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example2-edm-correction.py
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#!/usr/bin/env python3
# @author [email protected]
# @author [email protected]
# @date 10/05/2019
import numpy as np
import sys
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
matplotlib.rcParams["text.usetex"] = True
matplotlib.rcParams["font.size"] = 12
matplotlib.rcParams['text.latex.preamble'] = [
r'\usepackage{xfrac}']
example = "Quartic"
#############################################################################
# EDM correction for the left-hand side
#############################################################################
def kx(x):
return 1 / (4*(x/delta)-(3-2*np.log(x/delta))*x*x/delta/delta)
#############################################################################
# EDM correction for the right-hand side
#############################################################################
def kx2(x):
return 1 / (4*((1-x)/delta)-(3-2*np.log((1-x)/delta))*(1-x)*(1-x)/delta/delta)
#############################################################################
# Solve the system
#############################################################################
def solve(M,f):
return np.linalg.solve(M,f)
#############################################################################
# Exact solution
#############################################################################
def exactSolution(x):
if example == "Cubic":
return x*(3.-x)*(3.+x)/6.
elif example == "Quartic":
return x*(16.-x*x*x)/12.
elif example == "Quadratic":
return x*(4.-x)/2.
elif example == "Linear":
return x
else:
print("Error: Either provide linear or quadratic")
sys.exit()
#############################################################################
# Loading
#############################################################################
def f(x):
if example == "Cubic":
return x
elif example == "Quartic":
return x*x
elif example == "Quadratic":
return 1
elif example == "Linear":
return 0
else:
print("Error: Either provide linear or quadratic")
sys.exit()
#############################################################################
# Assemble the stiffness matrix for the extended domain model (EMD)
#############################################################################
def EDM(n,h):
MEDM = np.zeros([n,n])
MEDM[0][0] = 1.
MEDM[1][0] = -6.
MEDM[1][1] = 11.
MEDM[1][2] = -4.
MEDM[1][3] = -1.
for i in range(2,n-2):
MEDM[i][i-2] = -1.
MEDM[i][i-1] = -4.
MEDM[i][i] = 10.
MEDM[i][i+1] = -4.
MEDM[i][i+2] = -1.
MEDM[n-2][n-1] = -6.
MEDM[n-2][n-2] = 11.
MEDM[n-2][n-3] = -4.
MEDM[n-2][n-4] = -1.
MEDM[n-1][n-1] = 12.*h
MEDM[n-1][n-2] = -16.*h
MEDM[n-1][n-3] = 4.*h
MEDM *= 1./(8.*h*h)
return MEDM
#############################################################################
# Assemble the stiffness matrix for the corrected extended domain model (EMD)
#############################################################################
def EDMCORRECTION(n,h):
MEDM = np.zeros([n,n])
MEDM[0][0] = 1.
MEDM[1][0] = -6. * kx(x[1]) / 8 / h / h
MEDM[1][1] = 11. * kx(x[1]) / 8 / h / h
MEDM[1][2] = -4. * kx(x[1]) / 8 / h / h
MEDM[1][3] = -1. * kx(x[1]) / 8 / h / h
MEDM[2][0] = -1. * kx(x[2]) / 8 / h / h
MEDM[2][1] = -4. * kx(x[2]) / 8 / h / h
MEDM[2][2] = 10. * kx(x[2]) / 8 / h / h
MEDM[2][3] = -4. * kx(x[2]) / 8 / h / h
MEDM[2][4] = -1. * kx(x[2]) / 8 / h / h
for i in range(3,n-3):
MEDM[i][i-2] = -1. / 8 / h / h
MEDM[i][i-1] = -4. / 8 / h / h
MEDM[i][i] = 10. / 8 / h / h
MEDM[i][i+1] = -4. / 8 / h / h
MEDM[i][i+2] = -1. / 8 / h / h
MEDM[n-3][n-5] = -1. * kx2(x[n-3]) / 8 / h / h
MEDM[n-3][n-4] = -4. * kx2(x[n-3]) / 8 / h / h
MEDM[n-3][n-3] = 10. * kx2(x[n-3]) / 8 / h / h
MEDM[n-3][n-2] = -4. * kx2(x[n-3]) / 8 / h / h
MEDM[n-3][n-1] = -1. * kx2(x[n-3]) / 8 / h / h
MEDM[n-2][n-1] = -6. * kx2(x[n-2]) / 8 / h / h
MEDM[n-2][n-2] = 11. * kx2(x[n-2]) / 8 / h / h
MEDM[n-2][n-3] = -4. * kx2(x[n-2]) / 8 / h / h
MEDM[n-2][n-4] = -1. * kx2(x[n-2]) / 8 / h / h
MEDM[n-1][n-1] = 3 / 2 / h
MEDM[n-1][n-2] = -4 / 2 / h
MEDM[n-1][n-3] = 1 / 2 / h
return MEDM
#############################################################################
# Assemble the stiffness matrix for the corrected extended domain model (EMD)
#############################################################################
def EDMCORRECTION2(n,h):
factor = 8/7
MEDM = np.zeros([n,n])
MEDM[0][0] = 1.
