diff --git a/.devcontainer/devcontainer.json b/.devcontainer/devcontainer.json index e11de917d..a04726956 100644 --- a/.devcontainer/devcontainer.json +++ b/.devcontainer/devcontainer.json @@ -1,17 +1,11 @@ -// For format details, see https://aka.ms/devcontainer.json. - { "name": "KonCEPT-LaTeX", - // Or use a Dockerfile or Docker Compose file. More info: https://containers.dev/guide/dockerfile "build": { "dockerfile": "../Dockerfile" }, - - // Features to add to the dev container. More info: https://containers.dev/features. "features": { "ghcr.io/devcontainers/features/github-cli:1": {} }, - "customizations": { "vscode": { "extensions": [ @@ -20,10 +14,4 @@ ] } } - - // Use 'postCreateCommand' to run commands after the container is created. - // "postCreateCommand": "sudo chmod a+x \"$(pwd)\" && sudo rm -rf /var/www/html && sudo ln -s \"$(pwd)\" /var/www/html" - - // Uncomment to connect as root instead. More info: https://aka.ms/dev-containers-non-root. - // "remoteUser": "root" } diff --git a/CHANGELOG.md b/CHANGELOG.md index f2bbc5a45..7922abc0f 100644 --- a/CHANGELOG.md +++ b/CHANGELOG.md @@ -19,6 +19,7 @@ och följer [semantisk versionshantering](https://semver.org/lang/sv/spec/v2.0.0 - Ersatt Ursigram med Vågutbredningsprognoser. - Flyttat litteraturförteckningen till mellan kapitel och bilagor. - Flyttat skrivningen om hembyggd radiosändare till avsnittet om EMC. +- Exempel och historiska tillbakablickar markeras tydligare med textrutor. ### Fixat - Ordet _mod_ har lagts till i sakregistret. diff --git a/Dockerfile b/Dockerfile index 2c91a6acf..542f9c6da 100644 --- a/Dockerfile +++ b/Dockerfile @@ -10,10 +10,10 @@ RUN apt-get --quiet update && \ texlive-science \ texlive-fonts-recommended \ texlive-fonts-extra \ - latexmk \ - tidy \ + build-essential \ chktex \ - octave \ gnuplot \ - build-essential \ language-pack-sv + latexmk \ + octave \ + tidy \ diff --git a/Makefile b/Makefile index 6809ed236..61a0340fe 100644 --- a/Makefile +++ b/Makefile @@ -65,7 +65,7 @@ KONCEPT_APDX_FILES = koncept/appendix-bandplaner.tex koncept/appendix-beskrivnin koncept/appendix-s-enheter.tex koncept/appendix-morsesignalering.tex KONCEPT_OTHER_FILES = koncept/foreword.tex koncept/introduction.tex \ koncept/frontpage.tex koncept/tryckort.tex koncept/backpage.tex \ - koncept/matte.tex koncept/litteratur.tex koncept.bib \ + koncept/litteratur.tex koncept.bib \ koncept/inkludera-kapitel.tex koncept/inkludera-appendix.tex \ koncept.tex KONCEPT_FILES = $(KONCEPT_CH01_FILES) $(KONCEPT_CH02_FILES) \ diff --git a/koncept.tex b/koncept.tex index 009377d2e..28c78d85f 100644 --- a/koncept.tex +++ b/koncept.tex @@ -69,9 +69,6 @@ % (Beskrivning saknas.) \usepackage{framed} -% (Beskrivning saknas.) -\usepackage[fulladjust]{marginnote} - % (Beskrivning saknas.) \usepackage{color} @@ -107,7 +104,7 @@ \usepackage{siunitx} \sisetup{ output-decimal-marker = {,}, - output-product = \cdot, + product-symbol = \cdot, retain-explicit-plus = true, product-units = single, per-mode = symbol, @@ -139,27 +136,6 @@ smartlabels ]{circuitikz} -% (Beskrivning saknas.) -\usepackage[framemethod=TikZ]{mdframed} - -% (Beskrivning saknas.) -\mdfdefinestyle{FactBox}{ - linecolor=blue, - outerlinewidth=2pt, - roundcorner=20pt, - innertopmargin=\baselineskip, - innerbottommargin=\baselineskip, - innerrightmargin=20pt, - innerleftmargin=20pt, - backgroundcolor=gray!50!white} -\newcommand{\infobox}[1]{ -\begin{figure}%[r][0.5\textwidth] - \begin{mdframed}[style=FactBox] -#1 - \end{mdframed} -\end{figure} -} - % Skapa tabellceller som spänner över flera rader. \usepackage{multirow} diff --git a/koncept/appendix-decibel.tex b/koncept/appendix-decibel.tex index 90de00d97..dd6d0d9e0 100644 --- a/koncept/appendix-decibel.tex +++ b/koncept/appendix-decibel.tex @@ -1,18 +1,20 @@ \chapter{Omräkning mellan dB och kvoten av tal} -\label{decibel_2} +\label{ch:decibel2} \noindent -Benämningen Bel kommer från namnet på amerikanen Alexander Graham -Bell, som år 1876 uppfann den första praktiskt användbara telefonen -efter idéer från tysken Philipp Reiß. - Inom teletekniken används begreppet decibel för att beskriva förlopp av effekt, ström och spänning. Begreppet förekommer även i andra sammanhang, till exempel akustik där det istället är fråga om ljudtryck. -Måtten i det metriska systemet är alldagliga och ingen finner det -märkligt att det till exempel går tio decimeter på en meter. Däremot är -begreppet decibel ovant för många. +\begin{tcolorbox}[title=Historia] +Benämningen ''bel'' kommer från namnet på amerikanen Alexander Graham +Bell, som år 1876 uppfann den första praktiskt användbara telefonen +efter idéer från tysken Philipp Reiß. +\end{tcolorbox} + +Måtten i det metriska systemet är alldagliga och ingen finner det märkligt att +det till exempel går tio decimeter på en meter. +Däremot är begreppet decibel ovant för många. Räkning med decibel grundas på användning av logaritmer, som är ett bekvämt sätt att uttrycka och behandla talvärden. diff --git a/koncept/appendix-matematik.tex b/koncept/appendix-matematik.tex index 9a38edb8e..f1db8675d 100644 --- a/koncept/appendix-matematik.tex +++ b/koncept/appendix-matematik.tex @@ -11,7 +11,631 @@ \chapter{Matematik} förklaringen av begreppen decibel och s-enhet, vilka ofta förekommer i radiotekniska sammanhang. -\input{koncept/matte} +\section{Uttryck} +\harecsection{\harec{I}{c.1}{c.1}, \harec{I}{c.2}{c.2}, \harec{I}{c.6}{c.6}} -%% \textbf{Grundläggande matematik för radioamatörer} +Ekvation är ett annat ord för likhet. +Vid matematiska beräkningar ställs storheterna upp i en eller flera ekvationer. +I en så kallad sann ekvation har resultatet av de uppställda storheterna samma % +värde på båda sidor om likhetstecknet. + +\begin{tcolorbox}[title=Exempel] +\begin{align*} + & 3 \cdot 5 = 15 & \text{(3 multiplicerat med 5 är 15)} \\ + & 4 + 7 - 1 = 10 & \text{(4 plus 7 minus 1 är 10)} \\ + & \frac{15}{5} = 3 & \text{(15 dividerat med 5 är 3)} +\end{align*} +\end{tcolorbox} + +(Multiplikationstecknet bör skrivas som en höjd punkt \(\cdot\) och inte som +\(\times\). +Då undviks förväxlingar med bokstaven \(x\) i ekvationer, där okända tal +betecknas med bokstäver). + +För att resultatet ska bli rätt måste givna regler alltid följas vid +behandlingen av storheterna i uppställningarna. +Vid multiplikation och addition kan storheterna hanteras i godtycklig ordning, +men däremot inte vid division och subtraktion. +Resultatet blir 15, antingen vi skriver \(3 \cdot 5\) eller \(5 \cdot 3\). +Likaså är resultatet 8, antingen vi skriver \(3 + 5\) eller \(5 + 3\). + +Däremot blir resultatet annorlunda när man skriver \(\dfrac{3}{15}\) i stället +för \(\dfrac{15}{3}\). +Likaså blir resultatet annorlunda när man skriver \(15 - 5\) i stället för +\(5 - 15\). +Vid division kan talen ställas upp som så kallade bråktal. +De kan skrivas på något av sätten \(15:3\) eller \(15/3\) eller +\(\frac{15}{3}\). + +Talet före kolon, före snedstrecket respektive över bråkstrecket kallas för +täljare. +Talet efter kolon, efter snedstrecket respektive under bråkstrecket kallas för +nämnare. + +En