03-Cap3.Rmd

# Estimação Baseada no Plano Amostral {#capplanamo}

## Estimação de Totais {#estimatotais}

Devido a sua importância para os desenvolvimentos teóricos em vários dos capítulos subsequentes, alguns resultados básicos relativos à estimação de totais da população finita numa abordagem baseada no plano amostral serão reproduzidos nesta seção. A referência básica usada foi a  Seção 2.8 de [@SSW92].

Consideremos o problema de estimar o vetor $\mathbf{Y}=\sum_{i \in U}\mathbf{y}_i$ de totais das $P$ variáveis da pesquisa na população, a partir de uma amostra observada $a$. Naturalmente, qualquer estimador viável do total $\mathbf{Y}$ só pode depender dos valores das
variáveis de pesquisa observados na amostra, contidos em $\mathbf{y}_{i_{1}}, \ldots , \mathbf{y}_{i_{n}}$, mas não dos valores dessas variáveis para os elementos não pesquisados.

Um estimador usual baseado no plano amostral para o total $\mathbf{Y}$ é o estimador de Horvitz-Thompson, também chamado \emph{estimador} $\pi$ \emph{-ponderado} (veja p.42 de [@SSW92]), dado por:

\begin{equation}
\hat{\mathbf{Y}}_\pi = \sum_{i \in a} \mathbf{y}_i / \pi_{i} . (\#eq:estpa1)
\end{equation}

Na abordagem baseada no planejamento amostral, as propriedades de uma estatística ou estimador são avaliadas com respeito à distribuição de aleatorização. Denotemos por $E_p(.)$ e $V_p(.)$ os operadores de esperança e variância referentes à distribuição de probabilidades $p(a)$ induzida pelo planejamento amostral, que chamaremos daqui por diante de `esperança
 de aleatorização` e `variância de aleatorização`.

O estimador $\pi$-ponderado $\mathbf{\hat{Y}}_{\pi}$ é não-viciado para o total $\mathbf{Y}$ com respeito à distribuição de aleatorização, isto é

\[
E_p \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right) = \mathbf{Y} . 
\]
Além disto, sua variância de aleatorização é dada por

\begin{equation}
V_p \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right) = \sum_{ i \in U} \, \sum_{j \in U} \left( \pi _{ij} - \pi_i \pi_j \right) \frac{ \mathbf{y}_i} {\pi_i} \frac{\mathbf{y}_j ^{\prime} } {\pi_j} \; .  (\#eq:estpa2)
\end{equation}

Uma expressão alternativa da variância de aleatorização de $\mathbf{\hat{Y}}_{\pi}$ , válida quando o plano amostral é de tamanho fixo, é dada por

\begin{equation}
V_p \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right) = -\frac{1}{2} \sum_{i \in U} \, \sum_{j \in U} \left( \pi_{ij} - \pi_i \pi_j \right) \left( \frac{\mathbf{y}_i} {\pi_i} - \frac{\mathbf{y}_j} {\pi_j} \right) \left( \frac{\mathbf{y}_i} {\pi_i} - \frac{\mathbf{y}_j} {\pi_j} \right) ^{^{\prime}}.  (\#eq:estpa3)
\end{equation}

Note que na expressão \@ref(eq:estpa3) os termos onde $i=j$ não contribuem para a soma. Dois estimadores são usualmente recomendados para estimar a variância de aleatorização de $\mathbf{\hat{Y}}_{\pi}$. O primeiro é motivado pela expressão \@ref(eq:estpa2) e é dado por

\begin{equation}
\hat{V}_p \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right) = \sum_{i \in a} \, \sum_{j \in a} \frac{\pi_{ij} - \pi_i \pi_j} {\pi_{ij}} \frac{\mathbf{y}_i} {\pi_i} \frac{\mathbf{y}_j^{^{\prime}}} {\pi_j} \mbox{.}  (\#eq:estpa4)
\end{equation}

O estimador de variância em \@ref(eq:estpa4) é um estimador não-viciado da variância de aleatorização de $\mathbf{\hat{Y}}_{\pi}$, isto é 

\begin{equation}
E_p \left[ \hat{V}_p \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right) \right] = V_p \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right) (\#eq:estpa5)
\end{equation}

desde que $\pi _{ij} > 0 \quad \forall i,j \in U$, como suposto neste livro na Seção \@ref(planamo).

O segundo estimador da variância, chamado estimador de Sen-Yates-Grundy, é motivado pela expressão \@ref(eq:estpa3) e é dado por 

\begin{equation}
\hat{V}_{SYG} \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right) = - \frac{1}{2} \sum_{i \in a} \, \sum_{j \in a} \frac{\pi _{ij} - \pi_i \pi_j} {\pi_{ij}} \left( \frac{
\mathbf{y}_i} {\pi_i} - \frac{\mathbf{y}_j} {\pi_j} \right) \left( 
\frac{\mathbf{y}_i} {\pi_i} - \frac{\mathbf{y}_j} {\pi_j} \right)^{^{\prime }}.  (\#eq:estpa6)
\end{equation}

Observe que embora as expressões da variância \@ref(eq:estpa2) e \@ref(eq:estpa3) coincidam para planos amostrais de tamanho fixo, o mesmo não vale para os estimadores de variância \@ref(eq:estpa4) e \@ref(eq:estpa6), apesar de $\hat{V}_{SYG} \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right)$ ser também
não-viciado para $V_{p} \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right)$ para planos amostrais de tamanho fixo.

```{example, label = "exe31"}
Amostragem Aleatória Simples Sem Reposição (AAS)
```

Quando o plano é amostragem aleatória simples sem reposição (AAS), as expressões apresentadas para o estimador de total, sua variância e estimadores desta variância simplificam bastante, porque as probabilidades de inclusão ficam iguais a 
\[
\pi_i = \frac{n}{N}\ \ \forall \ \ i \in U \mbox{,} 
\]
e 
\[
\pi_{ij} = \frac{n(n-1)}{N(N-1)}\ \ \forall \ \ i \neq j \in U\;. 
\]

