report.tex

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\documentclass{hitgsrep}
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\usepackage{physics}
\usepackage[outputdir={out}]{minted}% 代码高亮，需要Pygments

\hitgsrepset{
    author={张三}, % 学生姓名
    studentid={19SXXXXXX}, % 学号
    studentcat={工学硕士}, % 学生类别
    course={数值分析}, % 考核科目
    affiliation={仪器科学与工程学院}, % 学生所在院（系）
    discipline={仪器科学与技术}, % 学生所在学科
%    year={\the\year}, % 年份（不填根据当前时间自动生成，一月时需要手动填入前一年的年份）
%    semester={秋}, % 学期（不填根据当前时间自动生成）
}

% Mathemtica代码高亮
\newminted[wlcode]{mathematica}{linenos,autogobble}
\newminted[wlinput]{mathematica}{autogobble}

\begin{document}
\maketitle

\section{龙贝格积分法}

\begin{abstract}
    对于实际的工程积分问题，很难应用-莱布尼兹公式去求解。
    因此应用数值方法进行求解积分问题已经有着很广泛的应用，本文基于龙贝格积分法来解决一类积分问题。
\end{abstract}

\subsection{数学原理}

考虑积分$I(f)=\int_a^b f(x)\dd{x}$，欲求其近似值，通常有复化的梯形公式、辛普森公式和科特斯公式。
但是给定一个精度，这些公式达到要求的速度很缓慢。如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。
为此，记$T_{1,k}$为将区间$[a,b]$进行$2^k$等分的复化的梯形公式计算结果，
相仿的，记$T_{2,k}$为将区间$[a,b]$进行$2^k$等分的复化的辛普森公式计算结果，等等。
根据Richardson外推加速方法，可以得到收敛速度较快的龙贝格积分法。其具体的计算公式为：
\begin{enumerate}
    \item 准备初值，计算
    $$
        T_{1,1}=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]
    $$
    \item\label{itm:cal:rec} 按梯形公式的递推关系，计算
    $$
        T_{1,k+1}=\frac{1}{2}T_{1,k}+\frac{b-a}{2^k}\sum_{i=0}^{2^{k-1}-1}f\qty(a+\frac{b-a}{2^{k-1}}(i+0.5))
    $$
    \item 按龙贝格积分公式计算加速值
    $$
        T_{m,k-m}=\frac{4^{m-1}T_{m-1,k+1-m}-T_{m-1,k-m}}{4^{m-1}-1}
    $$
    \item 精度控制。对给定的精度$R$，若
    $$
        \abs{T_{m,1}-T_{m-1,1}}<R
    $$
    则终止计算，并取$T_{m,1}$为最终结果；否则返回 \ref{itm:cal:rec} 重复计算，直到满足要求的精度为止。
\end{enumerate}

\subsection{程序设计}

龙贝格积分函数（Mathematica代码）：
\begin{wlcode}
romberg[f_, {a_, b_}] := Module[{
  k = 1,
  h = b-a,
  n = 1,
  t = {((b-a)/2.)*(f[a]+f[b])}
  },
  While[
    AppendTo[t,
      t[[-1]]/2+(h/2)*Sum[f[a+h*(i+1/2)],{i,0,n-1}]
    ];
    Do[
      t[[k-m+1]] = (4^m*t[[k-m+2]]-t[[k-m+1]])/(4^m-1),
      {m, 1, k}
    ];
    h /= 2;
    n *= 2;
    ++k;
    t[[1]] != t[[2]]
  ];
  t[[1]]
]
\end{wlcode}

\subsection{结果分析与讨论}

\begin{enumerate}
    \item 求积分$I=\int_6^{100}x^3\dd{x}$，精确解$I=24999676$
    \begin{wlinput}
    In[ ] := romberg[#^3&,{6,100}]
    Out[ ] = 2.4999676*10^7
    \end{wlinput}
    数值结果与精确解相同
    \item\label{itm:ex:discnt} 求积分$\int_0^1\frac{\sin(x)}{x}\dd{x}$\\
    直接按前面方法进行积分，会发现系统报错：“碰到不定表达式”。
    出现这种情况的原因就是当$x=0$时，被积函数分子分母都出现了$0$，
    但我们知道该点其实是一个可去间断点，通过分段函数补充这点的定义就可以避免这个问题。
    \begin{wlinput}
    In[ ] := romberg[If[#==0,1,Sin[#]/#]&,{0,1}]
    Out[ ] = 0.946083070367
    \end{wlinput}
    \item 求积分$\int_0^1\sin(x^2)\dd{x}$
    \begin{wlinput}
    In[ ] := romberg[Sin[#^2]&,{6,100}]
    Out[ ] = -0.007041267446
    \end{wlinput}
\end{enumerate}

\subsection{结论}

龙贝格积分通常要求被积函数在积分区间上没有奇点。
如有奇点，且奇点为第一间断点，那么采用例~\ref{itm:ex:discnt} 的方法，还是能够求出来的，
否则，可能需要采用其它的积分方法。
当然，龙贝格积分的收敛速度还是比较快的。

\end{document}