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| Original file line number | Diff line number | Diff line change |
|---|---|---|
| @@ -0,0 +1,179 @@ | ||
| ### 题目描述 | ||
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| 这是 LeetCode 上的 **[1537. 最大得分](https://leetcode.cn/problems/get-the-maximum-score/solution/by-ac_oier-ht78/)** ，难度为 **困难**。 | ||
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| Tag : 「前缀和」、「构造」、「双指针」、「序列 DP」、「动态规划」 | ||
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| 你有两个 有序 且数组内元素互不相同的数组 `nums1` 和 `nums2` 。 | ||
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| 一条 合法路径 定义如下： | ||
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| * 选择数组 `nums1` 或者 `nums2` 开始遍历（从下标 $0$ 处开始）。 | ||
| * 从左到右遍历当前数组。 | ||
| * 如果你遇到了 `nums1` 和 `nums2` 中都存在的值，那么你可以切换路径到另一个数组对应数字处继续遍历（但在合法路径中重复数字只会被统计一次）。 | ||
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| 得分定义为合法路径中不同数字的和。 | ||
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| 请你返回所有可能合法路径中的最大得分。 | ||
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| 由于答案可能很大，请你将它对 $10^9 + 7$ 取余后返回。 | ||
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| 示例 1： | ||
|  | ||
| ``` | ||
| 输入：nums1 = [2,4,5,8,10], nums2 = [4,6,8,9] | ||
| 输出：30 | ||
| 解释：合法路径包括： | ||
| [2,4,5,8,10], [2,4,5,8,9], [2,4,6,8,9], [2,4,6,8,10],（从 nums1 开始遍历） | ||
| [4,6,8,9], [4,5,8,10], [4,5,8,9], [4,6,8,10] （从 nums2 开始遍历） | ||
| 最大得分为上图中的绿色路径 [2,4,6,8,10] 。 | ||
| ``` | ||
| 示例 2： | ||
| ``` | ||
| 输入：nums1 = [1,3,5,7,9], nums2 = [3,5,100] | ||
| 输出：109 | ||
| 解释：最大得分由路径 [1,3,5,100] 得到。 | ||
| ``` | ||
| 示例 3： | ||
| ``` | ||
| 输入：nums1 = [1,2,3,4,5], nums2 = [6,7,8,9,10] | ||
| 输出：40 | ||
| 解释：nums1 和 nums2 之间无相同数字。 | ||
| 最大得分由路径 [6,7,8,9,10] 得到。 | ||
| ``` | ||
| 示例 4： | ||
| ``` | ||
| 输入：nums1 = [1,4,5,8,9,11,19], nums2 = [2,3,4,11,12] | ||
| 输出：61 | ||
| ``` | ||
|
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| 提示： | ||
| * $1 <= nums1.length <= 10^5$ | ||
| * $1 <= nums2.length <= 10^5$ | ||
| * $1 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^7$ | ||
| * `nums1` 和 `nums2` 都是严格递增的数组。 | ||
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| --- | ||
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| ### 前缀和 + 构造（分段计算） | ||
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| 一个简单且正确的做法，是我们构造一种决策方案，使得能够直接计算出最大得分。 | ||
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| 首先，在最佳路径中所有的公共点都必然会经过，因此我们可以将值相等的点进行合并，即看作同一个点。 | ||
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| 利用两个数组均满足「单调递增」，我们可以通过 $O(n + m)$ 的复杂度统计出那些公共点，以二元组 $(i, j)$ 的形式存储到 `list` 数组（二元组含义为 $nums1[i] = nums2[j]$）。 | ||
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| 对于 `list` 中的每对相邻元素（相邻公共点），假设为 $(a_i, b_i)$ 和 $(c_i, d_i)$，我们可以通过「前缀和」计算出 $nums1[a_i ... c_i]$ 以及 $nums2[b_i ... d_i]$ 的和，从而决策出在 $nums1[a_i]$（或者说是 $nums2[b_i]$，这两个是同一个点）时，我们应当走哪一段。 | ||
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| 当计算完所有公共点之间的得分后，对于最佳路线的首位两端，也是结合「前缀和」做同样的逻辑处理即可。 | ||
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| 代码： | ||
| ```Java | ||
| class Solution { | ||
| int MOD = (int)1e9 + 7; | ||
| public int maxSum(int[] nums1, int[] nums2) { | ||
| int n = nums1.length, m = nums2.length; | ||
| long[] s1 = new long[n + 10], s2 = new long[m + 10]; | ||
| for (int i = 1; i <= n; i++) s1[i] = s1[i - 1] + nums1[i - 1]; | ||
| for (int i = 1; i <= m; i++) s2[i] = s2[i - 1] + nums2[i - 1]; | ||
| List<int[]> list = new ArrayList<>(); | ||
| for (int i = 0, j = 0; i < n && j < m; ) { | ||
| if (nums1[i] == nums2[j]) list.add(new int[]{i, j}); | ||