Essas probabilidades de inclusão levam às seguintes expressões para o caso AAS: 

\begin{equation}
\hat{\mathbf{Y}}_{AAS} = \frac{N}{n} \sum_{i \in a} \mathbf{y}_i = N \overline{\mathbf{y}} \mbox{ ,}  (\#eq:estpa7)
\end{equation}

\begin{equation}
V_{AAS} \left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi} \right) = N^{2} \frac{1-f}{n} \frac{N}{N-1}
\mathbf{S}_y \mbox{ ,}  (\#eq:estpa8)
\end{equation}

\begin{equation}
\hat{V}_p \left( \mathbf{\hat{Y}}_{AAS} \right) = \hat{V}_{SYG} \left( 
\mathbf{\hat{Y}}_{AAS} \right) = N^{2} \frac{1-f}{n} \frac{n}{n-1} \mathbf{\hat{S}}_y \mbox{ ,} (\#eq:estpa9)
\end{equation}

onde $f=n/N$ é a fração amostral e 

\begin{equation}
\overline{\mathbf{y}} = n^{-1} \sum_{i \in a} \mathbf{y}_i \mbox{ ,} (\#eq:estpa10)
\end{equation}

\begin{equation}
\mathbf{S}_y = N^{-1} \sum_{i \in U} \left( \mathbf{y}_i - \overline{\mathbf{Y}}
\right) \left( \mathbf{y}_i - \overline{\mathbf{Y}} \right) ^{^{\prime }} \mbox{ ,}  (\#eq:estpa11)
\end{equation}

\begin{equation}
\overline{\mathbf{Y}} = N^{-1} \sum_{i \in U} \mathbf{y}_i = N^{-1} \mathbf{Y} \mbox{ ,}  (\#eq:estpa12)
\end{equation}

\begin{equation}
\widehat{\mathbf{S}}_y = n^{-1} \sum_{i \in a} \left( \mathbf{y}_i - \overline{\mathbf{y}} \right) \left( \mathbf{y}_i - \overline{\mathbf{y}} \right) ^{^{\prime }} \;. (\#eq:estpa13) 
\end{equation}

Vários estimadores de totais estão disponíveis na literatura de amostragem, porém os que são comumente usados na prática são estimadores ponderados (lineares) da forma 

\begin{equation}
\mathbf{\hat{Y}}_w = \sum\limits_{i \in a} w_i \mathbf{y}_i  (\#eq:estpa14)
\end{equation}

onde $w_i$ é um peso associado à unidade $i$ da amostra ($i \in a$). O estimador $\pi$\textbf{-ponderado} ou  de \textbf{Horvitz-Thompson} é um caso particular de $\mathbf{\hat{Y}}_w$ em \@ref(eq:estpa14) quando os pesos $w_i$ são da forma

$$
w_i^{HT} = \pi_i ^{-1} \quad \forall \ \ i \in a. 
$$

Outros dois estimadores de totais comumente usados pelos praticantes de amostragem são o estimador de razão $\mathbf{\hat{Y}}_R$ e o estimador de regressão $\mathbf{\hat{Y}}_{REG}$, dados respectivamente por 

\begin{equation}
\mathbf{\hat{Y}}_R = \left( \sum_{i \in a} {\ \pi_i^{-1}} \mathbf{y}_i \right) \times \left( \sum_{i \in U}x_i \right) / \left( \sum_{i \in a} {\ \pi_i^{-1}} x_i \right)  (\#eq:estpa15)
\end{equation}

e 

\begin{equation}
\mathbf{\hat{Y}}_{REG} = \sum\limits_{i \in a} {\pi_i^{-1}} \mathbf{y}_i + \left( \sum\limits_{i \in U} x_i - \sum\limits_{i \in a} {\pi_i^{-1}} x_i \right) b_{xy}  (\#eq:estpa16)
\end{equation}

onde $x$ é uma variável auxiliar cujo total populacional $\sum_{i \in U} x_i = X$ é conhecido e $b_{xy}$ é um estimador dos coeficientes da regressão linear entre as variáveis de pesquisa $\mathbf{y}$ e a variável auxiliar $x$.

Ambos os estimadores $\mathbf{\hat{Y}}_R$ e $\mathbf{\hat{Y}}_{REG}$ podem ser escritos na forma $\mathbf{\hat{Y}}_w = \sum\limits_{i \in a} w_i \mathbf{y}_i$ com pesos $w_i$ dados respectivamente por 

\begin{equation}
w_i^R = \frac{\pi_i^{-1} \sum_{k \in U} x_k} {\sum\limits_{k \in a} \pi_k^{-1} x_k} = \frac{\pi_i^{-1} X} {\widehat{X}_{\pi}} (\#eq:estpa17) 
\end{equation}

e 

\begin{equation}
w_i^{REG} = \pi_i^{-1} g_i \mbox{ ,} (\#eq:estpa18)
\end{equation}

onde $\widehat{X}_{\pi} = \sum\limits_{i \in a} \pi_i^{-1} x_i$ é o estimador $\pi$ -ponderado de $X$ e $g_{i} = 1 + x_{i \mbox{ }} (X - \widehat{X}_{\pi}) / \sum_{i \in a} \pi_i^{-1} x_i^2$ .

O estimador de regressão descrito em \@ref(eq:estpa16) é um caso particular do estimador de regressão generalizado, obtido quando se consideram vetores de variáveis auxiliares em vez de uma única variável auxiliar $x$ como aqui. Outra forma de generalizar o estimador de regressão é considerar estimadores alternativos dos coeficientes de regressão em lugar do estimador simples $b_{xy}$ empregado aqui. Para uma discussão detalhada do estimador de regressão generalizado veja [@Silva], Cap.3.

Para completar a descrição dos procedimentos de inferência para médias e totais baseados em estimadores ponderados do tipo razão ou regressão, é necessário identificar estimadores para as variâncias de aleatorização correspondentes. Entretanto, os estimadores de razão e regressão são viciados sob a distribuição de aleatorização para pequenas amostras. Em ambos os
casos, o vício é desprezível para amostras grandes, e estão disponíveis expressões assintóticas para as respectivas variâncias de aleatorização. Partindo destas foram então
construídos estimadores amostrais das variâncias dos estimadores de razão e regressão, que podem ser encontrados na excelente revisão sobre o tema contida em [@SSW92], Seção 6.6 e cap. 7. Apesar de sua importância para os praticantes de amostragem, a discussão detalhada desse problema não será incluída neste livro.