invers är när man kan skriva om \(\dfrac{1}{5}\) till \(0.2\), då är +\(0.2\) inversen till \(5\) och omvänt är också \(5\) inversen till \(0.2\). +Med en invers kan man därför skriva om \(\dfrac{15}{5}\) till +\(15 \cdot \dfrac{1}{5}\), vilket kan skrivas som \(15 \cdot 0.2\). + +\section{Formler} +\harecsection{\harec{I}{I.d}{d.2a}} + +För att tydligare beskriva allmängiltiga samband mellan storheterna i en +ekvation, kan storheterna uttryckas med bokstäver istället för med siffror. +En sådan ekvation kallas för formel. + +Sökta eller okända storheter brukar betecknas med bokstäver från slutet av +alfabetet, till exempel $x$, $y$ eller $z$. +Givna eller kända storheter brukar betecknas med bokstäver från början av +alfabetet, till exempel $a$, $b$ eller $c$. + +Antag två tal $a$ och $b$, vars produkt är $c$. +Formeln är då: +%% +\[a \cdot b = c\] +%% +Sätts \(c = 15\), så är \(a \cdot b = 15\). +Då kan \(a \cdot b\) vara \(3 \cdot 5\) eller \(5 \cdot 3\) eller +\(7,5 \cdot 2\) eller vilka andra tal som helst vars produkt blir 15. + +Likheten \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) kan enligt de matematiska reglerna +skrivas på något av följande sätt: +%% +\begin{gather*} + \dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \qquad +b \cdot x = a \cdot y \qquad +\dfrac{y}{x} = \dfrac{b}{a} \qquad +\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} \\ +x = \dfrac{a \cdot y}{b} \qquad +y = \dfrac{b \cdot x}{a} \qquad +a = \dfrac{b \cdot x}{y} \qquad +b = \dfrac{a \cdot y}{x} +\end{gather*} +%% +Att alla dessa sätt är varianter av en och samma ekvation kan bevisas, genom att +multiplicera den ursprungliga likheten \(b \cdot x = a \cdot y\) med \(b \cdot +y\) på båda sidor om likhetstecknet, +%% +\[ +b \cdot y \cdot \frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot b \cdot y \quad \text{d.v.s.} +\quad b \cdot x = a \cdot y +\] +%% +Detta visar den så kallade diagonalregeln, som innebär korsvis uppmultiplicering +av nämnarna till täljarna. + +Vid multipliceringen fås samma resultat för var och en av varianterna, vilket +visar att de är likvärdiga. + +\section{Ekvation med en obekant} +\harecsection{\harec{I}{d}{d.2b}} + +Med följande exempel visas några av de metoder man kan använda för att lösa en +ekvation med en obekant. + +Om tredjedelen av ett tal är 8 enheter större än femtedelen av samma tal, vilket +är då talet? +Det sökta, okända talet kallas till exempel för x. +Tredjedelen av x är \(\dfrac{x}{3}\). och femtedelen är \(\dfrac{x}{5}\). +När 8 läggs till femtedelen fås tydligen två lika tal, och en ekvation (likhet) +kan skrivas +%% +\[\dfrac{x}{3}=8 + \dfrac{x}{5}\] +%% +Vi kan multiplicera, dividera, addera eller subtrahera godtyckligt på ena sidan +om likhetstecknet om vi också gör samma operationer på den andra sidan. + +\begin{quote}\emph{ +Likhetsvillkoret får aldrig äventyras. +}\end{quote} + +För att kunna utläsa vilket tal som motsvarar x, gäller det att få x ensamt - +''fritt'' på den ena sidan om likhetstecknet. +Vi multiplicerar alla termer på båda sidorna med 3 i ovanstående formel. +%% +\[\frac{3 \cdot x}{3} = 3 \cdot 8 + \frac{3 \cdot x}{5}\] +vilket kan avkortas till +\[x = 24 + \frac{3 \cdot x}{5}\] +%% +Därefter multipliceras båda sidornas termer med 5. +%% +\[5 \cdot x = 5 \cdot 24 + \frac{3 \cdot x \cdot 5}{5}\] +dvs. +\[5 \cdot x = 120 + 3 \cdot x\] +%% +Båda sidor om likhetstecknet minskas därefter med \(3 \cdot x\), således +%% +\[5 \cdot x - 3 \cdot x = 120 + 3 \cdot x - 3 \cdot x\] +%% +Multiplikationstecknet brukar inte skrivas ut, varken mellan tal och bokstäver +eller mellan bokstavsgrupper. +Alltså: +%% +\begin{align*} +5x - 3x &= 120 + 3x - 3x \\ +5x - 3x &= 2x \quad \text{och} \\ +3x - 3x &= 0 +\end{align*} +%% +Kvar blir då \(2x = 120\), där \(x\) är detsamma som \(1 \cdot x\) eller \(1x\). +Den sist erhållna ekvationen divideras med 2 på båda sidor om likhetstecknet +%% +\[ +\frac{2x}{2} = \frac{120}{2} +\quad \text{vilket ger} \quad +x = 60 +\] +%% +Det sökta talet är alltså 60. + +\paragraph{Kontroll:} + +\begin{align*} +\frac{60}{3} & = 8 + \frac{60}{5}\\ + 20 &= 8 + 12 \\ + 20 &= 20\text{ Vilket skulle bevisas.} +\end{align*} +%% +I det första exemplet använde vi diagonalregeln. +De två exemplen visar, att det går att göra omflyttningar när man löser en +ekvation. +Ett tal med positivt eller negativt förtecken, och som står på ena sidan om +likhetstecknet, kan till exempel ''flyttas'' över till andra sidan om likhetstecknet, +om förtecknet byts till det motsatta. +%% +\begin{align*} + 5x &= 120 + 3x \quad \text{kan också skrivas} \\ + +5x &= +120+ 3x \\ + 5x-3x &= 120 \\ + 5x- 3x-120 &= 0 \\ +\end{align*} + +\section{Ekvation med två obekanta} + +Endast en obekant storhet har behandlats i föregående exempel och en ekvation +har varit tillräcklig för det. +Två eller flera obekanta storheter kan inte behandlas med bara en ekvation. +Antag, att vi ska beräkna +%% +\[7x+6y=34\] +%% +Det går det inte att lösa denna ekvation entydigt, eftersom x och y kan ha många +olika olika värden, som uppfyller ekvationens villkor -- satisfierar den. +Men när ännu en ekvation ställs upp, blir det möjligt att göra en entydig +lösning. +Således: +%% +\[ +\begin{array}{c} +1.\\2. +\end{array} +\left\{ +\begin{array}{l} +7x + 6y = 34\\ +5x + 9y = 29 +\end{array} +\right. +\quad \text{eller} \quad +\left\{ +\begin{array}{l} +7x = 34 - 6y\\ +5x = 29 - 9y +\end{array} +\right. +\] +%% +Nu passar endast ett och samma x- respektive y-värde in i båda ekvationerna. +Om x ''löses'' genom att de båda ekvationerna skrivs om fås: +%% +\begin{align} + \label{eq:1} + x &= \frac{34-6y}{7}\\ + \label{eq:2} + x &= \frac{29-9y}{5} +\end{align} +%% +Vi kan nu göra en ekvation~\ssaref{eq:3} där det bara finns en obekant, \(y\), +som är lätt att beräkna. +%% +\begin{align} + \begin{split} + \label{eq:3} + \frac{34 - 6y}{7} &= \frac{29 - 9y}{5} + \quad \text{eller} \\ + 170 - 30y &= 203-63y + \quad \text{eller} \quad \\ + 33y &= 33 + \quad \text{dvs.} \quad \\ + y &= 1 + \end{split} +\end{align} +%% +Värdet på y sätts in i ekvationerna \ssaref{eq:1} och \ssaref{eq:2}, varefter +även värdet på \(x\) beräknas. +Pröva själv! Svaren är \(y = 1\) och \(x = 4\). + +Allmänt gäller att det behövs minst lika många ekvationer som antalet obekanta +storheter. + +\begin{tcolorbox}[enhanced jigsaw,breakable,title=Exempel] +Vi vet, att ytan i en rektangel är produkten av dess längd och bredd. +Om en husgrund är 10~meter lång och har en yta av \qty{50}{\square\metre}, så får +vi bredden \(b\) genom att dividera ytan med längden, \(b = \dfrac{50}{10} = 5\). +Bredden är således 5~meter. + +Om ytan av ett hus är \qty{300}{\square\metre} och bredden är en tredjedel av +längden, vilken bredd och längd har då huset? +Antag, att längden är \(x\) meter. +Bredden är då en tredjedels \(x\) och vi får alltså ekvationen +% +\[ +x \cdot \frac{x}{3} = 300 \quad +x \cdot x = 300 \cdot 3 \quad \text{d.v.s.