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1155. 掷骰子的 N 种方法

English Version

题目描述

这里有 n 个一样的骰子，每个骰子上都有 k 个面，分别标号为 1 到 k 。

给定三个整数 n ,  k 和 target ，返回可能的方式(从总共 kn 种方式中)滚动骰子的数量，使正面朝上的数字之和等于 target 。

答案可能很大，你需要对 109 + 7 取模 。

 

示例 1：

输入：n = 1, k = 6, target = 3
输出：1
解释：你扔一个有6张脸的骰子。
得到3的和只有一种方法。

示例 2：

输入：n = 2, k = 6, target = 7
输出：6
解释：你扔两个骰子，每个骰子有6个面。
得到7的和有6种方法1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1。

示例 3：

输入：n = 30, k = 30, target = 500
输出：222616187
解释：返回的结果必须是对 109 + 7 取模。

 

提示：

• 1 <= n, k <= 30
• 1 <= target <= 1000

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示使用 $i$ 个骰子，和为 $j$ 的方案数。那么我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i][j] = \sum_{h=1}^{\min(j, k)} f[i-1][j-h] $$

其中 $h$ 表示第 $i$ 个骰子的点数。

最终的答案即为 $f[n][target]$。

时间复杂度 $O(n \times k \times target)$，空间复杂度 $O(n \times target)$。

Python3

class Solution:
    def numRollsToTarget(self, n: int, k: int, target: int) -> int:
        f = [[0] * (target + 1) for _ in range(n + 1)]
        f[0][0] = 1
        mod = 10**9 + 7
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, min(i * k, target) + 1):
                for h in range(1, min(j, k) + 1):
                    f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - h]) % mod
        return f[n][target]

Java

class Solution {
    private static final int MOD = (int) 1e9 + 7;

    public int numRollsToTarget(int n, int k, int target) {
        int[][] f = new int[n + 1][target + 1];
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= Math.min(target, i * k); ++j) {
                for (int h = 1; h <= Math.min(j, k); ++h) {
                    f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - h]) % MOD;
                }
            }
        }
        return f[n][target];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int numRollsToTarget(int n, int k, int target) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        int f[n + 1][target + 1];
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= min(target, i * k); ++j) {
                for (int h = 1; h <= min(j, k); ++h) {
                    f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - h]) % mod;
                }
            }
        }
        return f[n][target];
    }
};

Go

func numRollsToTarget(n int, k int, target int) int {
	const mod int = 1e9 + 7
	f := make([][]int, n+1)
	for i := range f {
		f[i] = make([]int, target+1)
	}
	f[0][0] = 1
	for i := 1; i <= n; i++ {
		for j := 1; j <= min(target, i*k); j++ {
			for h := 1; h <= min(j, k); h++ {
				f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j-h]) % mod
			}
		}
	}
	return f[n][target]
}

func min(a, b int) int {
	if a < b {
		return a
	}
	return b
}

...