O problema da estimação das variâncias de aleatorização para estimadores como os de razão e regressão nos remete a uma questão central da teoria da amostragem. Trata-se dos métodos
disponíveis para estimar variâncias de estimadores `complexos`. O caso dos estimadores de razão e regressão para totais e médias foi resolvido faz tempo, e não há muito o que discutir aqui. Entretanto, a variedade de métodos empregados para estimação de variâncias merece uma discussão em separado, pois as técnicas de ajuste consideradas neste livro para incorporar pesos e plano amostral na inferência partindo de dados de pesquisas amostrais complexas depende em grande medida da aplicação de tais técnicas.

## Por que Estimar Variâncias

Em Amostragem, como de resto na Estatística Clássica, a estimação de variâncias é um componente `essencial` da
abordagem inferencial adotada: sem estimativas de variância, nenhuma
indicação da precisão (e portanto, da qualidade) das estimativas
de interesse está disponível. Nesse caso, uma tentação que
assola muitos usuários incautos é esquecer que os resultados são
baseados em dados apenas de uma amostra da população, e portanto
sujeitos a incerteza, que não pode ser quantificada sem medidas de
precisão amostral.

Em geral, a obtenção de estimativas de variâncias
(alternativamente, de desvios padrões ou mesmo de coeficientes de variação) é requerida para que intervalos de confiança possam ser
calculados, e outras formas de inferência realizadas. Intervalos de
confiança elaborados com estimativas amostrais são geralmente
baseados em aproximações assintóticas da distribuição
normal, tais que intervalos da forma 
$$
IC\left[ \widehat{\theta };\widehat{V}_{p}\left( \widehat{\theta }\right)
\right] =\left[ \widehat{\theta }\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\widehat{V}%
_{p}\left( \widehat{\theta }\right) }\right] 
$$
têm probabilidade de cobertura aproximada $1-\alpha$. 

Estimativas de variância podem ser úteis também para outras
finalidades, tais como a detecção de problemas não antecipados,
tais como observações suspeitas, celas raras em tabelas de
contingência, etc.

A estimação de variâncias para os casos padrões de
amostragem, isto é, quando os estimadores são lineares nas observações amostrais, não viciados, e todas as probabilidades de
inclusão conjuntas são não nulas, é tratada em todos os
livros de amostragem convencionais. Apesar disso, os pacotes
estatísticos usuais, tais como SAS, SPSS, MINITAB, BMDP e outros,
não oferecem rotinas prontas para estimar variâncias considerando o
plano amostral, nem mesmo para estatísticas simples como estimadores de
totais e médias.

Para alguns planos amostrais utilizados na prática, as probabilidades de inclusão conjuntas podem ser nulas (caso de amostragem sistemática)
ou difíceis de calcular (caso de alguns esquemas de seleção com
probabilidades desiguais). Nesses casos, as expressões fornecidas na 
Seção \@ref(estimatotais) para os estimadores das variâncias dos
estimadores de totais não são mais válidas.

Em muitos outros casos, como se verá no restante deste livro, os
parâmetros de interesse são `não lineares` (diferentes de
totais, médias e proporções, por exemplo). Casos comuns que
consideraremos mais adiante são a estimação de razões,
coeficientes de regressão, etc. Nesses casos é comum que as
estatísticas empregadas para estimar tais parâmetros também
sejam `não lineares`.

Finalmente, alguns estimadores de variância podem, em alguns casos,
produzir estimativas negativas da variância, que são
inaceitáveis de um ponto de vista prático (tais como o estimador da
expressão \@ref(eq:estpa5) para alguns esquemas de seleção com
probabilidades desiguais e determinadas configurações peculiares da
amostra).

Em todos esses casos, é requerido o emprego de técnicas especiais de
estimação de variância. é de algumas dessas técnicas que
tratam as seções seguintes deste capítulo. A seleção das
técnicas discutidas aqui não é exaustiva, e um tratamento
mais completo e aprofundado da questão pode ser encontrado no livro de
[@W85]. Discutimos inicialmente a técnica de `
Linearização de Taylor`, em seguida uma abordagem comumente adotada para estimar
variâncias para planos amostrais estratificados em vários
estágios, com seleção de unidades primárias com
probabilidades desiguais, denominada `Método do Conglomerado
Primário` (do inglês *Ultimate Cluster*, e finalmente se
discute brevemente uma técnica baseada na ideia de 
pseudo-replicações da amostra, denominada `Jackknife`. A combinação
dessas três idéias suporta os desenvolvimentos teóricos dos
algoritmos empregados pelos principais pacotes estatísticos
especializados em estimação de variâncias de aleatorização (veja discussão no Capítulo \@ref(agregdesag).

## Linearização de Taylor para Estimar variâncias {#taylor}

Um problema que ocorre frequentemente é o de estimar um vetor de
parâmetros 
$\mathbf{\theta =}\left( \theta _{1},\ldots ,\theta_{K}\right)$, que pode ser escrito na forma 
$$
\mathbf{\theta }=\mathbf{g}(\mathbf{Y})\;, 
$$
onde $\mathbf{Y}=\sum_{i\in U}\mathbf{y}_{i}=(Y_{1},\ldots ,Y_{R})^{^{\prime}}$ é um vetor de totais de $R$ variáveis de pesquisa.

Consideremos estimadores $\pi$-ponderados de $\mathbf{Y}$, isto é,
estimadores da forma: 
$$
\widehat{\mathbf{Y}}_{\pi }=\sum_{i\in s}\mathbf{y}_{i}/\pi _{i}\;. 
$$
Poderíamos usar $\mathbf{\hat{\theta}}$ dado por 
$$
\mathbf{\hat{\theta}}=\mathbf{g}\left( \widehat{\mathbf{Y}}_{\pi }\right) =\mathbf{g}(\sum_{i\in s}\mathbf{y}_{i}/\pi _{i})\;. 
$$
como estimador de $\mathbf{\theta}$. No caso particular em que $\mathbf{g}$ é uma função linear, é fácil estudar as propriedades de 
$\mathbf{\hat{\theta}}$.

Assumindo então que $\mathbf{\theta}$ é da forma

$$
\mathbf{\theta }=\mathbf{AY}\mbox{ ,} 
$$
onde $\mathbf{A}$ é uma matriz $K\times R$ de constantes, o estimador 
$\mathbf{\hat{\theta}}$ de $\mathbf{\theta }$ neste caso seria 

$$
\mathbf{\hat{\theta}}=\mathbf{A\hat{Y}}_{\pi }\;\;. 
$$

Este estimador é não-viciado e tem variância de aleatorização 
$$
V_{p}\left( \mathbf{\hat{\theta}}\right) =\mathbf{A}V_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right) \mathbf{A}^{^{\prime }}\mathbf{,} 
$$
onde $V_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right)$ é dado em \@ref(eq:estpa2)
ou \@ref(eq:estpa3).