MEDM[1][0] = -6. * factor
MEDM[1][1] = 11. * factor
MEDM[1][2] = -4. * factor
MEDM[1][3] = -1. * factor
for i in range(2,n-2):
MEDM[i][i-2] = -1.
MEDM[i][i-1] = -4.
MEDM[i][i] = 10.
MEDM[i][i+1] = -4.
MEDM[i][i+2] = -1.
MEDM[n-2][n-1] = -6. * factor
MEDM[n-2][n-2] = 11. * factor
MEDM[n-2][n-3] = -4. * factor
MEDM[n-2][n-4] = -1. * factor
MEDM[n-1][n-1] = 12.*h
MEDM[n-1][n-2] = -16.*h
MEDM[n-1][n-3] = 4.*h
MEDM *= 1./(8.*h*h)
return MEDM
#############################################################################
# Loading for the LLEM and VHM
#############################################################################
def force(n,h):
force = np.zeros(n)
for i in range(1,n-1):
force[i] = f(i * h)
force[n-1] = 1
return force
#############################################################################
# Compute the maximum relative error for the LLEM, the EDM, and the VHM
#############################################################################
def error(n,h,u):
e = []
for i in range(1,n):
e.append(abs((exactSolution(i*h)-u[i])/exactSolution(i*h)))
return max(e)
#############################################################################
# Compute error at each grid point
#############################################################################
def errorplot(n,h,u):
ep = []
for i in range(0,n):
ep.append(exactSolution(i*h)-u[i])
return ep
#############################################################################
#Computation
#############################################################################
markers = ['s','o','x','.']
print("n,delta,EDM,EDMCorrection1,EDMCorrection2")
for i in range(4,8):
n = np.power(2,i)
h = 1./n
nodes = n+1
delta = 2*h
x = np.linspace(0,1.,nodes)
uEDM = solve(EDM(nodes,h),force(nodes,h))
uEDMCORRECTION = solve(EDMCORRECTION(nodes,h),force(nodes,h))
uEDMCORRECTION2 = solve(EDMCORRECTION2(nodes,h),force(nodes,h))
plt.scatter(x,uEDMCORRECTION-exactSolution(x),color='black',marker=markers[i-4],label="$\delta="+str(delta)+"$")
print(str(n)+","+str(2*h)+","+str(error(nodes,h,uEDM))+","+str(error(nodes,h,uEDMCORRECTION))+","+str(error(nodes,h,uEDMCORRECTION2)))
plt.grid()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Error in displacement")
plt.title("Example with Quartic Solution using EDM I")
plt.legend()
plt.savefig("EDM-Corrected-Error-"+example+"Solution.pdf",bbox_inches='tight')
plt.cla()
for i in range(4,8):
n = np.power(2,i)
h = 1./n
nodes = n+1
delta = 2*h
x = np.linspace(0,1.,nodes)
uEDMCORRECTION2 = solve(EDMCORRECTION2(nodes,h),force(nodes,h))
plt.scatter(x,uEDMCORRECTION2-exactSolution(x),color='black',marker=markers[i-4],label="$\delta="+str(delta)+"$")
plt.grid()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Error in displacement")
plt.title("Example with Quartic Solution using EDM II")
plt.legend()
plt.savefig("EDM-Corrected-Error-2-"+example+"Solution.pdf",bbox_inches='tight')
plt.cla()
delta=0
for i in range(5,6):
n = np.power(2,i)
h = 1./n
nodes = n+1
delta = 2*h
x = np.linspace(0,1.,nodes)
uEDM = solve(EDM(nodes,h),force(nodes,h))
uEDMCORRECTION = solve(EDMCORRECTION(nodes,h),force(nodes,h))
uEDMCORRECTION2 = solve(EDMCORRECTION2(nodes,h),force(nodes,h))
plt.plot(x,abs(uEDM-exactSolution(x)),color='black',linestyle="-",label="EDM")
plt.plot(x,abs(uEDMCORRECTION-exactSolution(x)),color='black',linestyle=":",label="EDM I")
plt.plot(x,abs(uEDMCORRECTION2-exactSolution(x)),color='black',linestyle="-.",label="EDM II")
plt.grid()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Absolute error in displacement")
plt.title("Accuracy Study with Quartic Solution for $\delta="+str(delta)+"$")
plt.legend()
plt.savefig("EDM-Corrected-Comparison-"+example+"Solution.pdf",bbox_inches='tight')