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乘法.md

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机器码中看到的 , 是用来区分符号位和数值位的，并不实际意义

二进制的乘法运算和十进制乘法运算是一样的，都是采用：被乘数绝对值和乘数绝对值的每位相乘，然后错位相加

[x]原 = 1.1101，[y]原 = 0.1011

  • 1.1101 × 0.1011 = 1.10001111
    • 0.1101 × 0.0001 = 0.00001101
    • 0.1101 × 0.001 = 0.0001101
    • 0.1101 × 0.00 = 0.000000
    • 0.1101 × 0.1 = 0.01101
  • 错位相加：0.00001101 + 0.0001101 + 0.000000 + 0.01101 = 0.10001111
  • 符号位进行异或运算：1 ⊕ 0 = 1
  • 最终结果：1.10001111

这个是我们人类通过竖式计算得到出结果，那么计算机要怎么实现这个步骤呢？难道也是像人类一样，被乘数和乘数每位相乘，然后在错位相加？

这样做的话，乘数有多少位，就需要多少个寄存器，这就增加了硬件成本。

那计算机该如何实现乘法呢？

通过前面的学习，我们知道运算器是由 ACC 、MQ、X、ALU 组成。

ALU 是运算器的核心，计算的功能是由这部分它来完成的。ACC 、MQ、X，它们是用来暂存操作和中间结果，通过指令交由 ALU 处理。

在乘法运算中，各寄存器有各种不同的作用：

  • ACC：乘积高位
  • MQ：乘数，乘积低位
  • X：被乘数

原码一位乘法

原码的一位乘法最终的运算结果是：ACC + MQ，运算结果的符号位单独处理：被乘数符号位 ⊕ 乘数符号位。

运算过程

在原码的一位乘法中，进行 n 轮加法和移位

  • 每次加法可能是 +0 或 +[|x|]原，需要根据 MQ 最后一位来判断
    • MQ 最低位是 1，则 (ACC) + [|x|]原
    • MQ 最低位是 0，则 (ACC) + 0
  • 每次移位是逻辑右移
  • MQ 最后一位是符号位的话不参与运算（到此运算结束）
  • 运算结果的符号位：被乘数和乘数的符号位进行异或运算
  • 运算结果数值位：ACC + MQ

计算步骤

步骤 操作 ACC MQ X
1 ACC 置 0 0,0000 0,1011 0,1101
2 MQ 末尾是 1，ACC + X = 00000 + 01101 0,1101 0,1011 0,1101
3 逻辑右移一位 0,0110 10,101 0,1101
4 MQ 末尾是 1，ACC + X = 00110 + 01101 1,0011 10,101 0,1101
5 逻辑右移一位 0,1001 110,10 0,1101
6 MQ 末尾是 0，ACC + 0 = 01001 + 0 0,1001 110,10 0,1101
7 逻辑右移一位 0,0100 1110,1 0,1101
8 MQ 末尾是 1，ACC + X = 00100 + 01101 1,0001 1110,1 0,1101
9 逻辑右移一位，MQ 最后一位是符号位，运算结束 0,1000 11110, 0,1101
10 最终符号：被乘数符号位 ⊕ 乘数符号位 = 1 ⊕ 0 = 1 - - -

第9步，右移一位后，符号位移动到最后了，在原码的一位乘法中，最后一位符号位是不参与运算的。

所以最终的结果是 1.10001111

补码一位乘法

补码的一位乘法中 MQ 需要使用到辅助位，所以在最后一位补 0(称为辅助位，原本的最后一位称为最低位)

  • ACC 在高位补 0
  • X 在高位补充一位符号位（符号位是 0 补 0，是 1 补 1）

它的最终运算结果是 ACC + MQ 符号位前的值，运算结果的符号就是 ACC 最终结果的符号位。

运算过程

在补码的一位乘法中，进行 n 轮加法和移位

  • 每次加法可能是 +0 或 +[x]补 或 +[-x]补，需要根据 MQ 最后两个来判断
    • MQ 的最后一位称为辅助位，最后第二位称为最低位
    • 辅助位 - 最低位 = 1 时，则 (ACC) + [x]补
    • 辅助位 - 最低位 = 0 时，则 (ACC) + 0
    • 辅助位 - 最低位 = -1 时，则 (ACC) + [-x]补
  • 每次移位是算术右移
    • ACC 中符号位不参与移位，MQ 中符号参与移位
    • ACC 中正数右移，数值位补 0；负数右移，数值位补 1(符号位是啥就是啥)
  • MQ 最后一位是符号位也会参与运算
  • 运算结果的符号位：ACC 中最终结果的符号位
  • 运算结果：ACC + MQ 符号位前的值

计算步骤

在计算之前，需要先准备好被乘数的补码：[x]补 = 11.0011，[-x]补 = 00.1101

步骤 操作 ACC MQ X
1 ACC 置 0 00,0000 0,10110 11,0011
2 MQ(辅助位 - 最低位) = 0 - 1 = -1，ACC + [-x]补 = 000000 + 001101 00,1101 0,10110 11,0011
3 算术右移一位 00,0110 10,1011 11,0011
4 MQ(辅助位 - 最低位) = 1 - 1 = 0，ACC + 0 = 000110 + 000000 00,0110 10,1011 11,0011
5 算术右移一位 00,0011 010,101 11,0011
6 MQ(辅助位 - 最低位) = 1 - 0 = 1，ACC + [x]补 = 000011 + 11.0011 11,0110 010,101 11,0011
7 算术右移一位 11,1011 0010,10 11,0011
8 MQ(辅助位 - 最低位) = 0 - 1 = -1，ACC + [-x]补 = 11,1011 + 001101 00,1000 0010,10 11,0011
9 算术右移一位 00,0100 00010,1 11,0011
10 MQ(辅助位 - 最低位) = 1 - 0 = 1，ACC + [x]补 = 00,0100 + 110011 11,0111 00010,1 11,0011
11 最终符号：ACC 中的符号位：1 - - -

相比于原码的一位乘法，补码的一位乘法在第九步算术右移后，符号位也要参与运算，也是说比原码的一位乘法多一步加法操作

所以最终的结果是：1.01110001

总结

补码的一位乘法运算过程比原码的运算过程多一步加法运算。

假如说数值位是 4，原码的一位乘法逻辑右移 4 次，做 4 次加法运算；补码的一位乘法算术右移 4，做 5 次加法运算。

也就是说原码的一位乘法进行 n 次右移，n 次加法，补码的一位乘法进行 n 次右移，n + 1 次加法。