Quando $\mathbf{g}$ é não linear, podemos usar a técnica de
Linearização de Taylor (ou Método Delta) para obter aproximações assintóticas para a variância de 
$\mathbf{\hat{\theta}}=\mathbf{g}\left( \widehat{\mathbf{Y}}_{\pi }\right)$. Para maiores detalhes
sobre esse método, veja por exemplo p. 172 de [@SSW92], p. 221 de [@W85] ou p. 486 de [@Bishop].

Vamos considerar a expansão de $\mathbf{g}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi
}\right)$ em torno de $\mathbf{Y}$, até o termo de primeira ordem,
desprezando o resto, dada por:

\begin{equation}
\mathbf{\hat{\theta}\simeq \hat{\theta}}_{L}=\mathbf{g(Y)+\Delta g(Y)}\left( 
\mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\mathbf{-Y}\right)  (\#eq:estpa19)
\end{equation}
onde $\mathbf{\Delta g(Y)}$ é a matriz Jacobiana $K\times R$ cuja
r-ésima coluna é $\mathbf{\partial g(Y)/}\partial Y_{r}$,  
para $r=1,\ldots,R$.

Tomando as variâncias de aleatorização dos dois lados em \@ref(eq:estpa19), e notando que no lado direito o único termo que tem
variância de aleatorização 
$\mathbf{\Delta g(Y)}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\mathbf{-Y}\right)$ é uma função linear de $\mathbf{\hat{Y}}_{\pi}$, segue imediatamente que 
\begin{equation}
V_{p}\left( \mathbf{\hat{\theta}}\right) \mathbf{\simeq \Delta g(Y)}
V_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right) \mathbf{\Delta g(Y)}^{^{\prime }}
(\#eq:estpa20)
\end{equation}
onde $V_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right)$ é dado em 
\@ref(eq:estpa2). Um estimador consistente de 
$V_{p}\left( \mathbf{\hat{\theta}}\right)$
é dado por

\begin{equation}
\hat{V}_{p}\left( \mathbf{\hat{\theta}}\right) =\mathbf{\Delta g(\hat{Y}}_{\pi }\mathbf{)}\hat{V}_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right) \mathbf{\Delta g\mathbf{(\hat{Y}}_{\pi }\mathbf{)}}^{^{\prime }},  (\#eq:estpa21)
\end{equation}
onde $\hat{V}_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right)$ é dado em \@ref(eq:estpa4). Um outro estimador consistente seria obtido substituindo $\hat{V}_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right)$ por $\hat{V}_{SYG}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right)$ dado em \@ref(eq:estpa6) na expressão \@ref(eq:estpa21).

Linearização de Taylor pode ser trabalhosa, porque para cada
parâmetro/estimador de interesse são requeridas derivações e
cálculos específicos. Felizmente, grande parte das situações
de interesse prático estão hoje cobertas por pacotes
estatísticos especializados na estimação de medidas descritivas
e parâmetros de modelos, e suas respectivas variâncias de aleatorização empregando o método de linearização, de modo que
essa desvantagem potencial tende a se diluir.

Linearização de Taylor pode não ser imediatamente possível,
pois as quantidades de interesse podem não ser expressas como funções de totais ou médias populacionais (este é o caso de quantis
de distribuições, por exemplo).\medskip 

```{example, label= "exe32"}
Matriz de covariância para um vetor de razões
```

Para ilustrar a aplicação dos resultados anteriores, consideremos o
problema de estimar a matriz de covariância de um vetor de razões.
Sejam $\mathbf{Y}=\left( Y_{1},\ldots Y_{u}\right) ^{^{\prime }}$ e $\mathbf{X}=\left( X_{1},\ldots ,X_{u}\right) ^{^{\prime }}$ vetores de totais e consideremos o vetor de razões $\mathbf{R=}\left( \frac{Y_{1}}{X_{1}},\ldots ,\frac{Y_{u}}{X_{u}}\right) ^{\prime }.$ Conhecendo estimativas das
matrizes $V_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right)$, $V_{p}\left( \mathbf{\hat{X}}_{\pi }\right)$ e 
$COV_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\mathbf{;\hat{X}}_{\pi }\right)$, queremos calcular a matriz de variância de 
$$
\widehat{\mathbf{R}}\mathbf{=}\left( \frac{\hat{Y}_{1\pi }}{\hat{X}_{1\pi }},\ldots ,\frac{\hat{Y}_{u\pi }}{\hat{X}_{u\pi }}\right) ^{^{\prime }}. 
$$


Consideremos a função $\mathbf{g}:\textbf{R}^{2u}\rightarrow \textbf{R}^{u}$ dada por 
$$
\mathbf{g}\left( \mathbf{y},\mathbf{x}\right) =\left( \frac{y_{1}}{x_{1}},\ldots ,\frac{y_{u}}{x_{u}}\right) 
$$
onde $\mathbf{y=}\left( y_{1},\ldots ,y_{u}\right) ^{^{\prime }}$ e $\mathbf{x=}\left( x_{1},\ldots,x_{u}\right) ^{^{\prime }}$. A matriz jacobiana de $\mathbf{g}\left( \mathbf{y},\mathbf{x}\right)$ é a matriz $u\times 2u$ dada por 
$$
\mathbf{\Delta g}\left( \mathbf{y},\mathbf{x}\right) =\left[ 
\begin{array}{lll}
diag\left( \frac{1}{x_{1}},\ldots ,\frac{1}{x_{u}}\right) &  & diag\left( -\frac{y_{1}}{x_{1}^{2}},\ldots ,-\frac{y_{u}}{x_{u}^{2}}\right)
\end{array}
\right] \;\mbox{.} 
$$

