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932. 漂亮数组

English Version

题目描述

如果长度为 n 的数组 nums 满足下述条件，则认为该数组是一个 漂亮数组 ：

• nums 是由范围 [1, n] 的整数组成的一个排列。
• 对于每个 0 <= i < j < n ，均不存在下标 k（i < k < j）使得 2 * nums[k] == nums[i] + nums[j] 。

给你整数 n ，返回长度为 n 的任一 漂亮数组 。本题保证对于给定的 n 至少存在一个有效答案。

 

示例 1 ：

输入：n = 4
输出：[2,1,4,3]

示例 2 ：

输入：n = 5
输出：[3,1,2,5,4]

 

提示：

• 1 <= n <= 1000

 

解法

方法一：分治

根据题意，漂亮数组 $A$ 需要满足对于任意 $i<k<j$, $A_k*2 \neq A_i+A_j$。

我们可以发现，不等式左侧一定是偶数，那么我们只要保证不等式右侧 $A_i$ 和 $A_j$ 分别是一奇一偶，那么不等式就恒成立。

利用分治，我们将 $n$ 缩小规模为原来的一半，递归调用，可以得到两个漂亮数组 $left$, $right$。我们将 $left$ 中每个元素 $x_i$ 变为 $x_i2-1$ 可以得到一个奇数数组；将 $right$ 中每个元素 $x_i$ 变为 $x_i2$，可以得到一个偶数数组。这两个数组仍然是漂亮数组。

基于一个性质，将漂亮数组中的每个元素 $x_i$ 变换为 $kx_i+b$，得到的数组仍然是漂亮数组。

将这两个漂亮数组合并在一起，由于满足一奇一偶，那么合并后的数组也是漂亮数组，从而得到了答案。

时间复杂度 $O(nlogn)$。

Python3

class Solution:
    def beautifulArray(self, n: int) -> List[int]:
        if n == 1:
            return [1]
        left = self.beautifulArray((n + 1) >> 1)
        right = self.beautifulArray(n >> 1)
        left = [x * 2 - 1 for x in left]
        right = [x * 2 for x in right]
        return left + right

Java

class Solution {
    public int[] beautifulArray(int n) {
        if (n == 1) {
            return new int[] {1};
        }
        int[] left = beautifulArray((n + 1) >> 1);
        int[] right = beautifulArray(n >> 1);
        int[] ans = new int[n];
        int i = 0;
        for (int x : left) {
            ans[i++] = x * 2 - 1;
        }
        for (int x : right) {
            ans[i++] = x * 2;
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    vector<int> beautifulArray(int n) {
        if (n == 1) return {1};
        vector<int> left = beautifulArray((n + 1) >> 1);
        vector<int> right = beautifulArray(n >> 1);
        vector<int> ans(n);
        int i = 0;
        for (int& x : left) ans[i++] = x * 2 - 1;
        for (int& x : right) ans[i++] = x * 2;
        return ans;
    }
};

Go

func beautifulArray(n int) []int {
	if n == 1 {
		return []int{1}
	}
	left := beautifulArray((n + 1) >> 1)
	right := beautifulArray(n >> 1)
	var ans []int
	for _, x := range left {
		ans = append(ans, x*2-1)
	}
	for _, x := range right {
		ans = append(ans, x*2)
	}
	return ans
}

...