Skip to content

Latest commit

 

History

History
253 lines (203 loc) · 6.59 KB

README.md

File metadata and controls

253 lines (203 loc) · 6.59 KB
Raw

600. 不含连续 1 的非负整数

English Version

题目描述

给定一个正整数 n ，请你统计在 [0, n] 范围的非负整数中，有多少个整数的二进制表示中不存在 连续的 1 。

 

示例 1:

输入: n = 5
输出: 5
解释: 
下面列出范围在 [0, 5] 的非负整数与其对应的二进制表示：
0 : 0
1 : 1
2 : 10
3 : 11
4 : 100
5 : 101
其中，只有整数 3 违反规则（有两个连续的 1 ），其他 5 个满足规则。

示例 2:

输入: n = 1
输出: 2

示例 3:

输入: n = 2
输出: 3

 

提示:

  • 1 <= n <= 109

解法

方法一：数位 DP

这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，数字的二进制表示不包含连续的 $1$ 的个数。个数与数的位数以及每个二进制位上的数字有关。我们可以用数位 DP 的思路来解决这道题。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。

对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：

$$ ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i $$

不过对于本题而言，我们只需要求出区间 $[0,..r]$ 的值即可。

这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。

基本步骤如下：

  1. 将数字 $n$ 转为二进制数组 $a$，其中 $a[1]$ 为最低位，而 $a[len]$ 为最高位；
  2. 根据题目信息，设计函数 $dfs()$，对于本题，我们定义 $dfs(pos, pre, limit)$，答案为 $dfs(len, 1, true)$。

其中：

  • pos 表示数字的位数，从末位或者第一位开始，一般根据题目的数字构造性质来选择顺序。对于本题，我们选择从高位开始，因此，pos 的初始值为 len；
  • pre 表示当前数字二进制位上的数字，对于本题，pre 的初始值为 0；
  • limit 表示可填的数字的限制，如果无限制，那么可以选择 $[0,1]$，否则，只能选择 $[0,..a[pos]]$。如果 limit 为 true 且已经取到了能取到的最大值，那么下一个 limit 同样为 true；如果 limit 为 true 但是还没有取到最大值，或者 limit 为 false，那么下一个 limit 为 false。

关于函数的实现细节，可以参考下面的代码。

时间复杂度 $O(\log n)$。

相似题目：

Python3

class Solution:
    def findIntegers(self, n: int) -> int:
        @cache
        def dfs(pos, pre, limit):
            if pos <= 0:
                return 1
            up = a[pos] if limit else 1
            ans = 0
            for i in range(up + 1):
                if pre == 1 and i == 1:
                    continue
                ans += dfs(pos - 1, i, limit and i == up)
            return ans

        a = [0] * 33
        l = 0
        while n:
            l += 1
            a[l] = n & 1
            n >>= 1
        return dfs(l, 0, True)

Java

class Solution {
    private int[] a = new int[33];
    private int[][] dp = new int[33][2];

    public int findIntegers(int n) {
        int len = 0;
        while (n > 0) {
            a[++len] = n & 1;
            n >>= 1;
        }
        for (var e : dp) {
            Arrays.fill(e, -1);
        }
        return dfs(len, 0, true);
    }

    private int dfs(int pos, int pre, boolean limit) {
        if (pos <= 0) {
            return 1;
        }
        if (!limit && dp[pos][pre] != -1) {
            return dp[pos][pre];
        }
        int up = limit ? a[pos] : 1;
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i <= up; ++i) {
            if (!(pre == 1 && i == 1)) {
                ans += dfs(pos - 1, i, limit && i == up);
            }
        }
        if (!limit) {
            dp[pos][pre] = ans;
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int a[33];
    int dp[33][2];

    int findIntegers(int n) {
        int len = 0;
        while (n) {
            a[++len] = n & 1;
            n >>= 1;
        }
        memset(dp, -1, sizeof dp);
        return dfs(len, 0, true);
    }

    int dfs(int pos, int pre, bool limit) {
        if (pos <= 0) {
            return 1;
        }
        if (!limit && dp[pos][pre] != -1) {
            return dp[pos][pre];
        }
        int ans = 0;
        int up = limit ? a[pos] : 1;
        for (int i = 0; i <= up; ++i) {
            if (!(pre == 1 && i == 1)) {
                ans += dfs(pos - 1, i, limit && i == up);
            }
        }
        if (!limit) {
            dp[pos][pre] = ans;
        }
        return ans;
    }
};

Go

func findIntegers(n int) int {
	a := make([]int, 33)
	dp := make([][2]int, 33)
	for i := range dp {
		dp[i] = [2]int{-1, -1}
	}
	l := 0
	for n > 0 {
		l++
		a[l] = n & 1
		n >>= 1
	}
	var dfs func(int, int, bool) int
	dfs = func(pos, pre int, limit bool) int {
		if pos <= 0 {
			return 1
		}
		if !limit && dp[pos][pre] != -1 {
			return dp[pos][pre]
		}
		up := 1
		if limit {
			up = a[pos]
		}
		ans := 0
		for i := 0; i <= up; i++ {
			if !(pre == 1 && i == 1) {
				ans += dfs(pos-1, i, limit && i == up)
			}
		}
		if !limit {
			dp[pos][pre] = ans
		}
		return ans
	}
	return dfs(l, 0, true)
}

...