| if (nums1[i] < nums2[j]) i++; | ||
| else j++; | ||
| } | ||
| long ans = 0; | ||
| for (int i = 0, p1 = -1, p2 = -1; i <= list.size(); i++) { | ||
| int idx1 = 0, idx2 = 0; | ||
| if (i < list.size()) { | ||
| int[] info = list.get(i); | ||
| idx1 = info[0]; idx2 = info[1]; | ||
| } else { | ||
| idx1 = n - 1; idx2 = m - 1; | ||
| } | ||
| long t1 = s1[idx1 + 1] - s1[p1 + 1], t2 = s2[idx2 + 1] - s2[p2 + 1]; | ||
| ans += Math.max(t1, t2); | ||
| p1 = idx1; p2 = idx2; | ||
| } | ||
| return (int)(ans % MOD); | ||
| } | ||
| } | ||
| ``` | ||
| * 时间复杂度：$O(n + m)$ | ||
| * 空间复杂度：$O(n + m)$ | ||
|
|
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| --- | ||
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|
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| ### 序列 DP | ||
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| 另外一个较为常见的做法是「序列 DP」做法。 | ||
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| 定义 $f[i]$ 代表在 `nums1` 上进行移动，到达 $nums1[i]$ 的最大得分；定义 $g[j]$ 代表在 `nums2` 上进行移动，到达 $nums[j]$ 的最大得分。 | ||
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|
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| 由于两者的分析是类似的，我们以 $f[i]$ 为例进行分析即可。 | ||
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| 不失一般性考虑 $f[i]$ 如何转移，假设当前处理到的是 $nums1[i]$，根据 $nums1[i]$ 是否为公共点，进行分情况讨论： | ||
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| * $nums1[i]$ 不为公共点，此时只能由 $nums[i - 1]$ 转移而来，即有 $f[i] = f[i - 1] + nums[i]$； | ||
| * $nums1[i]$ 为公共点（假设与 $nums2[j]$ 公共），此时能够从 $nums1[i - 1]$ 或 $nums2[j - 1]$ 转移而来，我们需要取 $f[i - 1]$ 和 $g[j - 1]$ 的最大值，即有 $f[i] = g[j] = \max(f[i - 1], g[j - 1]) + nums1[i]$。 | ||
|
|
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| 更重要的是，我们需要确保计算 $f[i]$ 时，$g[j - 1]$ 已被计算完成。 | ||
|
|
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| 由于最佳路线必然满足「单调递增」，因此我们可以使用「双指针」来对 $f[i]$ 和 $g[j]$ 同时进行转移，每次取值小的进行更新，从而确保更新过程也是单调的，即当需要计算 $f[i]$ 时，比 $nums1[i]$ 小的 $f[X]$ 和 $g[X]$ 均被转移完成。 | ||
|
|
||
| 代码： | ||
| ```Java | ||
| class Solution { | ||
| int MOD = (int)1e9 + 7; | ||
| public int maxSum(int[] nums1, int[] nums2) { | ||
| int n = nums1.length, m = nums2.length; | ||
| long[] f = new long[n + 1], g = new long[m + 1]; | ||
| int i = 1, j = 1; | ||
| while (i <= n || j <= m) { | ||
| if (i <= n && j <= m) { | ||
| if (nums1[i - 1] < nums2[j - 1]) { | ||
| f[i] = f[i - 1] + nums1[i - 1]; | ||
| i++; | ||
| } else if (nums2[j - 1] < nums1[i - 1]) { | ||
| g[j] = g[j - 1] + nums2[j - 1]; | ||
| j++; | ||
| } else { | ||
| f[i] = g[j] = Math.max(f[i - 1], g[j - 1]) + nums1[i - 1]; | ||
| i++; j++; | ||
| } | ||
| } else if (i <= n) { | ||
| f[i] = f[i - 1] + nums1[i - 1]; | ||
| i++; | ||
| } else { | ||
| g[j] = g[j - 1] + nums2[j - 1]; | ||
| j++; | ||
| } | ||
| } | ||
| return (int) (Math.max(f[n], g[m]) % MOD); | ||
| } | ||
| } | ||
| ``` | ||
| * 时间复杂度：$O(n + m)$ | ||
| * 空间复杂度：$O(n + m)$ | ||
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| --- | ||
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| ### 最后 | ||
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| 这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.1537` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 | ||
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| 在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 | ||
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| 为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 | ||
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| 在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 | ||
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