} +\quad x^2 = 900 +\] +% +Hur stort är då \(x\)? +Vi prövar med olika tal och först med \(x = 20\), men \(20 \cdot 20 = 400\) +vilket är ett för lågt värde. +Sedan prövar vi med \(x = 40\), men \(40 \cdot 40 = 1600\) vilket är ett för +högt värde. +Sätt \(x = 30\). Eftersom \(30 \cdot 30 = 900\), så är det sökta talet +\(x = 30\). +Huset är 30 meter långt och \(\dfrac{30}{3} = 10\) meter brett. +\end{tcolorbox} + +\(x \cdot x\) skrivs oftast \(x^2\) vilket uttalas ''kvadraten på \(x\)'' +eller ''\(x\) upphöjt till 2''. + +\(x \cdot x \cdot x\) skrivs oftast \(x^3\) vilket uttalas ''kuben på x'' +eller ''\(x\) upphöjt till 3''. + +När vi som i ovanstående exempel har \(x^2 = 900\) och vill veta värdet på +\(x\), måste vi ''dra kvadratroten ur'' \(900\). +Detta skrivs \(x = \sqrt{900} = 30\). + +Ett tal kan även vara negativt, men det behövde vi inte beakta i detta exempel. +Annars skriver man \(x = \pm \sqrt{900} = \pm 30\). + +\section{Potenser, digniteter} +\harecsection{\harec{I}{c.4}{c.4}} +\label{potenser} +\index{potenser} + +Produkten av två eller flera exakt lika stora faktorer kallas potens. +I uttrycket \(x^2\) kallas faktorn \(x\) för bas. Det antal gånger, som faktorn +ingår i produkten, kallas för exponent. +Om exponenten är ett positivt helt tal kallas produkten av faktorerna för +dignitet. +Uttrycket \(x^2\) är till exempel 2:a digniteten av \(x\). +Ett annat exempel är \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\). +Faktorn är 5 och produkten 125 är 3:e digniteten av 5. + +Det är opraktiskt att skriva många faktorer efter varandra. +Man skriver därför faktorn en gång och exponenten med en liten siffra till +höger ovanför faktorn. +Produkten \(5 \cdot 5 \cdot 5\) kan i stället skrivas \(5^3\). +Basen är 5 och exponenten är 3. +Digniteten utläses 5 upphöjt till 3. +\(10 \cdot 10\) skrivs \(10^2\) och läses 10 upphöjt till 2. +\(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) skrivs \(2^5\) och läses 2 upphöjt till 5. +Om vi går över till bokstavsbeteckningar gäller allmänt att: +%% +\[a^n= a \cdot a \cdot a \ldots n \textrm{ \emph{g{\aa}nger} } = \textrm{ \emph{a + upphöjt till n} }\] +Faktorn a kallas potensens bas och faktorernas antal kallas potensens exponent. + +Om vi nu skriver \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) som \(2^5\) hur skrivs då +\(\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\)? + +Vi kan skriva \(\frac{1}{2^5}\) men det är mer praktiskt att skriva \(2^{-5}\). +Minustecknet anger att \(2^5\) står i nämnaren, alltså under bråkstrecket. +På samma sätt kan vi skriva: +%% +\begin{align*} +2^{-1} & \text{ i stället för } \frac{1}{2} \\ +2^{-2} & \text{ i stället för } \frac{1}{4} \\ +5^{-2} & \text{ i stället för } \frac{1}{25} \text{ osv.} +\end{align*} +%% +\(10^6\) anger att 10 ska multipliceras med sig självt 6 gånger, vilket är +1~miljon. +\(10^{-6}\) anger på samma sätt i miljondel. + +Hur beräknas uttrycket \(a^3 \cdot a^2\) ? +Eftersom \(a^3 = a \cdot a \cdot a\) och \(a^2 = a \cdot a\) är tydligen +\(a^3 \cdot a^2 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5\) + +\begin{quote}\emph{Produkten av två digniteter med samma bas är lika med basen + upphöjd till summan av exponenterna.}\end{quote} +Allmänt uttrycks detta: +%% +\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\] +%% +På samma sätt beräknas \(\dfrac{a^m}{a^n}\). + +\paragraph{Exempel:} +%% +\begin{align*} +a^m &= a^5 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \\ +a^n &= a^3 = a \cdot a \cdot a \\ +\text{således} \quad +\frac{a^5}{a^3}&=\frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a} = +a \cdot a = a^2 +\end{align*} +%% +\begin{quote}\emph{När potenser med samma bas ska divideras med varandra, fås +resultatet genom att den gemensamma basen ''upphöjs till'' skillnaden mellan +exponenterna.}\end{quote} +Dvs. \[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\] +Är \(n\) större än \(m\) får exponenten negativt tecken till exempel för \(m = 5\) och +\(n = 7\) +%% +\[\frac{a^5}{a^7} = a^{-2}\] +%% +Alla tal upphöjt till noll blir \(= 1\) till exempel \(a^0 = 1\). +Med \(m = n\) i den föregående formeln får vi +%% +\begin{align*} + \frac{a^n}{a^n} &= 1 \\ + \text{vi får också }\frac{a^n}{a^n} &= a^{n-n} =a^0 +\end{align*} +%% +Till exempel \(10^0 = 1\) ingår i serien \(10^{-1}\), \(10^0\), \(10^1\), \(10^2\) +\(\ldots\), vilket är ett annat sätt att skriva 0,1; 1; 10; 100 \(\ldots\) etc. + +Uttrycket \(a \cdot b^n\) betyder att \(a\) ska multipliceras med \(b\) upphöjt +till \(n\)''. + +Uttrycket \((a \cdot b)^n\) betyder att \(a\) och \(b\) ska multipliceras med +varandra \(n\) gånger: +%% +\[ +(a \cdot b)^n = (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \ldots +\quad \text{o.s.v. }n\text{ gånger.} +\] +%% +I det senare fallet kan parenteserna slopas, utan att resultatet förändras: +\[ +(a \cdot b)^n = a \cdot b \cdot a \cdot b \ldots +\quad \text{o.s.v. }n\text{ gånger.} +\] + +Samlar vi alla \(a\) respektive alla \(b\) var för sig fås +\[a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\] +Skilj noga mellan \(ab^n = a \cdot b^n\) och \((ab)^n = (a \cdot b)^n\). +%% +\begin{quote}\emph{ +Att upphöja en produkt till en potens görs så, att var och en av faktorerna +upphöjs till potensen, varefter resultaten multipliceras med varandra. +}\end{quote} +%% +\paragraph{Exempel 1:} +%% +\[ +(4 \cdot 5)^3 = 4^3 \cdot 5^3 = 64 \cdot 125 = 8000 +\] + +\paragraph{Exempel 2:} +\[ +(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2 +\] +%% +På samma sätt kan ett bråk upphöjas till en potens genom att upphöja täljaren +och nämnaren +%% +\[ +\left(\frac{a}{b}\right)^n = +\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdots +\text{ o.s.v. }n\text{ gånger} += \frac{a^n}{b^n} +\] +%% +\[ +\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = +\frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} +\] + +\section{Rötter} +\harecsection{\harec{I}{c.5}{c.5}} + +Roten ur ett tal är den faktor, vars kvadrat är talet. +Tidigare behandlade vi uttrycket \(x^2 = 900\) för att få fram värdet på \(x\). +Vi ''drog kvadratroten ur 900''. +Tecknet \(\sqrt{\ \ \ \ }\) kallas rottecken. + +\(x = \sqrt{900}\) ska egentligen skrivas \(\sqrt[2]{900}\), +men tvåan brukar uteslutas när det gäller kvadratroten. +I övriga fall är det nödvändigt att skriva ut rottermen, till exempel +\(\sqrt[3]{100}\) (uttalas som 3:e roten ur) eller \(\sqrt[6]{100}\) +(uttalas som 6:e roten ur). +Kom ihåg följande allmänna regler: +%% +\begin{gather*} + \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + \quad \text{och} \quad + \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} +\end{gather*} +%% +Den första regeln förenklar dragning av roten ur stora tal, +\(\sqrt{1225} = \sqrt{25 \cdot 49} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{49} = 5 \cdot 7 = 35\). +Ett större tal kan alltså delas i flera mindre tal, vars respektive rotvärden är +lättare att få fram. +Rotvärdena kan erhållas ur matematiska tabeller eller miniräknare. +Roten ur tal kan bli ändlös, till exempel +\(\sqrt{2} = 1.414\cdots\) och \(\sqrt{3} = 1.732\cdots\) + +\section{Logaritmer} +\label{logaritmer} +\harecsection{\harec{I}{c.3}{c.3}} + +Beräkningar