classVA1.rmd

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title: "Tema 3-Variables aleatorias I"
output: html_document
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1. Sea la VA X: "nº de caras en n lanzamientos de una moneda
cuya probabilidad de cara es p". Estudia su distribución para el caso
$p=1/2$, $n=100$ mediante la función de probabilidad.

$$P(X=x) = nCx \cdot p^x \cdot (1-p) ^{n-x}$$

```{r}
p_heads = function(x, n, p){
  choose(n,x)*((p^x) * (1-p)^(n-x))
}

p_heads = Vectorize(p_heads)
#Lanzamos 100 veces una moneda, el numero máximo de caras que podemos sacar es 100, y el mínimo 0, Si queremos todos esos calculos, recordemos que aquí todo esta vectorizado. 

all_probs = p_heads(0:100, 100, 0.5)
plot(0:100, all_probs, type = "h", xlab = "x: nº caras", ylab = "y: P(X=x)")

```


1.2 Escribe una función de R para la función de distribución de la VA aleatoria
X: ''nº de caras en 100 lanzamientos de una moneda cuya probabilidad de cara es 0.5".
Dibújala y úsala para responder a las siguientes preguntas:

  * $P(40 \leq X \leq 60)$
  * $P(40 < X < 60)$
  * $P(40 \leq X < 60)$

```{r}
#F(X) = P(X<= x) = sum(all(p(X=x) X <= x))
F_heads = function(x, n, p){
  sum(p_heads(0:x,n,p))
}
F_heads = Vectorize(F_heads)
#a) 
F_heads(60, 100, 0.5) - F_heads(39, 100, 0.5)
#b)
F_heads(59, 100, 0.5) - F_heads(40, 100, 0.5)
#c)
F_heads(59, 100, 0.5) - F_heads(39, 100, 0.5)

F_values = F_heads(0:100, 100, 0.5)
plot(0:100, F_values)

```
1.3 Calcula la esperanza de la variable aleatoria X:''nº de caras en 100 lanzamientos
de una moneda sin trucar'' usando 1) la definición y 2) simulaciones. ¿Cuadra
con tu intuición?

```{r}
#1)E[X] = sum(x * P(X = x)) = mu
sum((0:100) * p_heads(0:100, 100, 0.5))
#2)
N = 5000
sims = replicate(N, {
  sum(sample(0:1, 100, replace = TRUE))
})
mu = mean(sims)
```
2. Un jugador gana 1 euro si al tirar un dado obtiene un 1 o un 3; pierde 2 euros
si sale un 2, 4, 6; y gana 4 euros si sale un 5. ¿Cuál es la ganancia esperada? 
¿Jugarías a este juego?

```{r}
N = 5000
sims = replicate(N,{
  resultado = 0 
  dado = sample(0:6, 1)
  if(dado %% 2 == 0){
    resultado = resultado - 2
  }else if(dado == 5){
    resultado = resultado + 4
  }else{ 
    resultado = resultado + 1
  }
  sum(resultado)
})
mean(sims)

```

#Calcula la varianza y desviaci´on t´ıpica de la variable aleatoria X:“nº de caras en
100 lanzamientos de una moneda sin trucar” usando 1) la definici´on y 2)
simulaciones. Visualiza la desviaci´on t´ıpica sobre la funci´on de probabilidad.

```{r}
#Var[X]= E[(X-u)^2]
#Que es lo que hacemos en la varianza, nuestras Xs, son [(X - u)^2] y la esperanza, sera entonces
#ese sumatorio de las Xs, (que van del 0-X) * su prob

varianza = sum((0:100 - 50)^2 * (p_heads(0:100, 100, 0.5)))
sd_aja = sqrt(varianza)

plot(0:100, p_heads(0:100, 100, 0.5), type = "h")
abline(v = 50 - sd_aja, col = 2, lwd = 3)
abline(v = 50 + sd_aja, col = 2, lwd = 3)

abline(v = 50 - 3*sd_aja, col = 3, lwd = 3)
abline(v = 50 + 3*sd_aja, col = 3, lwd = 3)

#por simulaciones
xs = re
```

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