Seja $\mathbf{D}_{\mathbf{x}}=diag(x_{1},\ldots ,x_{u})$ a matriz diagonal
de dimensão $u\times u$ formada a partir do vetor $\mathbf{x=}\left(
x_{1},\ldots ,x_{u}\right) ^{^{\prime }}$. Usando essa notação,
podemos escrever o vetor $\widehat{\mathbf{R}}$ de estimadores das
razões como 
$$
\widehat{\mathbf{R}}\mathbf{=}\left( \frac{\hat{Y}_{1\pi }}{\hat{X}_{1\pi }},\ldots ,\frac{\hat{Y}_{u\pi }}{\hat{X}_{u\pi }}\right) ^{^{\prime }}=\mathbf{g}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi },\mathbf{\hat{X}}_{\pi }\right)
$$
e a correspondente matriz jacobiana como 
$$
\mathbf{\Delta g}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi },\mathbf{\hat{X}}_{\pi
}\right) =\left[ \begin{array}{lll}
\mathbf{\mathbf{D}_{\widehat{\mathbf{R}}}D}_{\mathbf{\hat{Y}}_{\pi }}^{-1} &\left. {}\right. & \mathbf{-\mathbf{D}_{\widehat{\mathbf{R}}}D}_{\mathbf{\hat{X}}_{\pi }}^{-1}
\end{array}
\right] \;. 
$$

A partir deste resultado, aplicando \@ref(eq:estpa21) podemos escrever: 
\begin{eqnarray*}
&& 
\begin{array}{lll}
\widehat{V}_{p}\left( \widehat{\mathbf{R}}\right) & \doteq & \left[ 
\begin{array}{lll}
\mathbf{\mathbf{D}_{\widehat{\mathbf{R}}}D}_{\mathbf{\hat{Y}}_{\pi }}^{-1} & 
\left. {}\right. & \mathbf{-\mathbf{D}_{\widehat{\mathbf{R}}}D}_{\mathbf{\hat{X}}_{\pi }}^{-1}
\end{array}
\right]
\end{array}
\\
&& 
\begin{array}{lll}
&  & \times \left[ 
\begin{array}{cc}
\widehat{V}_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right) & \widehat{COV}_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\mathbf{,\hat{X}}_{\pi }\right) \\ 
\widehat{COV}_{p}\left( \mathbf{\hat{X}}_{\pi }\mathbf{,\hat{Y}}_{\pi
}\right) & \widehat{V}_{p}\left( \mathbf{\hat{X}}_{\pi }\right)
\end{array}
\right]
\end{array}
\\
&& 
\begin{array}{lll}
&  & \times \left[ 
\begin{array}{l}
\mathbf{D}_{\mathbf{\hat{Y}}_{\pi }}^{-1}\mathbf{\mathbf{D}_{\widehat{
\mathbf{R}}}} \\ 
-\mathbf{D}_{\mathbf{\hat{X}}_{\pi }}^{-1}\mathbf{\mathbf{D}_{\widehat{
\mathbf{R}}}}
\end{array}
\right]
\end{array}
\;\;.
\end{eqnarray*}

Efetuando os produtos das matrizes em blocos obtemos 
\begin{eqnarray}
\widehat{V}_{p}\left( \widehat{\mathbf{R}}\right) &=&\mathbf{\mathbf{D}_{
\widehat{\mathbf{R}}}}\left[ \mathbf{D}_{\mathbf{\hat{Y}}_{\pi }}^{-1}%
\widehat{V}_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\right) \mathbf{D}_{\mathbf{
\hat{Y}}_{\pi }}^{-1}+\mathbf{D}_{\mathbf{\hat{X}}_{\pi }}^{-1}\widehat{V}
_{p}\left( \mathbf{\hat{X}}_{\pi }\right) \mathbf{D}_{\mathbf{\hat{X}}_{\pi
}}^{-1}\right] \mathbf{\mathbf{D}_{\widehat{\mathbf{R}}}}  \nonumber \\
&&-\mathbf{\mathbf{D}_{\widehat{\mathbf{R}}}}\left[ \mathbf{D}_{\mathbf{\hat{
Y}}_{\pi }}^{-1}\widehat{COV}_{p}\left( \mathbf{\hat{Y}}_{\pi }\mathbf{,\hat{
X}}_{\pi }\right) \mathbf{D}_{\mathbf{\hat{X}}_{\pi }}^{-1}\right.
(\#eq:estpa22) \\
&&+\left. \mathbf{D}_{\mathbf{\hat{X}}_{\pi }}^{-1}\widehat{COV}_{p}\left( 
\mathbf{\hat{X}}_{\pi }\mathbf{,\hat{Y}}_{\pi }\right) \mathbf{D}_{\mathbf{
\hat{Y}}_{\pi }}^{-1}\right] \mathbf{\mathbf{D}_{\widehat{\mathbf{R}}}}\;\;
\mbox{,}  \nonumber
\end{eqnarray}
que fornece o resultado desejado, isto é, uma expressão de estimador
para a matriz de variância do estimador 
$\widehat{\mathbf{R}}$ do vetor de razões de interesse.

## Método do Conglomerado Primário

A ideia central do `Método do Conglomerado Primário` (do
inglês `Ultimate Cluster`) para estimação de variâncias
para estimadores de totais e médias em planos amostrais de múltiplos
estágios, proposto por [@hansen], é considerar
apenas a variação entre informações disponíveis no
nível das unidades primárias de amostragem (UPAs), isto é, dos
conglomerados primários, e admitir que estes teriam sido selecionados
com reposição da população. Esta ideia é simples,
porém bastante poderosa, porque permite acomodar uma enorme variedade de
planos amostrais, envolvendo estratificação e seleção com
probabilidades desiguais (com ou sem reposição) tanto das unidades
primárias como das demais unidades de amostragem. Os requisitos
fundamentais para permitir a aplicação deste método são que
estejam disponíveis estimadores não viciados dos totais da
variável de interesse para cada um dos conglomerados primários
selecionados, e que pelo menos dois destes sejam selecionados em cada
estrato (se a amostra for estratificada no primeiro estágio).

Embora o método tenha sido originalmente proposto para estimação
de totais, pode ser aplicado também para estimar (por linearização) quantidades populacionais que possam ser representadas como funções de totais, conforme discutido na Seção \@ref(taylor). De
fato, esse método fornece a base para vários dos pacotes
estatísticos especializados em cálculo de variâncias
considerando o plano amostral, tais como SUDAAN, CENVAR, STATA ou PC-CARP
(veja discussão no Capítulo 10).

