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1806. 还原排列的最少操作步数

English Version

题目描述

给你一个偶数 n​​​​​​ ，已知存在一个长度为 n 的排列 perm ，其中 perm[i] == i​（下标 从 0 开始 计数）。

一步操作中，你将创建一个新数组 arr ，对于每个 i ：

• 如果 i % 2 == 0 ，那么 arr[i] = perm[i / 2]
• 如果 i % 2 == 1 ，那么 arr[i] = perm[n / 2 + (i - 1) / 2]

然后将 arr​​ 赋值​​给 perm 。

要想使 perm 回到排列初始值，至少需要执行多少步操作？返回最小的 非零 操作步数。

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：最初，perm = [0,1]
第 1 步操作后，perm = [0,1]
所以，仅需执行 1 步操作

示例 2：

输入：n = 4
输出：2
解释：最初，perm = [0,1,2,3]
第 1 步操作后，perm = [0,2,1,3]
第 2 步操作后，perm = [0,1,2,3]
所以，仅需执行 2 步操作

示例 3：

输入：n = 6
输出：4

 

提示：

• 2 <= n <= 1000
• n​​​​​​ 是一个偶数

解法

方法一：找规律 + 模拟

我们观察数字的变化规律，发现：

1. 新数组的偶数位数字依次是原数组的前半段数字；
2. 新数组的奇数位数字依次是原数组的后半段数字。

即，如果原数组的某个数字下标 $i$ 在 [0, n >> 1) 范围内，那么这个数字的新下标就是 i << 1；否则，新下标就是 (i - (n >> 1)) << 1 | 1。

另外，每一轮操作，数字移动的路径都是一样的，只要有一个数字（数字 $0$ 和 $n-1$ 除外）回到了它原来的位置，那么整个序列就和之前的一致了。

因此，我们选择数字 $1$，初始时下标也是 $1$，每次将数字 $1$ 移动到新的位置，直到数字 $1$ 回到原来的位置，就可以得到最小的操作次数。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。

Python3

class Solution:
    def reinitializePermutation(self, n: int) -> int:
        ans, i = 0, 1
        while 1:
            ans += 1
            if i < n >> 1:
                i <<= 1
            else:
                i = (i - (n >> 1)) << 1 | 1
            if i == 1:
                return ans

Java

class Solution {
    public int reinitializePermutation(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 1; ; ) {
            ++ans;
            if (i < (n >> 1)) {
                i <<= 1;
            } else {
                i = (i - (n >> 1)) << 1 | 1;
            }
            if (i == 1) {
                return ans;
            }
        }
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int reinitializePermutation(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 1; ; ) {
            ++ans;
            if (i < (n >> 1)) {
                i <<= 1;
            } else {
                i = (i - (n >> 1)) << 1 | 1;
            }
            if (i == 1) {
                return ans;
            }
        }
    }
};

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func reinitializePermutation(n int) (ans int) {
	for i := 1; ; {
		ans++
		if i < (n >> 1) {
			i <<= 1
		} else {
			i = (i-(n>>1))<<1 | 1
		}
		if i == 1 {
			return ans
		}
	}
}

...