kan göras enklare med användning av logaritmer. +Först studerar vi följande tabell över digniteter av talet 2, +till exempel \(2^4 = 16\) och \(2^9 = 512\). +Produkten eller kvoten av tal kan beräknas med addition respektive subtraktion +sedan talen omvandlats till exponentiella tal med samma bas. + +\paragraph{Exempel:} +1) \(16 \cdot 512 = 2^4 \cdot 2^9 =2^{4+9} = 2^{13} = 8192\)\\ +2) \(\dfrac{2048}{64} = \dfrac{2^{11}}{2^6} =2^{11-6} =2^5 = 32\) +%% +Här är sambandet mellan exponent och dignitet för basen 2: + +\begin{center} +\begin{tabular}{ll|ll} +Expo- & Digni- & Expo- & Digni \\ +nent & tet & nent & tet \\ \hline +1 & 2 & 10 & 1 024 \\ +2 & 4 & 11 & 2 048 (\(=2^{11}\)) \\ +3 & 8 & 12 & 4 096 \\ +4 & 16 (\(=2^4\)) & 13 & 8 192 (\(=2^{13}\)) \\ +5 & 32 & 14 & 16 384 \\ +6 & 64 (\(=2^6\)) & 15 & 32 768 \\ +7 & 128 & 16 & 65 536 \\ +8 & 256 & 17 & 131 072 \\ +9 & 512 (\(=2^9\)) & 18 & 262 144 +\end{tabular} +\end{center} + +En sådan tabell har emellertid begränsad användbarhet vid behandling av +godtyckliga taluppställningar. Begreppet logaritm är däremot mera användbart. + +\begin{quote}\emph{ +Med logaritmen för ett tal menas den exponent, som basen ska upphöjas till, +för att potensens värde ska bli talet. +}\end{quote} + +\begin{tcolorbox}[title=Exempel] +I ekvationen \(2^x = 31\) säger man att \(x\) är logaritmen för talet 31 i det +logaritmsystem, vars bas är 2. +Detta skrivs \(x= log_2 31\) och läses x = tvålogaritmen för talet 31. +Kvadraten på talet 10 är 100, det vill säga \(10^2 = 100\). +Talet 2 är alltså den exponent som talet 10 ska upphöjas med för att digniteten +ska bli 100. +Således \(\log_{10}{100} = 2\). +\end{tcolorbox} + +Vid omvandling mellan decimala tal och deras logaritmer används så kallade +logaritmtabeller eller miniräknare (inte de allra enklaste). +För överslagsberäkningar används även diagram och skalor (t.ex. räknestickan). + +\paragraph{Så här räknar man med logaritmer} + +När decimala tal ska \emph{multipliceras} med varandra, omvandlar man dem +först till logaritmer. +Man \emph{adderar} dessa och återvandlar resultatet till decimala tal igen. + +När decimala tal ska \emph{divideras} med varandra, omvandlar man dem först +till logaritmer. +Man \emph{subtraherar} dessa och återvandlar resultatet till decimala tal igen. + +\paragraph{Exempel:} + +Talen 100, 100, 100, 2 och 2 ska multipliceras med varandra. +Det decimala förfarandet är: +%% +\[100 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 2 \cdot 2 = 4000000 = 4 \cdot 10^6\] +%% +Förfarandet med logaritmer är att man omvandlar talen till deras respektive +10-logaritm, vilken är \(\log_{10} x\), varefter logaritmerna adderas. +Dessa räkneoperationer kan göras till exempel med en miniräknare. +Då fås \(2 + 2 + 2 + 0.30103 + 0.30103 = 6.60206\) som är summan av +logaritmerna för talen. + +För att uttrycka svaret som ett decimalt tal omvandlas logaritmen till +antilogaritm, vilken är \(10^x = 10^{6,60206} = 4 \cdot 10^6\) (samma som vid +det decimala förfarandet). + +Skulle talen ha dividerats så skulle deras respektive logaritmer ha subtraherats +från varandra i stället. + +Här är sambandet mellan en serie decimala tal och deras 10-logaritmer +(\(\log_{10} x\)). + +%% k7per: Add S for first column, think about second column. +\begin{center} +\begin{tabular}{l|r|r} +Antilogaritmen & Dignitet & Logaritmen \\ +för tal med & & för \(\log_{10} x\) \\ +10-bas och & & \\ +exponenten & & (avrundade \\ +x d.v.s. (\(10^x\)) & & tal) \\ \hline +1,00 & \(1,00 \cdot 10^0\) & \(0,00\) \\ +1,25 & \(1,25 \cdot 10^0\) & \(0,097 \approx 0,10\) \\ +1,6 & \(1,6 \cdot 10^0\) & \(0,204 \approx 0,20\) \\ +2,0 & \(2,0 \cdot 10^0\) & \(0,301 \approx 0,30\) \\ +2,5 & \(2,5 \cdot 10^0\) & \(0,398 \approx 0,40\) \\ +3,2 & \(3,2 \cdot 10^0\) & \(0,505 \approx 0,50\) \\ +4 & \(4 \cdot 10^0\) & \(0,602 \approx 0,60\) \\ +5 & \(5 \cdot 10^0\) & \(0,699 \approx 0,70\) \\ +6 & \(6 \cdot 10^0\) & \(0,778 \approx 0,80\) \\ +7 & \(7 \cdot 10^0\) & \(\approx 0,85\) \\ +8 & \(8 \cdot 10^0\) & \(0,903 \approx 0,90\) \\ +9 & \(9 \cdot 10^0\) & \(\approx 0,95\) \\ +10 & \(1 \cdot 10^1\) & \(1,00\) \\ +20 & \(2 \cdot 10^1\) & \(1,301 \approx 1,30\) \\ +30 & \(3 \cdot 10^1\) & \(1,477 \approx 1,50\) \\ +50 & \(5 \cdot 10^1\) & \(1,699 \approx 1,70\) \\ +100 & \(1 \cdot 10^2\) & \(2,00\) \\ +500 & \(5 \cdot 10^2\) & \(\approx 2,70\) \\ +1 000 & \(1 \cdot 10^3\) & \(3,00\) \\ +5 000 & \(5 \cdot 10^3\) & \(\approx 3,70\) \\ +10 000 & \(1 \cdot 10^4\) & \(4,00\) \\ +100 000 & \(1 \cdot 10^5\) & \(5,00\) \\ +1 000 000 & \(1 \cdot 10^6\) & \(6,00\) \\ +\end{tabular} +\end{center} + +\section{Binära tal} +\harecsection{\harec{I}{c.8}{c.8}} +\index{binära tal} + +\emph{Binära tal} är tal som skrivs på talbas 2 istället för vår normala +talbas 10. +Det innebär att varje siffra till vänster har en vikt som är två gånger större +än föregående. +Varje siffra kan bara vara 0 eller 1. +Ett enkelt sätt att illustrera det är en kort tabell. + +\begin{center} +\begin{tabular}{r|rrr|r} + binärt tal & \(2^2\) & \(2^1\) & \(2^0\) & decimalt tal \\ \hline + 000 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 001 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ + 010 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ + 011 & 0 & 2 & 1 & 3 \\ + 100 & 4 & 0 & 0 & 4 \\ + 101 & 4 & 0 & 1 & 5 \\ + 110 & 4 & 2 & 0 & 6 \\ + 111 & 4 & 2 & 1 & 7 \\ +\end{tabular} +\end{center} + +Ofta grupperar man de binära värdena i grupper om tre eller fyra siffror +beroende på sammanhanget. + +För större värden är binärt ohanterbart långt. +Därför konverterar man gärna grupperna av värden till siffror och bokstäver, där +grupper om tre skrivs på oktal form (talbas 8) och grupper om fyra skrivs på +hexadecimal form (talbas 16). + +\begin{tabular}{r|rrrr|c|c|r} + BIN & \(2^3\) & \(2^2\) & \(2^1\) & \(2^0\) & OCT & HEX & DEC\\ \hline + 0000 & 0 & 0 & 0 & 0 & 00 & 0 & 0 \\ + 0001 & 0 & 0 & 0 & 1 & 01 & 1 & 1 \\ + 0010 & 0 & 0 & 2 & 0 & 02 & 2 & 2 \\ + 0011 & 0 & 0 & 2 & 1 & 03 & 3 & 3 \\ + 0100 & 0 & 4 & 0 & 0 & 04 & 4 & 4 \\ + 0101 & 0 & 4 & 0 & 1 & 05 & 5 & 5 \\ + 0110 & 0 & 4 & 2 & 0 & 06 & 6 & 6 \\ + 0111 & 0 & 4 & 2 & 1 & 07 & 7 & 7 \\ + 1000 & 8 & 0 & 0 & 0 & 10 & 8 & 8 \\ + 1001 & 8 & 0 & 0 & 1 & 11 & 9 & 9 \\ + 1010 & 8 & 0 & 2 & 0 & 12 & A & 10 \\ + 1011 & 8 & 0 & 2 & 1 & 13 & B & 11 \\ + 1100 & 8 & 4 & 0 & 0 & 14 & C & 12 \\ + 1101 & 8 & 4 & 0 & 1 & 15 & D & 13 \\ + 1110 & 8 & 4 & 2 & 0 & 16 & E & 14 \\ + 1111 & 8 & 4 & 2 & 1 & 17 & F & 15 \\ +\end{tabular} diff --git a/koncept/chapter1-1.tex b/koncept/chapter1-1.tex index e4075012d..8fe044bfb 100644 --- a/koncept/chapter1-1.tex +++ b/koncept/chapter1-1.