1766. 互质树

题目描述

给你一个 n 个节点的树（也就是一个无环连通无向图），节点编号从 0 到 n - 1 ，且恰好有 n - 1 条边，每个节点有一个值。树的 根节点 为 0 号点。

给你一个整数数组 nums 和一个二维数组 edges 来表示这棵树。nums[i] 表示第 i 个点的值，edges[j] = [u_j, v_j] 表示节点 u_j 和节点 v_j 在树中有一条边。

当 gcd(x, y) == 1 ，我们称两个数 x 和 y 是 互质的 ，其中 gcd(x, y) 是 x 和 y 的 最大公约数 。

从节点 i 到根最短路径上的点都是节点 i 的祖先节点。一个节点不是它自己的祖先节点。

请你返回一个大小为 n 的数组 ans ，其中 ans[i]是离节点 i 最近的祖先节点且满足 nums[i] 和 nums[ans[i]] 是 互质的 ，如果不存在这样的祖先节点，ans[i] 为 -1 。

示例 1：

输入：nums = [2,3,3,2], edges = [[0,1],[1,2],[1,3]]
输出：[-1,0,0,1]
解释：上图中，每个节点的值在括号中表示。
- 节点 0 没有互质祖先。
- 节点 1 只有一个祖先节点 0 。它们的值是互质的（gcd(2,3) == 1）。
- 节点 2 有两个祖先节点，分别是节点 1 和节点 0 。节点 1 的值与它的值不是互质的（gcd(3,3) == 3）但节点 0 的值是互质的(gcd(2,3) == 1)，所以节点 0 是最近的符合要求的祖先节点。
- 节点 3 有两个祖先节点，分别是节点 1 和节点 0 。它与节点 1 互质（gcd(3,2) == 1），所以节点 1 是离它最近的符合要求的祖先节点。

示例 2：

输入：nums = [5,6,10,2,3,6,15], edges = [[0,1],[0,2],[1,3],[1,4],[2,5],[2,6]]
输出：[-1,0,-1,0,0,0,-1]

提示：

nums.length == n
1 <= nums[i] <= 50
1 <= n <= 10⁵
edges.length == n - 1
edges[j].length == 2
0 <= u_j, v_j < n
u_j != v_j

解法

方法一：预处理 + 枚举 + 栈 + 回溯

由于题目中 $nums[i]$ 的取值范围为 $[1, 50]$，因此我们可以预处理出每个数的所有互质数，记录在数组 $f$ 中，其中 $f[i]$ 表示 $i$ 的所有互质数。

接下来我们可以使用回溯的方法，从根节点开始遍历整棵树，对于每个节点 $i$，我们可以通过 $f$ 数组得到 $nums[i]$ 的所有互质数。然后我们枚举 $nums[i]$ 的所有互质数，找到已经出现过的且深度最大的祖先节点 $t$，即为 $i$ 的最近的互质祖先节点。这里我们可以用一个长度为 $51$ 的栈数组 $stks$ 来获取每个出现过的值 $v$ 的节点以及其深度。每个栈 $stks[v]$ 的栈顶元素就是最近的深度最大的祖先节点。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为节点个数。

Python3

class Solution:
    def getCoprimes(self, nums: List[int], edges: List[List[int]]) -> List[int]:
        def dfs(i, fa, depth):
            t = k = -1
            for v in f[nums[i]]:
                stk = stks[v]
                if stk and stk[-1][1] > k:
                    t, k = stk[-1]
            ans[i] = t
            for j in g[i]:
                if j != fa:
                    stks[nums[i]].append((i, depth))
                    dfs(j, i, depth + 1)
                    stks[nums[i]].pop()

        g = defaultdict(list)
        for u, v in edges:
            g[u].append(v)
            g[v].append(u)
        f = defaultdict(list)
        for i in range(1, 51):
            for j in range(1, 51):
                if gcd(i, j) == 1:
                    f[i].append(j)
        stks = defaultdict(list)
        ans = [-1] * len(nums)
        dfs(0, -1, 0)
        return ans