Para descrever o método, considere um plano amostral em vários
estágios, no qual $n_{h}$ unidades primárias de amostragem (UPAs)
são selecionadas no estrato $h,$ $h=1,\ldots ,H$. Denotemos por 
$\pi_{hi}$ a probabilidade de inclusão na amostra da unidade primária de amostragem (conglomerado primário) $i$ do estrato $h$, e por 
$\widehat{Y}_{hi}$ um estimador não viciado do total $Y_{hi}$ da variável de
pesquisa $y$ no $i$-ésimo conglomerado primário do estrato $h$, 
$h=1,\ldots ,H$. Então um estimador não viciado do total 
$Y=\sum_{h=1}^{H}\sum_{i=1}^{N_{h}}Y_{hi}$ da variável de pesquisa $y$ na população é dado por 
$$
\widehat{Y}_{CP}=\sum_{h=1}^{H}\sum_{i=1}^{n_{h}}\widehat{Y}_{hi}/\pi _{hi} 
$$
e um estimador não viciado da variância de aleatorização
correspondente por 
\begin{equation}
\widehat{V}_{p}\left( \widehat{Y}_{CP}\right) =\sum_{h=1}^{H}\frac{n_{h}}
{n_{h}-1}\sum_{i=1}^{n_{h}}\left( \frac{\widehat{Y}_{hi}}{\pi _{hi}}-
\frac{\widehat{Y}_{h}}{n_{h}}\right) ^{2}  (\#eq:estpa23)
\end{equation}
onde $\widehat{Y}_{h}=\sum_{i=1}^{n_{h}}\widehat{Y}_{hi}/\pi _{hi}$ para 
$h=1,\ldots ,H$. (Veja por exemplo, [@Sudaan93], p. 4).

Embora muitas vezes a seleção das unidades primárias possa ter
sido feita sem reposição, o estimador de Conglomerados Primários
aqui apresentado pode fornecer uma aproximação razoável da
correspondente variância de aleatorização. Isso ocorre porque
planos amostrais sem reposição são em geral mais eficientes que
planos com reposição de igual tamanho. Tal aproximação é
largamente utilizada pelos praticantes de amostragem para estimar
variâncias de quantidades descritivas usuais tais como totais e
médias (com a devida adaptação) devido à sua simplicidade,
comparada com a complexidade muito maior envolvida com o emprego de
estimadores de variância que tentam incorporar todas as etapas de planos
amostrais em vários estágios. Uma discussão sobre a qualidade
dessa aproximação e alternativas pode ser encontrada em  [@SSW92], p. 153.

## Métodos de Replicação

A ideia de usar métodos indiretos ou de replicação para
estimar variâncias em amostragem não é nova. [@Mahala39], [@Mahala44] e [@deming] foram os precursores e muitos desenvolvimentos
importantes se seguiram. Hoje em dia várias técnicas baseadas nessa
ideia são rotineiramente empregadas por praticantes de amostragem, e
inclusive formam a base para pacotes especializados de estimação
tais como WesVarPC (veja [@Westat]).

A ideia básica é construir a amostra de tamanho $n$ como a
união de $G$ amostras de tamanho $n/G$ cada uma, selecionadas de forma
independente e usando o mesmo plano amostral, onde $G$ é o número de 
`replicações`. Nesse caso, se $\theta$ é o
parâmetro-alvo, e $\widehat{\theta}_{g}$ é um estimador não
viciado de $\theta$ baseado na $g$-ésima replicação 
$(g=1,\ldots ,G)$, segue-se que 
$$
\widehat{\theta }_{R}=\frac{1}{G}\sum_{g=1}^{G}\widehat{\theta }_{g} 
$$
é um estimador não viciado de $\theta$ e 

\begin{equation}
\widehat{V}_{R}\left( \widehat{\theta }_{R}\right) =\frac{1}{G\left(
G-1\right) }\sum_{g=1}^{G}\left( \widehat{\theta }_{g}-\widehat{\theta }
_{R}\right) ^{2}  (\#eq:estpa24)
\end{equation}
é um estimador não viciado da variância do estimador (de replicação) $\widehat{\theta }_{R}$ .

Note que desde que as replicações sejam construídas de forma
independente conforme indicado, os estimadores $\widehat{\theta }_{R}$ e $\widehat{V}_{R}\left( \widehat{\theta }_{R}\right)$ são não
viciados qualquer que seja o plano amostral empregado para selecionar a
amostra de cada replicação, o que faz desta uma técnica
flexível e genérica. Além disso, a abordagem de replicação é bastante geral, pois os estimadores aos quais se aplica não
precisam ser necessariamente expressos como funções de totais, como
ocorre com a técnica de linearização discutida na Seção 
\@ref(taylor). Apesar destas vantagens, a aplicação prática desta
técnica de forma exata é restrita porque em geral é menos
eficiente, inconveniente e mais caro selecionar $G$ amostras independentes com o mesmo esquema, se comparado à seleção de uma única
amostra de tamanho $n$ diretamente. Além disto, se o número de
replicações $G$ for pequeno, o estimador de variância pode ser
instável. Uma pesquisa importante e de grande porte em que esta
ideia é aplicada exatamente é a pesquisa de preços para
formar o índice de Preços ao Consumidor (do inglês 
*Consumer Price Index - CPI* do [@USBureau], p. 22,
que utiliza duas replicações (meias amostras) para formar a
amostra pesquisada.

Mesmo quando a amostra não foi selecionada exatamente dessa forma, a
construção de replicações a posteriori para fins de estimação de variâncias em situações complexas é também
uma ideia simples de aplicar, poderosa e flexível, por acomodar uma
ampla gama de planos amostrais e situações de estimação de
interesse. Quando as replicações são construídas após a
pesquisa (a posteriori), mediante repartição (por sorteio) da
amostra pesquisada em $G$ grupos mutuamente exclusivos de igual
tamanho, estas são chamadas de `replicações dependentes` ou 
`grupos aleatórios` (do inglês *random groups*). As
expressões fornecidas para o estimador de replicação e sua
variância são também empregadas nesse caso como uma aproximação, mas não possuem as mesmas propriedades do caso de replicações independentes.

É importante observar que a repartição da amostra em grupos
aleatórios a posteriori precisa considerar o plano amostral empregado e
pode não ser possível em algumas situações. Idealmente, tal
repartição deve ser feita respeitando estratos e alocando
unidades primárias inteiras (isto é, com todas as respectivas
unidades subordinadas). [@W85],p. 31], discute algumas regras sobre
como fazer para respeitar o plano amostral ao fazer a repartição da
amostra a posteriori, porém recomendamos que o interessado no uso dessa
técnica exerça cautela.