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \chapter{Ellära} -\label{ellära} +\label{ch:ellaera} \nobalance @@ -229,8 +229,8 @@ \subsubsection{N-ledning} Båda dessa material är 5-värdiga. De har 5 elektroner i valensskalet 4 elektroner är fast bundna medan den 5:e är löst bunden till atomen. -Den 5:e elektronen kan lossgöras från atomen med yttre kraft, till exempel värme eller -elektrisk spänning och då skapas en fri elektron. +Den 5:e elektronen kan lossgöras från atomen med yttre kraft, till exempel värme +eller elektrisk spänning och då skapas en fri elektron. När en spänning läggs på materialet kommer den fria elektronen att vandra mot den positiva polen. Materialet är N-ledande. @@ -424,8 +424,8 @@ \subsection{Ohms lag} Ohms lag beskriver sambandet mellan grundbegreppen ström \(I\ \mathrm{[ampere]}\), spänning \(U\ \mathrm{[volt]}\) och resistans \(R\ \mathrm{[ohm]}\). -Sambandet gäller både för likspänning och för effektivvärdet av växelspänning och -växelström. +Sambandet gäller både för likspänning och för effektivvärdet av växelspänning +och växelström. I en ledare med resistansen \(R\) är strömstyrkan \(I\) genom resistansen proportionell mot den pålagda spänningen \(U\). @@ -443,11 +443,14 @@ \subsection{Kirchhoffs lagar} Den tyske fysikern G~R~Kirchhoff (1824--1887) formulerade sina välkända lagar först 1845 och sedan 1847. -Kirchhoffs strömlag: \emph{Den algebraiska summan av alla strömmar, som flyter till eller från varje punkt i en elektrisk krets, är lika med noll.} +Kirchhoffs strömlag: \emph{Den algebraiska summan av alla strömmar, som flyter +till eller från varje punkt i en elektrisk krets, är lika med noll.} %% \[I_1 + I_2 + I_3 + \cdots + I_n = 0\] %% -Kirchhoffs spänningslag: \emph{I varje sluten strömkrets är den algebraiska summan av alla spänningskällor lika med det totala spänningsfallet i alla resistorer.} +Kirchhoffs spänningslag: \emph{I varje sluten strömkrets är den algebraiska +summan av alla spänningskällor lika med det totala spänningsfallet i alla +resistorer.} Uttryckt på ett annat sätt är algebraiska summan av spänningarna i en strömkrets lika med noll. diff --git a/koncept/chapter13-5.tex b/koncept/chapter13-5.tex index 3265797d1..c9c1db297 100644 --- a/koncept/chapter13-5.tex +++ b/koncept/chapter13-5.tex @@ -301,11 +301,12 @@ \section{Exempel på kontakt} \subsection{Upprättad förbindelse} -När en station svarat på anrop, lämnar man först sin signalrapport -enligt RST-koden och presenterar sig med sitt förnamn och berättar var man finns. +När en station svarat på anrop, lämnar man först sin signalrapport enligt +RST-koden och presenterar sig med sitt förnamn och berättar var man finns. Motstationen kvitterar troligen med sina motsvarande uppgifter. -När man överlämnar ordet till motstationen avslutar man meningen med Kom och lyssnar. +När man överlämnar ordet till motstationen avslutar man meningen med Kom och +lyssnar. Om man har en telegrafiförbindelse och bara vill att den station man har förbindelse med ska svara kan man sända KN (eng. \emph{come named station}). @@ -355,7 +356,6 @@ \subsection{Second operator} använd skapa en god förståelse för hobbyn och utgöra en morot för att få både ungdomar och vuxna intresserade av amatörradio. -% \newpage % layout \subsection{CQ DX och split} \label{cq dx och split} \index{CQ DX} diff --git a/koncept/chapter2-1.tex b/koncept/chapter2-1.tex index 4273cbc53..b51e47b63 100644 --- a/koncept/chapter2-1.tex +++ b/koncept/chapter2-1.tex @@ -34,7 +34,7 @@ \subsection{Enheten ohm} \index{symbol!\(R\) resistans} \label{enheten_ohm} -%%(Se även kapitel \ssaref{ellära}.) +%%(Se även kapitel \ssaref{ch:ellaera}.) Resistansen mellan två punkter i en strömkrets är 1~ohm som även skrives \qty{1}{\ohm} (uttalas ''en åm''), när spänningen \qty{1}{\volt} mellan @@ -356,7 +356,8 @@ \subsection{Effektutveckling i resistorer} \index{resistor!effektutveckling} I resistorer utvecklas värme av den ström som flyter igenom dem. -Värmeutvecklingen sker enligt Joules lag, som återges i kapitel~\ssaref{ellära}. +Värmeutvecklingen sker enligt Joules lag, som återges i +kapitel~\ssaref{ch:ellaera}. Hur mycket effekt i form av värme som strålas ut från resistorn beror på storleken på dess yta och egentemperatur samt på omgivningens temperatur. Det finns en övre gräns för hur mycket värme det ingående materialet tål innan diff --git a/koncept/chapter2-9.tex b/koncept/chapter2-9.tex index b23307e21..b5676f9e3 100644 --- a/koncept/chapter2-9.tex +++ b/koncept/chapter2-9.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \newpage -\section{Integrerade Kretsar (IC)} +\section{Integrerade kretsar (IC)} \label{integrerade kretsar} \subsection{Allmänt om IC} diff --git a/koncept/chapter3-1.tex b/koncept/chapter3-1.tex index 724caf39f..3c6674a60 100644 --- a/koncept/chapter3-1.tex +++ b/koncept/chapter3-1.tex @@ -401,7 +401,8 @@ \subsubsection{Urladdning} \tallfig{images/cropped_pdfs/bild_2_3-09.pdf}{Urladdning av en kondensator}{fig:BildII3-09} -Bild~\ssaref{fig:BildII3-09} visar hur en kondensator C urladdas genom en resistor \(R_2\). +Bild~\ssaref{fig:BildII3-09} visar hur en kondensator C urladdas genom en +resistor \(R_2\). Spänningen över kondensatorn minskar exponentiellt under urladdningen. @@ -1098,8 +1099,8 @@ \subsection{Bandbredd} Bild~\ssaref{fig:BildII3-21} visar med en kurva vilket impedansvärde kretsen har vid olika frekvenser. -Impedansens högsta värde är vid frekvensen \(f_{\it res}\) och avtar vid frekvenser -som är högre eller lägre. +Impedansens högsta värde är vid frekvensen \(f_{\it res}\) och avtar vid +frekvenser som är högre eller lägre. Vid frekvenserna \(f_1\) och \(f_2\) är impedansvärdet till exempel 70~\% av maximalvärdet. Med bandbredden \(b\) förstås skillnaden mellan impedansvärdena i ett sådant diff --git a/koncept/chapter3-10.tex b/koncept/chapter3-10.tex index 22570500d..bb10dc3e2 100644 --- a/koncept/chapter3-10.tex +++ b/koncept/chapter3-10.tex @@ -300,7 +300,7 @@ \subsection{Antivikningsfilter} behändigt sätt, men det förekommer också att man väljer samplingstakten för att inte vika bandet. -\subsection{Fouriertransform (FFT)} +\subsection{Fouriertransform och FFT} \harecsection{\harec{a}{3.8.2}{3.8.2}} \index{Fouriertransform} \index{Fourier!DFT} diff --git a/koncept/matte.tex b/koncept/matte.tex deleted file mode 100644 index 6a634b8f2..000000000 --- a/koncept/matte.tex +++ /dev/null @@ -1,628 +0,0 @@ -\section{Uttryck} -\harecsection{\harec{I}{c.1}{c.1}, \harec{I}{c.2}{c.2}, \harec{I}{c.6}{c.6}} - -Ekvation är ett annat ord för likhet. -Vid matematiska beräkningar ställs storheterna upp i en eller flera ekvationer. - -I en så kallad sann ekvation har resultatet av de uppställda storheterna samma % -värde på båda sidor om likhetstecknet. - -\begin{tcolorbox}[title=Exempel] -\begin{align*} - & 3 \cdot 5 = 15 & \text{(3 multiplicerat med 5 är 15)} \\ - & 4 + 7 - 1 = 10 & \text{(4 plus 7 minus 1 är 10)} \\ - & \frac{15}{5} = 3 & \text{(15 dividerat med 5 är 3)} -\end{align*} -\end{tcolorbox} - -(Multiplikationstecknet bör skrivas som en höjd punkt \(\cdot\) och inte som -\(\times\). -Då undviks förväxlingar med bokstaven \(x\) i ekvationer, där okända tal -betecknas med bokstäver). - -För att resultatet ska bli rätt måste givna regler alltid följas vid -behandlingen av storheterna i uppställningarna. -Vid multiplikation och addition kan storheterna hanteras i godtycklig ordning, -men däremot inte vid division och subtraktion. -Resultatet blir 15, antingen vi skriver \(3 \cdot 5\) eller \(5 \cdot 3\). -Likaså är resultatet 8, antingen vi skriver \(3 + 5\) eller \(5 + 3\). - -Däremot blir resultatet annorlunda när man skriver \(\dfrac{3}{15}\) i stället -för \(\dfrac{15}{3}\). -Likaså blir resultatet annorlunda när man skriver \(15 - 5\) i stället för -\(5 - 15\). -Vid division kan talen ställas upp som så kallade bråktal. -De kan skrivas på något av sätten \(15:3\) eller \(15/3\) eller -\(\frac{15}{3}\). - -Talet före kolon, före snedstrecket respektive över bråkstrecket kallas för -täljare. -Talet efter kolon, efter snedstrecket respektive under bråkstrecket kallas för -nämnare. - -En invers är när man kan skriva om \(\dfrac{1}{5}\) till \(0.2\), då är -\(0.2\) inversen till \(5\) och omvänt är också \(5\) inversen till \(0.2\). -Med en invers kan man därför skriva om \(\dfrac{15}{5}\) till -\(15 \cdot \dfrac{1}{5}\), vilket kan skrivas som \(15 \cdot 0.2\). - -\section{Formler} -\harecsection{\harec{I}{I.d}{d.2a}} - -För att tydligare beskriva allmängiltiga samband mellan storheterna i en -ekvation, kan storheterna uttryckas med bokstäver istället för med siffror. -En sådan ekvation kallas för formel. - -Sökta eller okända storheter brukar betecknas med bokstäver från slutet av -alfabetet, till exempel $x$, $y$ eller $z$. -Givna eller kända storheter brukar betecknas med bokstäver från början av -alfabetet, till exempel $a$, $b$ eller $c$. - -Antag två tal $a$ och $b$, vars produkt är $c$. -Formeln är då: -%% -\[a \cdot b = c\] -%% -Sätts \(c = 15\), så är \(a \cdot b = 15\). -Då kan \(a \cdot b\) vara \(3 \cdot 5\) eller \(5 \cdot 3\) eller -\(7,5 \cdot 2\) eller vilka andra tal som helst vars produkt blir 15. - -Likheten \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) kan enligt de matematiska reglerna -skrivas på något av följande sätt: -%% -\begin{gather*} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \qquad -b \cdot x = a \cdot y \qquad -\dfrac{y}{x} = \dfrac{b}{a} \qquad -\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} \\ -x = \dfrac{a \cdot y}{b} \qquad -y = \dfrac{b \cdot x}{a} \qquad -a = \dfrac{b \cdot x}{y} \qquad -b = \dfrac{a \cdot y}{x} -\end{gather*} -%% -Att alla dessa sätt är varianter av en och samma ekvation kan bevisas, genom att -multiplicera den ursprungliga likheten \(b \cdot x = a \cdot y\) med \(b \cdot -y\) på båda sidor om likhetstecknet, -%% -\[ -b \cdot y \cdot \frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot b \cdot y \quad \text{d.v.s.} -\quad b \cdot x = a \cdot y -\] -%% -Detta visar den så kallade diagonalregeln, som innebär korsvis uppmultiplicering -av nämnarna till täljarna. - -Vid multipliceringen fås samma resultat för var och en av varianterna, vilket -visar att de är likvärdiga. - -\section{Ekvation med en obekant} -\harecsection{\harec{I}{d}{d.2b}} - -Med följande exempel visas några av de metoder man kan använda för att lösa en -ekvation med en obekant. - -Om tredjedelen av ett tal är 8 enheter större än femtedelen av samma tal, vilket -är då talet? -Det sökta, okända talet kallas till exempel för x. -Tredjedelen av x är \(\dfrac{x}{3}\). och femtedelen är \(\dfrac{x}{5}\). -När 8 läggs till femtedelen fås tydligen två lika tal, och en ekvation (likhet) -kan skrivas -%% -\[\dfrac{x}{3}=8 + \dfrac{x}{5}\] -%% -Vi kan multiplicera, dividera, addera eller subtrahera godtyckligt på ena sidan -om likhetstecknet om vi också gör samma operationer på den andra sidan. - -\begin{quote}\emph{ -Likhetsvillkoret får aldrig äventyras. -}\end{quote} - -För att kunna utläsa vilket tal som motsvarar x, gäller det att få x ensamt - -''fritt'' på den ena sidan om likhetstecknet. -Vi multiplicerar alla termer på båda sidorna med 3 i ovanstående formel. -%% -\[\frac{3 \cdot x}{3} = 3 \cdot 8 + \frac{3 \cdot x}{5}\] -vilket kan avkortas till -\[x = 24 + \frac{3 \cdot x}{5}\] -%% -Därefter multipliceras båda sidornas termer med 5. -%% -\[5 \cdot x = 5 \cdot 24 + \frac{3 \cdot x \cdot 5}{5}\] -dvs. -\[5 \cdot x = 120 + 3 \cdot x\] -%% -Båda sidor om likhetstecknet minskas därefter med \(3 \cdot x\), således -%% -\[5 \cdot x - 3 \cdot x = 120 + 3 \cdot x - 3 \cdot x\] -%% -Multiplikationstecknet brukar inte skrivas ut, varken mellan tal och bokstäver -eller mellan bokstavsgrupper. -Alltså: -%% -\begin{align*} -5x - 3x &= 120 + 3x - 3x \\ -5x - 3x &= 2x \quad \text{och} \\ -3x - 3x &= 0 -\end{align*} -%% -Kvar blir då \(2x = 120\), där \(x\) är detsamma som \(1 \cdot x\) eller \(1x\). -Den sist erhållna ekvationen divideras med 2 på båda sidor om likhetstecknet -%% -\[ -\frac{2x}{2} = \frac{120}{2} -\quad \text{vilket ger} \quad -x = 60 -\] -%% -Det sökta talet är alltså 60. - -\paragraph{Kontroll:} - -\begin{align*} -\frac{60}{3} & = 8 + \frac{60}{5}\\ - 20 &= 8 + 12 \\ - 20 &= 20\text{ Vilket skulle bevisas.} -\end{align*} -%% -I det första exemplet använde vi diagonalregeln. -De två exemplen visar, att det går att göra omflyttningar när man löser en -ekvation. -Ett tal med positivt eller negativt förtecken, och som står på ena sidan om -likhetstecknet, kan till exempel ''flyttas'' över till andra sidan om likhetstecknet, -om förtecknet byts till det motsatta. -%% -\begin{align*} - 5x &= 120 + 3x \quad \text{kan också skrivas} \\ - +5x &= +120+ 3x \\ - 5x-3x &= 120 \\ - 5x- 3x-120 &= 0 \\ -\end{align*} - -\section{Ekvation med två obekanta} - -Endast en obekant storhet har behandlats i föregående exempel och en ekvation -har varit tillräcklig för det. -Två eller flera obekanta storheter kan inte behandlas med bara en ekvation. -Antag, att vi ska beräkna -%% -\[7x+6y=34\] -%% -Det går det inte att lösa denna ekvation entydigt, eftersom x och y kan ha många -olika olika värden, som uppfyller ekvationens villkor -- satisfierar den. -Men när ännu en ekvation ställs upp, blir det möjligt att göra en entydig -lösning. -Således: -%% -\[ -\begin{array}{c} -1.\\2. -\end{array} -\left\{ -\begin{array}{l} -7x + 6y = 34\\ -5x + 9y = 29 -\end{array} -\right. -\quad \text{eller} \quad -\left\{ -\begin{array}{l} -7x = 34 - 6y\\ -5x = 29 - 9y -\end{array} -\right. -\] -%% -Nu passar endast ett och samma x- respektive y-värde in i båda ekvationerna. -Om x ''löses'' genom att de båda ekvationerna skrivs om fås: -%% -\begin{align} - \label{eq:1} - x &= \frac{34-6y}{7}\\ - \label{eq:2} - x &= \frac{29-9y}{5} -\end{align} -%% -Vi kan nu göra en ekvation~\ssaref{eq:3} där det bara finns en obekant, \(y\), -som är lätt att beräkna. -%% -\begin{align} - \begin{split} - \label{eq:3} - \frac{34 - 6y}{7} &= \frac{29 - 9y}{5} - \quad \text{eller} \\ - 170 - 30y &= 203-63y - \quad \text{eller} \quad \\ - 33y &= 33 - \quad \text{dvs.