power-analysis.qmd

# 统计检验的功效 {#sec-power-analysis}

```{r}
#| echo: false

source("_common.R")
```

::: hidden
$$
 \def\bm#1{{\boldsymbol #1}}
$$
:::

## 三大检验方法

统计检验的一般方法。

### Wald 检验 {#sec-wald-test}

### Wilks 检验 {#sec-wilks-test}

也叫似然比检验

### Rao 检验 {#sec-rao-test}

也叫得分检验

## t 检验的功效

检验的功效常用于样本量的计算

`power.t.test()` 计算单样本或两样本的 t 检验的功效，或者根据功效计算参数，如样本量

```{r}
#| label: fig-power-t-test
#| fig-cap: "t 检验的功效"
#| fig-width: 5.5
#| fig-height: 3.5
#| dev: 'tikz'
#| fig-process: !expr to_png
#| code-fold: true
#| echo: !expr knitr::is_html_output()

library(ggplot2)
n <- 30 # 样本量（只是一个例子）
x <- seq(from = 0, to = 12, by = 0.01)
dat <- data.frame(xx = x / sqrt(n), yy = 2 * (1 - pt(x, n - 1)))
ggplot(data = dat, aes(x = xx, y = yy)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  geom_vline(xintercept = c(0.01, 0.2, 0.5, 0.8, 1.2, 2), linetype = 2) +
  theme_classic(base_size = 13) +
  labs(x = "$d = \\frac{t}{\\sqrt{n}}$", 
       y = "$2(1 - \\mathrm{pt}(x, n - 1))$")
```

```{r}
power.t.test(
  n = 100, delta = 2.2,
  sd = 1, sig.level = 0.05,
  type = "two.sample",
  alternative = "two.sided"
)
```

| 参数          | 含义                                                                            |
|:--------------|:-------------------------------------------------------|
| `n`           | 每个组的样本量                                                                  |
| `delta`       | 两个组的均值之差                                                                |
| `sd`          | 标准差，默认值 1                                                                |
| `sig.level`   | 显著性水平，默认是 0.05 （犯第 I 类错误的概率）                                 |
| `power`       | 检验的功效（1 - 犯第 II 类错误的概率）                                          |
| `type`        | t 检验的类型 `"two.sample"` 两样本、`"one.sample"` 单样本或 `"paired"` 配对样本 |
| `alternative` | 单边或双边检验，取值为 `"two.sided"` 或 `"one.sided"`                           |

: 函数 `power.t.test()` 的参数及其含义 {#tbl-power-t-test}

参数 `n`，`delta`，`power`，`sd` 和 `sig.level` 必须有一个值为 `NULL`，为 `NULL` 的参数是由其它参数决定的。

```{r}
# 前面 t 检验的等价功效计算
library(pwr)
pwr.t.test(
  d = 2.2 / 6.4,
  n = 100,
  sig.level = 0.05,
  type = "two.sample",
  alternative = "two.sided"
)
```

sleep 数据集为例，计算功效

```{r}
# 分组计算均值
aggregate(data = sleep, extra ~ group, FUN = mean)
# 分组计算标准差
aggregate(data = sleep, extra ~ group, FUN = sd)
# 代入计算功效
power.t.test(
  delta = 2.33 - 0.75,            # 两组均值之差
  sd = (2.002249 + 1.789010) / 2, # 标准差
  sig.level = 0.05,         # 显著性水平
  type = "two.sample",      # 两样本
  power = 0.95,             # 功效水平
  alternative = "two.sided" # 双边检验
)
```

经检验，上面取两组的平均方差代替共同方差和下面精确计算的结果差不多。各组至少需要 39 个样本。**MKpower** 包精确计算 Welch t 检验的功效

```{r}
#| eval: false

library(MKpower)
power.welch.t.test(
  delta = 2.33 - 0.75,
  sd1 = 2.002249,
  sd2 = 1.789010,
  sig.level = 0.05,
  power = 0.95,
  alternative = "two.sided"
)
```

我国著名统计学家许宝騄先生对此功效计算方法做出过巨大贡献。

## 比例检验的功效

```{r}
# power.prop.test()
```

`power.prop.test()` 计算两样本比例检验的功效

功效可以用来计算实验所需要的样本量，检验统计量的功效越大/高，检验方法越好，实验所需要的样本量越少

```{r}
# p1 >= p2 的检验 单边和双边检验
power.prop.test(
  p1 = .65, p2 = 0.6, sig.level = .05,
  power = 0.90, alternative = "one.sided"
)

power.prop.test(
  p1 = .65, p2 = 0.6, sig.level = .05,
  power = 0.90, alternative = "two.sided"
)
```

**pwr** 包 `pwr.2p.test()` 函数提供了类似 `power.prop.test()` 函数的功能

```{r}
library(pwr)
# 明确 p1 > p2 的检验
# 单边检验拆分更加明细，分为大于和小于
pwr.2p.test(
  h = ES.h(p1 = 0.65, p2 = 0.6),
  sig.level = 0.05, power = 0.9, alternative = "greater"
)
```

已知两样本的样本量不等，检验 H_0: $p_1 = p_2$ H_1: $p_1 \neq p_2$ 的功效

```{r}
pwr.2p2n.test(
  h = 0.30, n1 = 80, n2 = 245,
  sig.level = 0.05, alternative = "greater"
)
```

h 表示两个样本的差异，计算得到的功效是 0.75

## 方差分析的功效

`power.anova.test()` 计算平衡的单因素方差分析检验的功效

```{r}
power.anova.test(
  groups = 4,       #  4 个组  
  between.var = 1,  # 组间方差为 1
  within.var = 3,   # 组内方差为 3
  power = 0.95      # 1 - 犯第二类错误的概率
)
```

```{r}
library(pwr)
# f 是如何和上面的组间/组内方差等价指定的
pwr.anova.test(
  k = 4,            # 组数
  f = 0.5,          # 效应大小
  sig.level = 0.05, # 显著性水平
  power = 0.95      # 检验的效
)
```