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52. N 皇后 II

English Version

题目描述

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n × n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回 n 皇后问题 不同的解决方案的数量。

 

示例 1：

输入：n = 4
输出：2
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

 

提示：

• 1 <= n <= 9

解法

方法一：回溯

我们设计一个函数 $dfs(i)$，表示从第 $i$ 行开始搜索，搜索到的结果累加到答案中。

在第 $i$ 行，我们枚举第 $i$ 行的每一列，如果当前列不与前面已经放置的皇后发生冲突，那么我们就可以放置一个皇后，然后继续搜索下一行，即调用 $dfs(i + 1)$。

如果发生冲突，那么我们就跳过当前列，继续枚举下一列。

判断是否发生冲突，我们需要用三个数组分别记录每一列、每一条正对角线、每一条反对角线是否已经放置了皇后。

具体地，我们用 $cols$ 数组记录每一列是否已经放置了皇后，用 $dg$ 数组记录每一条正对角线是否已经放置了皇后，用 $udg$ 数组记录每一条反对角线是否已经放置了皇后。

时间复杂度 $O(n!)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是皇后的数量。

Python3

class Solution:
    def totalNQueens(self, n: int) -> int:
        def dfs(i):
            if i == n:
                nonlocal ans
                ans += 1
                return
            for j in range(n):
                a, b = i + j, i - j + n
                if cols[j] or dg[a] or udg[b]:
                    continue
                cols[j] = dg[a] = udg[b] = True
                dfs(i + 1)
                cols[j] = dg[a] = udg[b] = False

        cols = [False] * 10
        dg = [False] * 20
        udg = [False] * 20
        ans = 0
        dfs(0)
        return ans

Java

class Solution {
    private int n;
    private int ans;
    private boolean[] cols = new boolean[10];
    private boolean[] dg = new boolean[20];
    private boolean[] udg = new boolean[20];

    public int totalNQueens(int n) {
        this.n = n;
        dfs(0);
        return ans;
    }

    private void dfs(int i) {
        if (i == n) {
            ++ans;
            return;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            int a = i + j, b = i - j + n;
            if (cols[j] || dg[a] || udg[b]) {
                continue;
            }
            cols[j] = true;
            dg[a] = true;
            udg[b] = true;
            dfs(i + 1);
            cols[j] = false;
            dg[a] = false;
            udg[b] = false;
        }
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int totalNQueens(int n) {
        bitset<10> cols;
        bitset<20> dg;
        bitset<20> udg;
        int ans = 0;
        function<void(int)> dfs = [&](int i) {
            if (i == n) {
                ++ans;
                return;
            }
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                int a = i + j, b = i - j + n;
                if (cols[j] || dg[a] || udg[b]) continue;
                cols[j] = dg[a] = udg[b] = 1;
                dfs(i + 1);
                cols[j] = dg[a] = udg[b] = 0;
            }
        };
        dfs(0);
        return ans;
    }
};

Go

func totalNQueens(n int) (ans int) {
	cols := [10]bool{}
	dg := [20]bool{}
	udg := [20]bool{}
	var dfs func(int)
	dfs = func(i int) {
		if i == n {
			ans++
			return
		}
		for j := 0; j < n; j++ {
			a, b := i+j, i-j+n
			if cols[j] || dg[a] || udg[b] {
				continue
			}
			cols[j], dg[a], udg[b] = true, true, true
			dfs(i + 1)
			cols[j], dg[a], udg[b] = false, false, false
		}
	}
	dfs(0)
	return
}

...