} \quad \\ - y &= 1 - \end{split} -\end{align} -%% -Värdet på y sätts in i ekvationerna \ssaref{eq:1} och \ssaref{eq:2}, varefter -även värdet på \(x\) beräknas. -Pröva själv! Svaren är \(y = 1\) och \(x = 4\). - -Allmänt gäller att det behövs minst lika många ekvationer som antalet obekanta -storheter. - -\begin{tcolorbox}[enhanced jigsaw,breakable,title=Exempel] -Vi vet, att ytan i en rektangel är produkten av dess längd och bredd. -Om en husgrund är 10~meter lång och har en yta av \qty{50}{\square\metre}, så får -vi bredden \(b\) genom att dividera ytan med längden, \(b = \dfrac{50}{10} = 5\). -Bredden är således 5~meter. - -Om ytan av ett hus är \qty{300}{\square\metre} och bredden är en tredjedel av -längden, vilken bredd och längd har då huset? -Antag, att längden är \(x\) meter. -Bredden är då en tredjedels \(x\) och vi får alltså ekvationen -% -\[ -x \cdot \frac{x}{3} = 300 \quad -x \cdot x = 300 \cdot 3 \quad \text{d.v.s.} -\quad x^2 = 900 -\] -% -Hur stort är då \(x\)? -Vi prövar med olika tal och först med \(x = 20\), men \(20 \cdot 20 = 400\) -vilket är ett för lågt värde. -Sedan prövar vi med \(x = 40\), men \(40 \cdot 40 = 1600\) vilket är ett för -högt värde. -Sätt \(x = 30\). Eftersom \(30 \cdot 30 = 900\), så är det sökta talet -\(x = 30\). -Huset är 30 meter långt och \(\dfrac{30}{3} = 10\) meter brett. -\end{tcolorbox} - -\(x \cdot x\) skrivs oftast \(x^2\) vilket uttalas ''kvadraten på \(x\)'' -eller ''\(x\) upphöjt till 2''. - -\(x \cdot x \cdot x\) skrivs oftast \(x^3\) vilket uttalas ''kuben på x'' -eller ''\(x\) upphöjt till 3''. - -När vi som i ovanstående exempel har \(x^2 = 900\) och vill veta värdet på -\(x\), måste vi ''dra kvadratroten ur'' \(900\). -Detta skrivs \(x = \sqrt{900} = 30\). - -Ett tal kan även vara negativt, men det behövde vi inte beakta i detta exempel. -Annars skriver man \(x = \pm \sqrt{900} = \pm 30\). - -\section{Potenser, digniteter} -\harecsection{\harec{I}{c.4}{c.4}} -\label{potenser} -\index{potenser} - -Produkten av två eller flera exakt lika stora faktorer kallas potens. -I uttrycket \(x^2\) kallas faktorn \(x\) för bas. Det antal gånger, som faktorn -ingår i produkten, kallas för exponent. -Om exponenten är ett positivt helt tal kallas produkten av faktorerna för -dignitet. -Uttrycket \(x^2\) är till exempel 2:a digniteten av \(x\). -Ett annat exempel är \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\). -Faktorn är 5 och produkten 125 är 3:e digniteten av 5. - -Det är opraktiskt att skriva många faktorer efter varandra. -Man skriver därför faktorn en gång och exponenten med en liten siffra till -höger ovanför faktorn. -Produkten \(5 \cdot 5 \cdot 5\) kan i stället skrivas \(5^3\). -Basen är 5 och exponenten är 3. -Digniteten utläses 5 upphöjt till 3. -\(10 \cdot 10\) skrivs \(10^2\) och läses 10 upphöjt till 2. -\(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) skrivs \(2^5\) och läses 2 upphöjt till 5. -Om vi går över till bokstavsbeteckningar gäller allmänt att: -%% -\[a^n= a \cdot a \cdot a \ldots n \textrm{ \emph{g{\aa}nger} } = \textrm{ \emph{a - upphöjt till n} }\] -Faktorn a kallas potensens bas och faktorernas antal kallas potensens exponent. - -Om vi nu skriver \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) som \(2^5\) hur skrivs då -\(\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\)? - -Vi kan skriva \(\frac{1}{2^5}\) men det är mer praktiskt att skriva \(2^{-5}\). -Minustecknet anger att \(2^5\) står i nämnaren, alltså under bråkstrecket. -På samma sätt kan vi skriva: -%% -\begin{align*} -2^{-1} & \text{ i stället för } \frac{1}{2} \\ -2^{-2} & \text{ i stället för } \frac{1}{4} \\ -5^{-2} & \text{ i stället för } \frac{1}{25} \text{ osv.} -\end{align*} -%% -\(10^6\) anger att 10 ska multipliceras med sig självt 6 gånger, vilket är -1~miljon. -\(10^{-6}\) anger på samma sätt i miljondel. - -Hur beräknas uttrycket \(a^3 \cdot a^2\) ? -Eftersom \(a^3 = a \cdot a \cdot a\) och \(a^2 = a \cdot a\) är tydligen -\(a^3 \cdot a^2 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5\) - -\begin{quote}\emph{Produkten av två digniteter med samma bas är lika med basen - upphöjd till summan av exponenterna.}\end{quote} -Allmänt uttrycks detta: -%% -\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\] -%% -På samma sätt beräknas \(\dfrac{a^m}{a^n}\). - -\paragraph{Exempel:} -%% -\begin{align*} -a^m &= a^5 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \\ -a^n &= a^3 = a \cdot a \cdot a \\ -\text{således} \quad -\frac{a^5}{a^3}&=\frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a} = -a \cdot a = a^2 -\end{align*} -%% -\begin{quote}\emph{När potenser med samma bas ska divideras med varandra, fås -resultatet genom att den gemensamma basen ''upphöjs till'' skillnaden mellan -exponenterna.}\end{quote} -Dvs. \[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\] -Är \(n\) större än \(m\) får exponenten negativt tecken till exempel för \(m = 5\) och -\(n = 7\) -%% -\[\frac{a^5}{a^7} = a^{-2}\] -%% -Alla tal upphöjt till noll blir \(= 1\) till exempel \(a^0 = 1\). -Med \(m = n\) i den föregående formeln får vi -%% -\begin{align*} - \frac{a^n}{a^n} &= 1 \\ - \text{vi får också }\frac{a^n}{a^n} &= a^{n-n} =a^0 -\end{align*} -%% -Till exempel \(10^0 = 1\) ingår i serien \(10^{-1}\), \(10^0\), \(10^1\), \(10^2\) -\(\ldots\), vilket är ett annat sätt att skriva 0,1; 1; 10; 100 \(\ldots\) etc. - -Uttrycket \(a \cdot b^n\) betyder att \(a\) ska multipliceras med \(b\) upphöjt -till \(n\)''. - -Uttrycket \((a \cdot b)^n\) betyder att \(a\) och \(b\) ska multipliceras med -varandra \(n\) gånger: -%% -\[ -(a \cdot b)^n = (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \ldots -\quad \text{o.s.v. }n\text{ gånger.} -\] -%% -I det senare fallet kan parenteserna slopas, utan att resultatet förändras: -\[ -(a \cdot b)^n = a \cdot b \cdot a \cdot b \ldots -\quad \text{o.s.v. }n\text{ gånger.} -\] - -Samlar vi alla \(a\) respektive alla \(b\) var för sig fås -\[a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\] -Skilj noga mellan \(ab^n = a \cdot b^n\) och \((ab)^n = (a \cdot b)^n\). -%% -\begin{quote}\emph{ -Att upphöja en produkt till en potens görs så, att var och en av faktorerna -upphöjs till potensen, varefter resultaten multipliceras med varandra. -}\end{quote} -%% -\paragraph{Exempel 1:} -%% -\[ -(4 \cdot 5)^3 = 4^3 \cdot 5^3 = 64 \cdot 125 = 8000 -\] - -\paragraph{Exempel 2:} -\[ -(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2 -\] -%% -På samma sätt kan ett bråk upphöjas till en potens genom att upphöja täljaren -och nämnaren -%% -\[ -\left(\frac{a}{b}\right)^n = -\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdots -\text{ o.s.v. }n\text{ gånger} -= \frac{a^n}{b^n} -\] -%% -\[ -\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} -\] - -\section{Rötter} -\harecsection{\harec{I}{c.5}{c.5}} - -Roten ur ett tal är den faktor, vars kvadrat är talet. -Tidigare behandlade vi uttrycket \(x^2 = 900\) för att få fram värdet på \(x\). -Vi ''drog kvadratroten ur 900''. -Tecknet \(\sqrt{\ \ \ \ }\) kallas rottecken. - -\(x = \sqrt{900}\) ska egentligen skrivas \(\sqrt[2]{900}\), -men tvåan brukar uteslutas när det gäller kvadratroten. -I övriga fall är det nödvändigt att skriva ut rottermen, till exempel -\(\sqrt[3]{100}\) (uttalas som 3:e roten ur) eller \(\sqrt[6]{100}\) -(uttalas som 6:e roten ur). -Kom ihåg följande allmänna regler: -%% -\begin{gather*} - \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} - \quad \text{och} \quad - \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} -\end{gather*} -%% -Den