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1680. 连接连续二进制数字

English Version

题目描述

给你一个整数 n ，请你将 1 到 n 的二进制表示连接起来，并返回连接结果对应的 十进制 数字对 109 + 7 取余的结果。

 

示例 1：

输入：n = 1
输出：1
解释：二进制的 "1" 对应着十进制的 1 。

示例 2：

输入：n = 3
输出：27
解释：二进制下，1，2 和 3 分别对应 "1" ，"10" 和 "11" 。
将它们依次连接，我们得到 "11011" ，对应着十进制的 27 。

示例 3：

输入：n = 12
输出：505379714
解释：连接结果为 "1101110010111011110001001101010111100" 。
对应的十进制数字为 118505380540 。
对 109 + 7 取余后，结果为 505379714 。

 

提示：

• 1 <= n <= 105

解法

方法一：位运算

观察数字的连接规律，我们可以发现，当连接到第 $i$ 个数时，实际上是将前 $i-1$ 个数连接而成的结果 $ans$ 往左移动一定的位数，然后再加上 $i$ 这个数，移动的位数 $shift$ 是 $i$ 中二进制的位数。由于 $i$ 在不断加 $1$，移动的位数要么与上一次移动的位数保持不变，要么加一。当 $i$ 为 $2$ 的幂次方的时候，也即是说 $i$ 的二进制数中只有一位是 $1$ 时，移动的位数相比于上次加 $1$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $n$ 为给定的整数。

Python3

class Solution:
    def concatenatedBinary(self, n: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        ans = 0
        for i in range(1, n + 1):
            ans = (ans << i.bit_length() | i) % mod
        return ans

class Solution:
    def concatenatedBinary(self, n: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        ans = shift = 0
        for i in range(1, n + 1):
            if (i & (i - 1)) == 0:
                shift += 1
            ans = (ans << shift | i) % mod
        return ans

Java

class Solution {
    public int concatenatedBinary(int n) {
        final int mod = (int) 1e9 + 7;
        long ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans = (ans << (32 - Integer.numberOfLeadingZeros(i)) | i) % mod;
        }
        return (int) ans;
    }
}

class Solution {
    public int concatenatedBinary(int n) {
        final int mod = (int) 1e9 + 7;
        long ans = 0;
        int shift = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if ((i & (i - 1)) == 0) {
                ++shift;
            }
            ans = (ans << shift | i) % mod;
        }
        return (int) ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int concatenatedBinary(int n) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        long ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans = (ans << (32 - __builtin_clz(i)) | i) % mod;
        }
        return ans;
    }
};

class Solution {
public:
    int concatenatedBinary(int n) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        long ans = 0;
        int shift = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if ((i & (i - 1)) == 0) {
                ++shift;
            }
            ans = (ans << shift | i) % mod;
        }
        return ans;
    }
};

Go

func concatenatedBinary(n int) (ans int) {
	const mod = 1e9 + 7
	for i := 1; i <= n; i++ {
		ans = (ans<<bits.Len(uint(i)) | i) % mod
	}
	return
}

func concatenatedBinary(n int) (ans int) {
	const mod = 1e9 + 7
	shift := 0
	for i := 1; i <= n; i++ {
		if i&(i-1) == 0 {
			shift++
		}
		ans = (ans<<shift | i) % mod
	}
	return
}

TypeScript

function concatenatedBinary(n: number): number {
    const mod = BigInt(10 ** 9 + 7);
    let ans = 0n;
    let shift = 0n;
    for (let i = 1n; i <= n; ++i) {
        if ((i & (i - 1n)) == 0n) {
            ++shift;
        }
        ans = ((ans << shift) | i) % mod;
    }
    return Number(ans);
}

...