución
Soluciones
Las ecuaciones diferenciales nos permiten modelar un fenomeno que depende del tiempo y que queremos conocer su comportamiento en el futuro
Se lee, la población en el primer año es de dos mil
La derivada representa una razón de cambio, una velocidad asociada
¿Qué se necesita para hacer un modelo matemático?
Consideramos el crecimiento - el decrecimiento
Generamos la ecuación considerando N-M como una constante
Nos queda una ecuación separable
- Conocer el problema
Crecimiento poblacional de usuarios de mi red social
- Conocer las variables
P = número de usuarios de mi red t = tiempo en años p(0) = 50, 000 p(2) = 200, 000
Para obtener la constante de crecimiento
Con la ecuación ya podemos responder más preguntas
Para calcular el tiempo en el que llegara a los 500,000
¿Qué tanto debo de preparar mis servidores en 5 años?
Resolvemos
¿Cuál es la población en 8 años del modelo?
¿En que momento llegara a 40,000 bloques?
Búscamos encontrar la ecuación
¿Cuál es la temperatura inicial de una cerveza?
Obtenemos una constante de calentamiento positiva, ya que lo estamos metiendo a una nevera
Generamos el modelo
Para encontrar el modelo
Por el método de ecuaciones separables
Generamos el modelo
Para t = 4 y p = 10
Obtenemos nuestra constante de crecimiento
¿En que momento toda la población va a ser infectada 1000?
Ponemos a prueba el mdelo
-
¿Cuánto dinero debes invertir para obtener en 5 años 6000000 COP si la tasa de interés es del 7% compuesto continuamente?
-
Una inversión de 300 dólares se capitaliza continuamente a una tasa de interés anual del 7,5% ¿Cuál será el valor de la inversión después de 72 meses?
-
El número de personas que viven en un pueblo es de 10000. Si después de una década hay 20000 personas. Calcule cuántas personas habrá a los 15 años (partiendo desde el inicio), y en qué momento se llegará a los 50000 habitantes.
-
En el año 2000 la población mundial era de 6.6 mil millones de personas con una tasa de crecimiento de 300 mil personas por día . Calcule con esa tasa de crecimiento cuántas personas se esperan para el 2018.
-
Si en una base de datos el número de datos se triplicó en 7 horas. ¿Cuánto tardó en duplicarse?
-
Una cadena de bloques crece a un ritmo de 20 bloques por hora cuando hay 400 bloques. ¿Cuántos bloques hay después de 5 horas? ¿En cuánto tiempo se duplicarán el número de bloques?
-
Actualmente tienes 1500 amigos en Facebook. Tu red de amigos de Facebook crece actualmente a una tasa de 10 amigos nuevos por semana, ¿cuánto tiempo tardarás en alcanzar el límite permitido de los 5000 amigos en Facebook?
-
Un cuerpo se calienta a 90° y se expone al aire libre con una temperatura de 13°. Si al cabo de una hora su temperatura es de 40° ¿En cuánto tiempo alcanzará los 23°?
https://www.youtube.com/watch?v=McSN9g7DbYA
Que es la trasformada de la place? Es una integral impropia de varias variables y que esta definida. Cuando hablamos de la trasformada de laplace, es cuando ingresamos una función y obtenemos otra función.
Sabemos que la integral es
Para laplace
Cuando el limite es igual a infinito diverge, si tiene un valor decimos que converge
Tablas de transformada de laplace
Constante
Exponencial
Seno y coseno
- Producto por una constante
- Linealidad
- Traslación
- Derivada
Función escalon unitario
Soluciones
ejercicio N 1: 3/((s-25)^2 + 9) ejercicio N 2: (48 -12s + 6s^2 - s^3)/s^4 ejercicio N 3: 1/(s-3) - 4/s + 1/(s+4) ejercicio N 4: 2 + 5/2t^2 + 1/6sin6t ejercicio N 5: (4(7)^-1)/7*cosht(7)^-1
https://es.symbolab.com/solver/ordinary-differential-equation-calculator/