första regeln förenklar dragning av roten ur stora tal, -\(\sqrt{1225} = \sqrt{25 \cdot 49} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{49} = 5 \cdot 7 = 35\). -Ett större tal kan alltså delas i flera mindre tal, vars respektive rotvärden är -lättare att få fram. -Rotvärdena kan erhållas ur matematiska tabeller eller miniräknare. -Roten ur tal kan bli ändlös, till exempel -\(\sqrt{2} = 1.414\cdots\) och \(\sqrt{3} = 1.732\cdots\) - -\section{Logaritmer} -\label{logaritmer} -\harecsection{\harec{I}{c.3}{c.3}} - -Beräkningar kan göras enklare med användning av logaritmer. -Först studerar vi följande tabell över digniteter av talet 2, -till exempel \(2^4 = 16\) och \(2^9 = 512\). -Produkten eller kvoten av tal kan beräknas med addition respektive subtraktion -sedan talen omvandlats till exponentiella tal med samma bas. - -\paragraph{Exempel:} -1) \(16 \cdot 512 = 2^4 \cdot 2^9 =2^{4+9} = 2^{13} = 8192\)\\ -2) \(\dfrac{2048}{64} = \dfrac{2^{11}}{2^6} =2^{11-6} =2^5 = 32\) -%% -Här är sambandet mellan exponent och dignitet för basen 2: - -\begin{center} -\begin{tabular}{ll|ll} -Expo- & Digni- & Expo- & Digni \\ -nent & tet & nent & tet \\ \hline -1 & 2 & 10 & 1 024 \\ -2 & 4 & 11 & 2 048 (\(=2^{11}\)) \\ -3 & 8 & 12 & 4 096 \\ -4 & 16 (\(=2^4\)) & 13 & 8 192 (\(=2^{13}\)) \\ -5 & 32 & 14 & 16 384 \\ -6 & 64 (\(=2^6\)) & 15 & 32 768 \\ -7 & 128 & 16 & 65 536 \\ -8 & 256 & 17 & 131 072 \\ -9 & 512 (\(=2^9\)) & 18 & 262 144 -\end{tabular} -\end{center} - -En sådan tabell har emellertid begränsad användbarhet vid behandling av -godtyckliga taluppställningar. Begreppet logaritm är däremot mera användbart. - -\begin{quote}\emph{ -Med logaritmen för ett tal menas den exponent, som basen ska upphöjas till, -för att potensens värde ska bli talet. -}\end{quote} - -\begin{tcolorbox}[title=Exempel] -I ekvationen \(2^x = 31\) säger man att \(x\) är logaritmen för talet 31 i det -logaritmsystem, vars bas är 2. -Detta skrivs \(x= log_2 31\) och läses x = tvålogaritmen för talet 31. -Kvadraten på talet 10 är 100, det vill säga \(10^2 = 100\). -Talet 2 är alltså den exponent som talet 10 ska upphöjas med för att digniteten -ska bli 100. -Således \(\log_{10}{100} = 2\). -\end{tcolorbox} - -Vid omvandling mellan decimala tal och deras logaritmer används så kallade -logaritmtabeller eller miniräknare (inte de allra enklaste). -För överslagsberäkningar används även diagram och skalor (t.ex. räknestickan). - -\paragraph{Så här räknar man med logaritmer} - -När decimala tal ska \emph{multipliceras} med varandra, omvandlar man dem -först till logaritmer. -Man \emph{adderar} dessa och återvandlar resultatet till decimala tal igen. - -När decimala tal ska \emph{divideras} med varandra, omvandlar man dem först -till logaritmer. -Man \emph{subtraherar} dessa och återvandlar resultatet till decimala tal igen. - -\paragraph{Exempel:} - -Talen 100, 100, 100, 2 och 2 ska multipliceras med varandra. -Det decimala förfarandet är: -%% -\[100 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 2 \cdot 2 = 4000000 = 4 \cdot 10^6\] -%% -Förfarandet med logaritmer är att man omvandlar talen till deras respektive -10-logaritm, vilken är \(\log_{10} x\), varefter logaritmerna adderas. -Dessa räkneoperationer kan göras till exempel med en miniräknare. -Då fås \(2 + 2 + 2 + 0.30103 + 0.30103 = 6.60206\) som är summan av -logaritmerna för talen. - -För att uttrycka svaret som ett decimalt tal omvandlas logaritmen till -antilogaritm, vilken är \(10^x = 10^{6,60206} = 4 \cdot 10^6\) (samma som vid -det decimala förfarandet). - -Skulle talen ha dividerats så skulle deras respektive logaritmer ha subtraherats -från varandra i stället. - -Här är sambandet mellan en serie decimala tal och deras 10-logaritmer -(\(\log_{10} x\)). - -%% k7per: Add S for first column, think about second column. -\begin{center} -\begin{tabular}{l|r|r} -Antilogaritmen & Dignitet & Logaritmen \\ -för tal med & & för \(\log_{10} x\) \\ -10-bas och & & \\ -exponenten & & (avrundade \\ -x d.v.s. (\(10^x\)) & & tal) \\ \hline -1,00 & \(1,00 \cdot 10^0\) & \(0,00\) \\ -1,25 & \(1,25 \cdot 10^0\) & \(0,097 \approx 0,10\) \\ -1,6 & \(1,6 \cdot 10^0\) & \(0,204 \approx 0,20\) \\ -2,0 & \(2,0 \cdot 10^0\) & \(0,301 \approx 0,30\) \\ -2,5 & \(2,5 \cdot 10^0\) & \(0,398 \approx 0,40\) \\ -3,2 & \(3,2 \cdot 10^0\) & \(0,505 \approx 0,50\) \\ -4 & \(4 \cdot 10^0\) & \(0,602 \approx 0,60\) \\ -5 & \(5 \cdot 10^0\) & \(0,699 \approx 0,70\) \\ -6 & \(6 \cdot 10^0\) & \(0,778 \approx 0,80\) \\ -7 & \(7 \cdot 10^0\) & \(\approx 0,85\) \\ -8 & \(8 \cdot 10^0\) & \(0,903 \approx 0,90\) \\ -9 & \(9 \cdot 10^0\) & \(\approx 0,95\) \\ -10 & \(1 \cdot 10^1\) & \(1,00\) \\ -20 & \(2 \cdot 10^1\) & \(1,301 \approx 1,30\) \\ -30 & \(3 \cdot 10^1\) & \(1,477 \approx 1,50\) \\ -50 & \(5 \cdot 10^1\) & \(1,699 \approx 1,70\) \\ -100 & \(1 \cdot 10^2\) & \(2,00\) \\ -500 & \(5 \cdot 10^2\) & \(\approx 2,70\) \\ -1 000 & \(1 \cdot 10^3\) & \(3,00\) \\ -5 000 & \(5 \cdot 10^3\) & \(\approx 3,70\) \\ -10 000 & \(1 \cdot 10^4\) & \(4,00\) \\ -100 000 & \(1 \cdot 10^5\) & \(5,00\) \\ -1 000 000 & \(1 \cdot 10^6\) & \(6,00\) \\ -\end{tabular} -\end{center} - -\section{Binära tal} -\harecsection{\harec{I}{c.8}{c.8}} -\index{binära tal} - -\emph{Binära tal} är tal som skrivs på talbas 2 istället för vår normala -talbas 10. -Det innebär att varje siffra till vänster har en vikt som är två gånger större -än föregående. -Varje siffra kan bara vara 0 eller 1. -Ett enkelt sätt att illustrera det är en kort tabell. - -\begin{center} -\begin{tabular}{r|rrr|r} - binärt tal & \(2^2\) & \(2^1\) & \(2^0\) & decimalt tal \\ \hline - 000 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 001 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ - 010 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ - 011 & 0 & 2 & 1 & 3 \\ - 100 & 4 & 0 & 0 & 4 \\ - 101 & 4 & 0 & 1 & 5 \\ - 110 & 4 & 2 & 0 & 6 \\ - 111 & 4 & 2 & 1 & 7 \\ -\end{tabular} -\end{center} - -Ofta grupperar man de binära värdena i grupper om tre eller fyra siffror -beroende på sammanhanget. - -För större värden är binärt ohanterbart långt. -Därför konverterar man gärna grupperna av värden till siffror och bokstäver, där -grupper om tre skrivs på oktal form (talbas 8) och grupper om fyra skrivs på -hexadecimal form (talbas 16). - -\begin{tabular}{r|rrrr|c|c|r} - BIN & \(2^3\) & \(2^2\) & \(2^1\) & \(2^0\) & OCT & HEX & DEC\\ \hline - 0000 & 0 & 0 & 0 & 0 & 00 & 0 & 0 \\ - 0001 & 0 & 0 & 0 & 1 & 01 & 1 & 1 \\ - 0010 & 0 & 0 & 2 & 0 & 02 & 2 & 2 \\ - 0011 & 0 & 0 & 2 & 1 & 03 & 3 & 3 \\ - 0100 & 0 & 4 & 0 & 0 & 04 & 4 & 4 \\ - 0101 & 0 & 4 & 0 & 1 & 05 & 5 & 5 \\ - 0110 & 0 & 4 & 2 & 0 & 06 & 6 & 6 \\ - 0111 & 0 & 4 & 2 & 1 & 07 & 7 & 7 \\ - 1000 & 8 & 0 & 0 & 0 & 10 & 8 & 8 \\ - 1001 & 8 & 0 & 0 & 1 & 11 & 9 & 9 \\ - 1010 & 8 & 0 & 2 & 0 & 12 & A & 10 \\ - 1011 & 8 & 0 & 2 & 1 & 13 & B & 11 \\ - 1100 & 8 & 4 & 0 & 0 & 14 & C & 12 \\ - 1101 & 8 & 4 & 0 & 1 & 15 & D & 13 \\ - 1110 & 8 & 4 & 2 & 0 & 16 & E & 14 \\ - 1111 & 8 & 4 & 2 & 1 & 17 & F & 15 \\ -\end{tabular}