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<title>协变导数与相互作用</title>
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<body><h1 id='协变导数与相互作用'>协变导数与相互作用</h1>
<p>伴向量丛上的协变导数<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.722ex" height="2.303ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -715 6065.2 1017.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.685ex;"><defs><path id="MJX-55-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path><path id="MJX-55-TEX-I-1D707" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 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<p>伴向量丛上任意元素<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.085ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4015.7 899" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.464ex;"><defs><path id="MJX-64-TEX-I-1D713" d="M161 441Q202 441 226 417T250 358Q250 338 218 252T187 127Q190 85 214 61Q235 43 257 37Q275 29 288 29H289L371 360Q455 691 456 692Q459 694 472 694Q492 694 492 687Q492 678 411 356Q329 28 329 27T335 26Q421 26 498 114T576 278Q576 302 568 319T550 343T532 361T524 384Q524 405 541 424T583 443Q602 443 618 425T634 366Q634 337 623 288T605 220Q573 125 492 57T329 -11H319L296 -104Q272 -198 272 -199Q270 -205 252 -205H239Q233 -199 233 -197Q233 -192 256 -102T279 -9Q272 -8 265 -8Q106 14 106 139Q106 174 139 264T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 299 34 333T82 404T161 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<p>将场<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.473ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 651 899" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.464ex;"><defs><path id="MJX-66-TEX-I-1D713" d="M161 441Q202 441 226 417T250 358Q250 338 218 252T187 127Q190 85 214 61Q235 43 257 37Q275 29 288 29H289L371 360Q455 691 456 692Q459 694 472 694Q492 694 492 687Q492 678 411 356Q329 28 329 27T335 26Q421 26 498 114T576 278Q576 302 568 319T550 343T532 361T524 384Q524 405 541 424T583 443Q602 443 618 425T634 366Q634 337 623 288T605 220Q573 125 492 57T329 -11H319L296 -104Q272 -198 272 -199Q270 -205 252 -205H239Q233 -199 233 -197Q233 -192 256 -102T279 -9Q272 -8 265 -8Q106 14 106 139Q106 174 139 264T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 299 34 333T82 404T161 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<p>以Dirac场为例，自由Dirac场的拉氏量为</p>
<div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n6" cid="n6" mdtype="math_block" data-math-tag-before="0" data-math-tag-after="1" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 29.584ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.07ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.469ex; min-width: 29.584ex;"><defs><path id="MJX-52-TEX-C-4C" d="M62 -22T47 -22T32 -11Q32 -1 56 24T83 55Q113 96 138 172T180 320T234 473T323 609Q364 649 419 677T531 705Q559 705 578 696T604 671T615 645T618 623V611Q618 582 615 571T598 548Q581 531 558 520T518 509Q503 509 503 520Q503 523 505 536T507 560Q507 590 494 610T452 630Q423 630 410 617Q367 578 333 492T271 301T233 170Q211 123 204 112L198 103L224 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<p>此拉氏量具有两个不变性——整体洛伦兹不变性和整体<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.627ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2045 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.566ex;"><defs><path id="MJX-72-TEX-I-1D448" d="M107 637Q73 637 71 641Q70 643 70 649Q70 673 81 682Q83 683 98 683Q139 681 234 681Q268 681 297 681T342 682T362 682Q378 682 378 672Q378 670 376 658Q371 641 366 638H364Q362 638 359 638T352 638T343 637T334 637Q295 636 284 634T266 623Q265 621 238 518T184 302T154 169Q152 155 152 140Q152 86 183 55T269 24Q336 24 403 69T501 205L552 406Q599 598 599 606Q599 633 535 637Q511 637 511 648Q511 650 513 660Q517 676 519 679T529 683Q532 683 561 682T645 680Q696 680 723 681T752 682Q767 682 767 672Q767 650 759 642Q756 637 737 637Q666 633 648 597Q646 592 598 404Q557 235 548 205Q515 105 433 42T263 -22Q171 -22 116 34T60 167V183Q60 201 115 421Q164 622 164 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type="math/tex">U(1)</script>不变性推广为局域<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.627ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2045 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.566ex;"><defs><path id="MJX-72-TEX-I-1D448" d="M107 637Q73 637 71 641Q70 643 70 649Q70 673 81 682Q83 683 98 683Q139 681 234 681Q268 681 297 681T342 682T362 682Q378 682 378 672Q378 670 376 658Q371 641 366 638H364Q362 638 359 638T352 638T343 637T334 637Q295 636 284 634T266 623Q265 621 238 518T184 302T154 169Q152 155 152 140Q152 86 183 55T269 24Q336 24 403 69T501 205L552 406Q599 598 599 606Q599 633 535 637Q511 637 511 648Q511 650 513 660Q517 676 519 679T529 683Q532 683 561 682T645 680Q696 680 723 681T752 682Q767 682 767 672Q767 650 759 642Q756 637 737 637Q666 633 648 597Q646 592 598 404Q557 235 548 205Q515 105 433 42T263 -22Q171 -22 116 34T60 167V183Q60 201 115 421Q164 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data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D448" xlink:href="#MJX-72-TEX-I-1D448"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-72-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1156,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-72-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1656,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-72-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container><script type="math/tex">U(1)</script>不变性，则会出现电磁场。这里为了简单起见仅考虑局域<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.627ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2045 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.566ex;"><defs><path id="MJX-72-TEX-I-1D448" d="M107 637Q73 637 71 641Q70 643 70 649Q70 673 81 682Q83 683 98 683Q139 681 234 681Q268 681 297 681T342 682T362 682Q378 682 378 672Q378 670 376 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type="math/tex">U(1)</script>不变性。此时拉氏量变为</p>