Além da modificação da interpretação das replicações no caso de serem formadas a posteriori, é comum também nesse
caso empregar um estimador para o parâmetro $\theta$ baseado na amostra
completa (denotado $\widehat{\theta }$), e um estimador de variância
mais conservador que o estimador $\widehat{V}_{R}\left( \widehat{\theta }_{R}\right)$ anteriormente apresentado, dado por 
\begin{equation}
\widehat{V}_{RG}\left( \widehat{\theta }\right) =\frac{1}{G\left( G-1\right) 
}\sum_{g=1}^{G}\left( \widehat{\theta }_{g}-\widehat{\theta }\right) ^{2}\;.
(\#eq:estpa25)
\end{equation}

Um exemplo de aplicação desta técnica pode ser encontrado na
forma recomendada para estimação de variâncias a partir das
Amostras de Uso Público do Censo Demográfico Brasileiro de 80 (veja
[@IBGE85]).

Nesta seção descreveremos uma outra dessas técnicas baseadas em
replicações, talvez a mais conhecida e popular, o método de 
`jackknife`. Este método foi originalmente proposto por
[@Queno49] e [@Queno56] como uma técnica para redução de vício
de estimadores, num contexto da Estatística Clássica. A ideia
central consiste em repartir a amostra (a posteriori, como no caso do
método dos grupos aleatórios) em $G$ grupos mutuamente exclusivos de
igual tamanho $n/G$. Em seguida, para cada grupo formado calcular os
chamados pseudo-estimadores dados por 
$$
\widehat{\theta }_{\left( g\right) }=G\widehat{\theta }-\left( G-1\right) 
\widehat{\theta }_{g} 
$$
onde $\widehat{\theta }_{g}$ é um estimador de $\theta$ obtido da
amostra após eliminar os elementos do grupo $g$, empregando a mesma
forma funcional adotada no cálculo do estimador $\widehat{\theta}$ que
considera a amostra inteira. A estimação da variância por esse
método pode então ser feita de duas maneiras alternativas, usando um
dos estimadores dados por 
\begin{equation}
\widehat{V}_{J1}\left( \widehat{\theta }\right) =\frac{1}{G\left( G-1\right) 
}\sum_{g=1}^{G}\left( \widehat{\theta }_{\left( g\right) }-\widehat{\theta }
_{J}\right) ^{2}  (\#eq:estpa26)
\end{equation}
ou 
\begin{equation}
\widehat{V}_{J2}\left( \widehat{\theta }\right) =\frac{1}{G\left( G-1\right) 
}\sum_{g=1}^{G}\left( \widehat{\theta }_{\left( g\right) }-\widehat{\theta }
\right) ^{2}  (\#eq:estpa27)
\end{equation}
onde $\widehat{\theta }_{J}=\frac{1}{G}\sum_{g=1}^{G}\widehat{\theta }_{\left( g\right)}$ é um estimador pontual *jackknife*  para $\theta$,  alternativo ao estimador da amostra inteira $\hat{\theta}$.


```{remark} 
A descrição do método *jackknife* aqui apresentada não cobre o caso de planos amostrais estratificados, que é mais complexo. Para detalhes sobre este caso, consulte [@W85], pág. 174.
```
 
```{remark} 
O estimador $\widehat{V}_{J2}\left( \widehat{\theta }\right)$ é mais conservador que o estimador $\widehat{V}_{J1}\left( \widehat{\theta }\right)$.
```

```{remark}
É comum aplicar a técnica fazendo o número de grupos igual ao
tamanho da amostra, isto é, tomando $G=n$ e portanto eliminando uma
observação da amostra de cada vez ao calcular os pseudo-valores.
Essa regra deve ser aplicada considerando o número de unidades
primárias na amostra (UPAs) quando o plano amostral é em
múltiplos estágios, pois as UPAs devem sempre ser eliminadas com
todas as unidades subordinadas.
```

Os estimadores de variância do método `jackknife` fornecem
resultado idêntico aos dos estimadores usuais de variância quando
aplicados para o caso de estimadores lineares nas observações
amostrais. Além disso, suas propriedades são razoáveis para
vários outros casos de estimadores não lineares de interesse (veja,
por exemplo, [@cochran], p. 321 e [@W85], p. 306. A situação merece maiores cuidados para o caso de quantis ou estatísticas de
ordem, tais como a mediana e o máximo, pois neste caso essa técnica
não funciona bem [@W85], p. 163.

O pacote WesVarPC [@Westat] baseia suas estimativas de variância
principalmente no método `jackknife`, embora também possua uma
opção para usar outro método conhecido como de replicações de meias amostras balanceadas (do inglês *balanced half-sample replication*).

## Laboratório de R

Vamos utilizar dados da Pesquisa de Padrão  de Vida (PPV) do IBGE para ilustrar alguns métodos de estimação de variâncias. Vamos considerar a estimação da proporção de analfabetos na faixa etária acima de 14 anos. Os dados da pesquisa encontram-se no data frame \texttt{ppv1}. A variável `analf2` é indicadora da condição
de analfabetismo na faixa etária acima de 14 anos e a variável `faixa2` é indicadora da faixa etária acima de 14 anos. Queremos estimar a proporção de analfabetos na faixa etária acima de 14 anos na região Sudeste.  Antes apresentamos o método de estimação de variância por linearização de Taylor

Vamos criar duas variáveis:

- analf - variável indicadora da condição de analfabetismo:  `v04a01` ou
`v04a02` igual a 2;
- faixa - variável indicadora de faixa etária entre 7 e 14 anos.


```{r, message=FALSE, warning=FALSE}
library(survey)
library(anamco) 
ppv_dat <- ppv # carrega dados
# cria objeto de desenho
ppv_plan<-svydesign(ids = ~nsetor, strata = ~estratof,
data = ppv_dat, nest = TRUE, weights = ~pesof)
# atualiza objeto de desenho com novas variáveis
ppv_plan<-update(ppv_plan,
  analf=(v04a01 == 2 | v04a02 == 2)*1,
  faixa=(v02a08 >= 7 & v02a08 <= 14) *1,
  analf.faixa= (analf==1 & faixa==1)*1
)
```

Como estamos interessados em estimativas relativas à Região Sudeste, vamos restringir o desenho a esse domínio:

```{r}
ppv_se_plan <- subset(ppv_plan, regiao == 2)
```

