seminar27.tex.qq

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{needspace}

% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tikz,pgf,pgfplots}
\tikzset{>=latex,graph/.style={thick}}
\title{Семинар 27}
\date{11 декабря 2020}
\begin{document}
{\footnotesize

\noindent Некоторые задачи основаны на учебнике \emph{Stewart J. Calculus, Early
Transcedentals}.}

\problem
    При каких значениях $\alpha\in \mathbb R$ интеграл сходится? Найти значение
    интеграла для всех тех значений $\alpha$, для которых он сходится.
    \items \multicols 2
        \item \eq \int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha}
        \item \eq \int_0^1 \frac{dx}{x^\alpha}
        \item \eq \int_0^\infty \frac{dx}{x^\alpha}
        \item \homework 
            \eq \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^\alpha}
\problem
    Рассмотрим пределы
    \begin{gather*}
        A=\lim_{t \to 0^+} \int_{-1}^{-t} \frac{dx}{x}+\int_{t}^1 \frac{dx}{x}\\\\
        B=\lim_{t \to 0^+} \int_{-1}^{-t} \frac{dx}{x} + \int_{t^2}^1
        \frac{dx}{x}
    \end{gather*}
    Покажите, что $A\ne B$.

\begin{remark}
    Эта задача показывает, что интеграл    
    $$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x}$$
    действительно не определён, хоть это и интеграл от нечётной функции по
    симметричному отрезку. Если бы он был
    определён, было бы логично ожидать, что его значение равно и пределу $A$, и
    пределу $B$.
\end{remark}
\problem
    Найти значение несобственного интеграла, если интеграл сходится.
    \items \multicols 2
        \item \eq \int_{-2}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x}}
        \item \eq \int_{-1}^1 \frac{dx}{x\sqrt{|x|}}
        \item \eq \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1}
        \item \eq \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2-1}
        \item \homework
            \eq \int_1^\infty xe^{-x^2}\,dx
        \item \eq \int_1^\infty \frac{\ln x}{x}dx
        \item \homework
            \eq \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2 \, dx}{9+x^6}
        \item \eq \int_{-3}^3 \frac{dx}{x^3-x}
        \item \eq \int_{-1}^0 \frac{e^{1/x}}{x^3}dx
        \item \homework
            \eq \int_{0}^1 \frac{e^{1/x}}{x^3}dx
        \item \eq \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}
        \item \eq \int_{-\infty}^\infty \frac{x(\cos x+1)}{e^{x^2}}dx
\problem
    Сходится ли интеграл?
    \items \multicols 2
        \item
            \eq
                \int_0^\infty \frac{x\,dx}{x^2+1}
        \item
            \eq
                \int_1^\infty \frac{2+e^{-x}}{x}dx
        \item \homework
            \eq
                \int_1^\infty \frac{x+1}{\sqrt{x^4-x}}dx
        \item
            \eq
                \int_0^\pi\frac{\sin^2 x}{\sqrt{x}} dx
\problem
    При каких значениях $\alpha$ интеграл сходится? Найти значение интеграла для
    тех $\alpha$, при которых он сходится.
    \items \multicols 2
        \item \eq \int_0^1 x^\alpha \ln x\,dx
        \item \homework
            \eq \int_e^{\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha}
\problem
    Найти интеграл
    \eq
        \int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx
    для всех $n \in \mathbb N$.
\problem
    Доказать равенство
    \items
        \item
            \eq
                \int_0^\infty x^2 e^{-x^2}\,dx=
                \frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx
        \item
            \eq
                \int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\int_0^1\sqrt{-\ln y}\,dy
        
\end{document}