<div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n8" cid="n8" mdtype="math_block" data-math-tag-before="1" data-math-tag-after="2" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 38.36ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="17.07ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.969ex; min-width: 38.36ex;"><defs><path id="MJX-53-TEX-C-4C" d="M62 -22T47 -22T32 -11Q32 -1 56 24T83 55Q113 96 138 172T180 320T234 473T323 609Q364 649 419 677T531 705Q559 705 578 696T604 671T615 645T618 623V611Q618 582 615 571T598 548Q581 531 558 520T518 509Q503 509 503 520Q503 523 505 536T507 560Q507 590 494 610T452 630Q423 630 410 617Q367 578 333 492T271 301T233 170Q211 123 204 112L198 103L224 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transform="translate(3117.8,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D434"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(783,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D707" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D707"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4377.2,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6855.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7856,0)"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D45A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8734,0)"><use data-c="5D" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-5D"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9829.6,0)"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D713"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-773.9)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(967.8,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1055.8,0)"></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2023.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(436.5,255) translate(-250 0)"><use data-c="AF" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(817.7,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-53-TEX-LO-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(597,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D422" xlink:href="#MJX-53-TEX-B-1D422"></use></g></g><g data-mml-node="menclose" transform="translate(916,0)"><g transform="translate(267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D715"></use></g></g><line x1="33.5" y1="-255.5" x2="1066.5" y2="948.5" stroke-width="67"></line></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2238.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3238.4,0)"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D45A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4116.4,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-53-TEX-LO-29"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5531.1,0)"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6404.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(7404.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D422" xlink:href="#MJX-53-TEX-B-1D422"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7723.6,0)"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(8189.6,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(436.5,255) translate(-250 0)"><use data-c="AF" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="menclose" transform="translate(8840.6,0)"><g transform="translate(267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D434"></use></g></g><line x1="33.5" y1="-233.5" x2="1250.5" y2="949.5" stroke-width="67"></line></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10124.6,0)"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D713"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-2872.9)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(967.8,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1055.8,0)"></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2023.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(436.5,255) translate(-250 0)"><use data-c="AF" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-AF"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(817.7,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-53-TEX-LO-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(597,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D422" xlink:href="#MJX-53-TEX-B-1D422"></use></g></g><g data-mml-node="menclose" transform="translate(916,0)"><g transform="translate(267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D715" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D715"></use></g></g><line x1="33.5" y1="-255.5" x2="1066.5" y2="948.5" stroke-width="67"></line></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2238.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3238.4,0)"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D45A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4116.4,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-53-TEX-LO-29"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5531.1,0)"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6404.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(7404.6,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D434"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(783,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D707" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D707"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(8663.9,0)"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43D" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D43D"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(719.9,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D707" xlink:href="#MJX-53-TEX-I-1D707"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9860.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-2C"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -4022.4 1 7544.7"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:2"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-28"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-32" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="29" xlink:href="#MJX-53-TEX-N-29" transform="translate(889,0)"></use></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></div></div>
<p>当然，为了完整起见还需要加上电磁场的自由拉氏量，即Yang-Mills拉氏量</p>
<div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n10" cid="n10" mdtype="math_block" data-math-tag-before="2" data-math-tag-after="3" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 28.862ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.588ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.729ex; min-width: 28.862ex;"><defs><path id="MJX-54-TEX-C-4C" d="M62 -22T47 -22T32 -11Q32 -1 56 24T83 55Q113 96 138 172T180 320T234 473T323 609Q364 649 419 677T531 705Q559 705 578 696T604 671T615 645T618 623V611Q618 582 615 571T598 548Q581 531 558 520T518 509Q503 509 503 520Q503 523 505 536T507 560Q507 590 494 610T452 630Q423 630 410 617Q367 578 333 492T271 301T233 170Q211 123 204 112L198 103L224 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<p>所以旋量电动力学的完整拉氏量为</p>
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