forked from ischurov/calculus-exercises
-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
seminar01.tex.qq
163 lines (152 loc) · 10.9 KB
/
seminar01.tex.qq
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\newcommand{\GCD}{\text{НОД}}
\title{Семинар 1}
\date{1 сентября 2021}
\begin{document}
\comment{Курсивом выделены комментарии для преподавателей. Они будут отключены в
итоговой версии, раздаваемой студентам.}
\noindent Знаком \homework отмечены задачи или пункты для самостоятельного решения. Их не
планируется обсуждать на семинаре, но они могут быть включены в самостоятельную
работу наравне с остальными задачами.
\problem
Рассмотрим отображение $f\colon \\{\mathtt{a}, \mathtt{b}, \mathtt{c},
\mathtt{d}\\}\to \\{1, 2, 5\\}$, заданное следующим образом:
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\hline
$x$ & $f(x)$ \\\\ \hline
$\mathtt{a}$ & 2 \\\\
$\mathtt{b}$ & 1 \\\\
$\mathtt{c}$ & 2 \\\\
$\mathtt{d}$ & 5 \\\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Является ли оно
\items \multicols 3
\item
инъективным;
\item
сюрьективным;
\item
биективным?
\problem
Рассмотрим отображение $g\colon \mathbb N \to \mathbb N$, заданное
следующим образом: $f(x)=x^2$.
Является ли оно
\items \multicols 3
\item
инъективным;
\item
сюрьективным;
\item
биективным?
\correction{Зачем две разных буквы - f и g?}
\problem \homework
Рассмотрим отображение $g\colon \mathbb Z \to \mathbb Z$, заданное
следующим образом: $f(x)=x^2$.
Является ли оно
\items \multicols 3
\item
инъективным;
\item
сюрьективным;
\item
биективным?
\correction{Аналогично: зачем две разных буквы - f и g?}
\problem (*) \skiptest
Докажите, что если существует инъективное отображение $f\colon X \to Y$ и
инъективное отображение $g\colon Y\to X$, то существует биективное
отображение $h\colon X \to Y$.
\correction{Это теорема Кантора-Бернштейна. Для случая конечных множеств ее доказать несложно, и студенты предложили такое доказательство: f: X->Y необязательно сюрьективно, тогда могут найтись игреки, у которых нет прообраза по f. значит, мощность множества Y "больше", чем мощность X. если это так, то нельзя построить инъективное g: Y->X (обратно из "большего" в "меньшее"). Но эта идея просто так не сработает для бесконечных множеств. Потому, кажется, в этой задаче лучше ограничиться конечными случаем, а для бесконечных дать почитать дома доказательство Кёнига, например.}
\problem
Доказать, что квадратный корень из любого простого числа иррационален.
\problem
Может ли
\items
\item сумма двух рациональных чисел быть иррациональным числом?
\item \homework сумма рационального и иррационального — рациональным?
\item сумма двух иррациональных чисел — рациональным числом?
\item \homework произведение двух иррациональных чисел — рациональным числом?
\problem
Доказать, что рациональные числа всюду плотны, то есть для любого интервала
$(a; b)$, $b > a$, существует бесконечное количество рациональных чисел,
принадлежащих этому интервалу.
\comment{Можно построить сколько угодно конечных десятичных дробей,
например.}
\correction{Мне кажется, надо написать "Докажите, что рациональные числа всюду плотны (в $\mathbb{R}$), то есть...". То есть что границы интервала a и b мы можем брать любые вещественные. А то можно подумать, что a и b сами рациональные, и тогда между ними все еще можно найти хотя бы одно рациональное, что тоже верно, но вещественных "больше", чем рациональных, и то, что рациональные всюду плотны в них - кажется, более "сильное" утверждение}
\problem \homework
Доказать, что число $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ является иррациональным.
\problem \skiptest
Доказать, что любое рациональное число задается бесконечной периодической
десятичной дробью (быть может, с периодом (0)).
\comment{С помощью деления уголком.}
\problem
Доказать, что иррациональные числа тоже всюду плотны.
\comment{Можно делать бесконечные непериодические дроби. Или, скажем, можно
построить иррациональное число, меньшее длины интервала, например,
разделив корень из двух на достаточно большое число, и с помощью него
показать, что хотя бы одно иррациональное есть, ну а там легко сделать и
два, и сколько угодно.}
\problem \skiptest
Чему равняется $1-0{,}(9)$?
\comment{На лекции я говорил, что $0{,}9$ равно 1 (взял $1/3$, перевёл в
десятичную форму и умножил на 3), но может быть это лучше повторить.}
\problem \skiptest
Доказать, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь задает
рациональное число.
\comment{Можно сослаться на школьную формулу про сумму бесконечной
геометрической прогрессии, но нужно оговориться, что аккуратнее мы
про это поговорим, когда будем обсуждать пределы.}
\problem \skiptest
Представьте, что вы — древний грек. Что вы можете сказать о числе $\pi$? Как
доказать, используя только геометрические рассуждения, что $\pi>3$? Что
$\pi<4$? Можете ли вы доказать более точные оценки?
\comment{Тут можно пользоваться утверждением, что отрезок — кратчайшая
кривая, соединяющая две точки, без доказательства. Древние греки,
вероятно, не заморачивались :)}
\problem
Пусть $a$ и $b$ -- целые числа и $a = b q + r$, где $q$ и $r$ тоже целые
числа. Докажите, что в этом случае $\GCD(a, b)=\GCD(b, r)$.
\problem \skiptest
(Алгоритм Евклида)
Пусть $a$ и $b$ — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
\eq
a > b > r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \ldots r_{n-1}> r_n > r_{n+1}=0,
определена следующим образом: каждое $r_{k}$ — это остаток от деления
предпредыдущего числа на предыдущее, а $r_{n-1}$ делится на $r_n$ нацело.
Докажите, что $\GCD(a, b)=r_n$
\problem
Найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел
\items \multicols 3
\item \skiptest
6 и 15.
\item 228 и 60.
\item \homework 312 и 22
\problem \skiptest
Покрыть прямоугольник
\items \multicols 3
\item $6\times 15$
\item $228\times 60$
\item \homework $312 \times 22$
одинаковыми квадратами с максимально возможной стороной.
\comment{См.
\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm}{статью в Википедии}, раздел Visualization}
\problem (*) \skiptest
С помощью алгоритма Евклида доказать, что для любых натуральных чисел $m$ и
$n$ найдутся такие целые числа $s$ и $t$, что $sm+tn=\GCD(m,n)$.
Однозначным ли образом они определены?
\comment{Нет, коэффициенты $s$ и $t$ (называемые коэффициентами Безу)
определяются не однозначно}
\problem \skiptest
С помощью предыдущей задачи доказать утверждение: если $p$ и $q$ взаимно
просты, и при этом $np$ делится на $q$, то $n$ делится на $q$. (Все числа —
целые.)
\problem \skiptest
С помощью предыдущей задачи доказать единственность представления
рационального числа в виде несократимой дроби. Иными словами, если $m/n=p/q$
и при этом $m$ и $n$ взаимно просты и $p$ и $q$ взаимно просты, то $m=p$ и
$n=q$.
\end{document}