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面试题 14- II. 剪绳子 II

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

 

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

 

提示：

  • 2 <= n <= 1000

注意：本题与主站 343 题相同：https://leetcode.cn/problems/integer-break/

解法

方法一：数学（快速幂）

当 $n \lt 4$，此时 $n$ 不能拆分成至少两个正整数的和，因此 $n - 1$ 是最大乘积。当 $n \ge 4$ 时，我们尽可能多地拆分 $3$，当剩下的最后一段为 $4$ 时，我们将其拆分为 $2 + 2$，这样乘积最大。

时间复杂度 $O(\log n)$，空间复杂度 $O(1)$。

Python3

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        if n < 4:
            return n - 1
        if n % 3 == 0:
            return pow(3, n // 3, mod)
        if n % 3 == 1:
            return (pow(3, n // 3 - 1, mod) * 4) % mod
        return pow(3, n // 3, mod) * 2 % mod

Java

class Solution {
    private final int mod = (int) 1e9 + 7;

    public int cuttingRope(int n) {
        if (n < 4) {
            return n - 1;
        }
        if (n % 3 == 0) {
            return qpow(3, n / 3);
        }
        if (n % 3 == 1) {
            return (int) (4L * qpow(3, n / 3 - 1) % mod);
        }
        return 2 * qpow(3, n / 3) % mod;
    }

    private int qpow(long a, long n) {
        long ans = 1;
        for (; n > 0; n >>= 1) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ans = ans * a % mod;
            }
            a = a * a % mod;
        }
        return (int) ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if (n < 4) {
            return n - 1;
        }
        const int mod = 1e9 + 7;
        auto qpow = [&](long long a, long long n) {
            long long ans = 1;
            for (; n; n >>= 1) {
                if (n & 1) {
                    ans = ans * a % mod;
                }
                a = a * a % mod;
            }
            return (int) ans;
        };
        if (n % 3 == 0) {
            return qpow(3, n / 3);
        }
        if (n % 3 == 1) {
            return qpow(3, n / 3 - 1) * 4L % mod;
        }
        return qpow(3, n / 3) * 2 % mod;
    }
};

Go

func cuttingRope(n int) int {
	if n < 4 {
		return n - 1
	}
	const mod = 1e9 + 7
	qpow := func(a, n int) int {
		ans := 1
		for ; n > 0; n >>= 1 {
			if n&1 == 1 {
				ans = ans * a % mod
			}
			a = a * a % mod
		}
		return ans
	}
	if n%3 == 0 {
		return qpow(3, n/3)
	}
	if n%3 == 1 {
		return qpow(3, n/3-1) * 4 % mod
	}
	return qpow(3, n/3) * 2 % mod
}

Rust

impl Solution {
    pub fn cutting_rope(mut n: i32) -> i32 {
        if n < 4 {
            return n - 1;
        }
        let mut res = 1i64;
        while n > 4 {
            res = (res * 3) % 1000000007;
            n -= 3;
        }
        ((res * (n as i64)) % 1000000007) as i32
    }
}

JavaScript

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var cuttingRope = function (n) {
    if (n < 4) {
        return n - 1;
    }
    const mod = 1e9 + 7;
    const qpow = (a, n) => {
        let ans = 1;
        for (; n; n >>= 1) {
            if (n & 1) {
                ans = Number((BigInt(ans) * BigInt(a)) % BigInt(mod));
            }
            a = Number((BigInt(a) * BigInt(a)) % BigInt(mod));
        }
        return ans;
    };
    const k = Math.floor(n / 3);
    if (n % 3 === 0) {
        return qpow(3, k);
    }
    if (n % 3 === 1) {
        return (4 * qpow(3, k - 1)) % mod;
    }
    return (2 * qpow(3, k)) % mod;
};

C#

public class Solution {
    public int CuttingRope(int n) {
        if (n < 4) {
            return n - 1;
        }
        int res = 1;
        while (n > 4) {
            res *= 3;
            n -= 3;
        }
        if (n == 4) {
            return (res << 2) % 1000000007;
        }
        return (res * n) % 1000000007;
    }
}

Swift

class Solution {
    private let mod = 1000000007

    func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
        if n < 4 {
            return n - 1
        }
        if n % 3 == 0 {
            return qpow(3, n / 3)
        }
        if n % 3 == 1 {
            return (4 * qpow(3, n / 3 - 1)) % mod
        }
        return (2 * qpow(3, n / 3)) % mod
    }

    private func qpow(_ a: Int, _ n: Int) -> Int {
        var a = a
        var n = n
        var ans: Int = 1
        while n > 0 {
            if (n & 1) == 1 {
                ans = (ans * a) % mod
            }
            a = (a * a) % mod
            n >>= 1
        }
        return ans
    }
}