TVD限制器

[YinLiu-91]

1. 参考链接 https://zhuanlan.zhihu.com/p/612189005
2. 链接中的如下值，是根据 uh的含义和如何计算单元3个点处的结果 #6 中介绍的公式计算的：

   • $u_l=c_0-c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2$

   • $u_m=c_0-\frac{1}{3}c_2$

   • $u_r=c_0+c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2$
     

   • 从chiwang shu 的天元课程讲义中有(注意，均值是对 $uh=c_0+c_1x+c_2(x^2-1/3)$ 在-1，1上积分平均的结果，不是三个点的值简单相加再相除),经过积分后， $\bar{u}_i=c_0$ ：
     

   • 那么： $u_{i+1/2}-\bar{u}_i=c_0+c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2-(c_0)=c_1+2/3c_2$

   • 且： $\bar{u}_{i}-u=c_1-2/3c_2$ 截图中第二项好像不太对?

   • 因此利用下图公式可以得到 $c_1=\frac{minmod_1+minmod_2}{2}, c_2=\frac{3}{4}(minmod_1-minmod_2)$,即如下代码中的uhmod(i,2),uhmod(i,3)

   for i = 1:Nx  % 循环所有单元                                      
   deltaUR = uh(i,2) + (2/3)*uh(i,3);              % 单元右端值减去平均值
   deltaUL = uh(i,2) - (2/3)*uh(i,3);              % 单元平均值减去单元左端值？这里对？
   deltaURM = uhb(i + 2,1) - uhb(i + 1,1);         % 右单元平均值减去本单元平均值
   deltaULM = uhb(i + 1,1) - uhb(i,1);             % 本单元平均值减去左单元平均值
   
   deltaURM1 = minmod(deltaUR,deltaURM,deltaULM);
   deltaULM1 = minmod(deltaUL,deltaURM,deltaULM);
   
   uhmod(i,2) = (deltaURM1 + deltaULM1)/2;
   uhmod(i,3) = 3*(deltaURM1 - deltaULM1)/4;
   end

3. 利用minmod函数求new定义如下(minmod对于输入同号时才有非零值，不同号为0)，这时，能根据minmod定义求出下面方程右端项结果：
   
4. 将上图左端项与系数的关系求得如下：
   
   • 上图右端由minmod函数给出，那么此为2个未知量，2个方程，可以求出新的 $c_1,c_2$的结果，

[YinLiu-91]

总结TVD添加时新的系数计算方法

1. 求出minmod作为方程组的右端项
2. 求出含有系数的计算公式
3. 组成方程组，联立求解