Java

class Solution {
    private List<Integer>[] g;
    private List<Integer>[] f;
    private Deque<int[]>[] stks;
    private int[] nums;
    private int[] ans;

    public int[] getCoprimes(int[] nums, int[][] edges) {
        int n = nums.length;
        g = new List[n];
        Arrays.setAll(g, k -> new ArrayList<>());
        for (var e : edges) {
            int u = e[0], v = e[1];
            g[u].add(v);
            g[v].add(u);
        }
        f = new List[51];
        stks = new Deque[51];
        Arrays.setAll(f, k -> new ArrayList<>());
        Arrays.setAll(stks, k -> new ArrayDeque<>());
        for (int i = 1; i < 51; ++i) {
            for (int j = 1; j < 51; ++j) {
                if (gcd(i, j) == 1) {
                    f[i].add(j);
                }
            }
        }
        this.nums = nums;
        ans = new int[n];
        dfs(0, -1, 0);
        return ans;
    }

    private void dfs(int i, int fa, int depth) {
        int t = -1, k = -1;
        for (int v : f[nums[i]]) {
            var stk = stks[v];
            if (!stk.isEmpty() && stk.peek()[1] > k) {
                t = stk.peek()[0];
                k = stk.peek()[1];
            }
        }
        ans[i] = t;
        for (int j : g[i]) {
            if (j != fa) {
                stks[nums[i]].push(new int[] {i, depth});
                dfs(j, i, depth + 1);
                stks[nums[i]].pop();
            }
        }
    }

    private int gcd(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
}

C++

class Solution {
public:
    vector<int> getCoprimes(vector<int>& nums, vector<vector<int>>& edges) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> g(n);
        vector<vector<int>> f(51);
        vector<stack<pair<int, int>>> stks(51);
        for (auto& e : edges) {
            int u = e[0], v = e[1];
            g[u].emplace_back(v);
            g[v].emplace_back(u);
        }
        for (int i = 1; i < 51; ++i) {
            for (int j = 1; j < 51; ++j) {
                if (__gcd(i, j) == 1) {
                    f[i].emplace_back(j);
                }
            }
        }
        vector<int> ans(n);
        function<void(int, int, int)> dfs = [&](int i, int fa, int depth) {
            int t = -1, k = -1;
            for (int v : f[nums[i]]) {
                auto& stk = stks[v];
                if (!stk.empty() && stk.top().second > k) {
                    t = stk.top().first;
                    k = stk.top().second;
                }
            }
            ans[i] = t;
            for (int j : g[i]) {
                if (j != fa) {
                    stks[nums[i]].push({i, depth});
                    dfs(j, i, depth + 1);
                    stks[nums[i]].pop();
                }
            }
        };
        dfs(0, -1, 0);
        return ans;
    }
};

Go

func getCoprimes(nums []int, edges [][]int) []int {
	n := len(nums)
	g := make([][]int, n)
	f := [51][]int{}
	type pair struct{ first, second int }
	stks := [51][]pair{}
	for _, e := range edges {
		u, v := e[0], e[1]
		g[u] = append(g[u], v)
		g[v] = append(g[v], u)
	}
	for i := 1; i < 51; i++ {
		for j := 1; j < 51; j++ {
			if gcd(i, j) == 1 {
				f[i] = append(f[i], j)
			}
		}
	}
	ans := make([]int, n)
	var dfs func(i, fa, depth int)
	dfs = func(i, fa, depth int) {
		t, k := -1, -1
		for _, v := range f[nums[i]] {
			stk := stks[v]
			if len(stk) > 0 && stk[len(stk)-1].second > k {
				t, k = stk[len(stk)-1].first, stk[len(stk)-1].second
			}
		}
		ans[i] = t
		for _, j := range g[i] {
			if j != fa {
				stks[nums[i]] = append(stks[nums[i]], pair{i, depth})
				dfs(j, i, depth+1)
				stks[nums[i]] = stks[nums[i]][:len(stks[nums[i]])-1]
			}
		}
	}
	dfs(0, -1, 0)
	return ans
}

func gcd(a, b int) int {
	if b == 0 {
		return a
	}
	return gcd(b, a%b)
}

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