Vamos estimar os totais das variáveis `analf.faixa` e `faixa`:

```{r}
analf_faixa_tot_est<-svytotal(~analf.faixa+faixa ,ppv_se_plan )
Vcov.Y1.Y2<-vcov(analf_faixa_tot_est) 
```
Substituindo os valores na expressão \@ref(eq:estpa21), obtemos a estimativa da variância da razão de totais das variáveis `analf.faixa` e `faixa`.


```{r}
y1hat<-coef(analf_faixa_tot_est)[1]
y2hat<-coef(analf_faixa_tot_est)[2]
Var.raz<-(1/y2hat)*(1/y2hat)*Vcov.Y1.Y2[1,1]+2*(1/y2hat)*(-y1hat/y2hat^2)*Vcov.Y1.Y2[1,2]+
(-y1hat/y2hat^2)*(-y1hat/y2hat^2)*Vcov.Y1.Y2[2,2]
# estimativa do desvio-padrão
sqrt(Var.raz)
```

Podemos calcular diretamente o desvio-padrão:


```{r}
svyratio(~analf.faixa, ~faixa, ppv_se_plan)
```

A estimativa do desvio-padrão obtida por meio da função `svyratio` coincide com a obtida diretamente pelo método
de linearização, e é igual a `r round(sqrt(Var.raz),digits=5)`. O método default para estimar variâncias
usado pela library `survey` [@R-survey] do R é o de linearização de Taylor.

A library `survey` dispõe de métodos alternativos para a estimação de variância.  Vamos utilizar os métodos de replicação
de *Jackknife* e de *Bootstrap* para estimar esta variância de razão. Inicialmente, vamos converter o objeto de desenho `ppv1_se_plan` em um objeto de desenho de replicação de tipo *Jackknife*, contendo as réplicas de pesos que fornecem correspondentes réplicas de estimativas.

```{r}
ppv_se_plan_jkn<-as.svrepdesign(ppv_se_plan,type="JKn")
svyratio(~analf.faixa, ~faixa, ppv_se_plan_jkn)
```
Para o tipo *Bootstrap*, temos:

```{r}
ppv_se_plan_boot<-as.svrepdesign(ppv_se_plan,type="bootstrap")
svyratio(~analf.faixa, ~faixa, ppv_se_plan_boot)

```
Vamos apresentar mais detalhes sobre a obtenção dos estimadores de *Jackknife* e *Bootstrap* na library `survey` [@R-survey].
A classe do objeto `ppv_se_plan_jkn` é `svyrep.design` e ele contém as seguintes componentes:

```{r}
class(ppv_se_plan_jkn)
names(ppv_se_plan_jkn)
```


A componente `repweights` é uma lista com duas componentes: `weights` e `index`. A componente
`weights` é uma matriz de dimensão $276 \times 276$, onde $276$ é o número de conglomerados primários do plano
amostral da PPV na região Sudeste. A partir desta matriz, podemos obter $276$  réplicas de pesos de desenho de Jackknife.


```{r}
ppv_se_dat<-ppv_se_plan_jkn$variables
nrow(ppv_se_dat)
ncong<-sum(with(ppv_se_dat,tapply( nsetor,estratof, function(t) length(unique(t)))))
ncong
```


O argumento `compress` da função `as.svrepdesign` permite especificar se, na saída da função, a matriz
`weights` será na forma comprimida ou não. Na aplicação feita foi usado o valor default que é a forma comprimida. 
A forma não comprimida da matriz `weights` tem  `r nrow(ppv_se_dat)` linhas e `r ncong` colunas. A forma comprimida
permite economizar memória, e pode ser facilmente convertida para a forma não comprimida, utilizando-se a componente`index`. 

No método *jackknife*, cada um dos conglomerados primários é removido, e a réplica correspondente dos pesos é o produto
do peso amostral original por um fator apropriado, definido da forma a seguir. Suponhamos que foi removido um conglomerado 
no estrato $h$, então os pesos do plano amostral serão multiplicados por:


-  $0$ para as unidades no conglomerado removido;
-  $m_h/(m_h-1)$ para unidades pertencentes a outros conglomerados do estrato $h$; 
-  $1$ para unidades em estratos $h'\neq h$.


Podemos obter a matriz de fatores de correção do peso amostral na forma não comprimida da seguinte maneira:

```{r}
fact_peso_comp_mat<-ppv_se_plan_jkn$repweights[[1]]
ind_cong <-ppv_se_plan_jkn$repweights[[2]]
fat_pesos_mat<- fact_peso_comp_mat[ind_cong,]
str(fat_pesos_mat)
```

Podemos obter matriz de réplicas de pesos multiplicando cada coluna dessa matriz pelos pesos do plano amostra:

```{r}
rep_pesos_mat<-weights(ppv_se_plan)*fat_pesos_mat
```

Utilizando esta matriz de réplicas de pesos, podemos obter réplicas correspondentes de estimativas da razão.

```{r}
rep_est_raz<-numeric(ncol(rep_pesos_mat))
for (i in 1:ncol(rep_pesos_mat)){
rep_est_raz[i]<-sum(rep_pesos_mat[,i]*ppv_se_dat$analf.faixa)/sum(rep_pesos_mat[,i]*ppv_se_dat$faixa)
}
```


A partir destas réplicas de estimativas da razão, finalmente estimamos a variância:


```{r}
mean_raz<-mean( rep_est_raz[ppv_se_plan_jkn$rscales>0])
var_jack_raz<- sum((rep_est_raz-mean_raz)^2*ppv_se_plan_jkn$rscales)*ppv_se_plan_jkn$scale
round(sqrt(var_jack_raz),5)
```

A library `survey` [@R-survey] fornece uma função para estimar a variância de uma função de totais a partir das réplicas de pesos:

```{r}
var_raz_rep<-withReplicates(ppv_se_plan_jkn, function(w,ppv_se_dat) sum(w*ppv_se_dat$analf.faixa)/sum(w*ppv_se_dat$faixa))
var_raz_rep 
```

Resultado que coincide com a estimativa obtida pela aplicação da função `svyratio`.

A vantagem de utilizar métodos de replicação é a facilidade com que estimamos a variância de qualquer
característica da população, cujo estimador pontual é conhecido. Por exemplo, se quisermos estimar a variância da razão das taxas de analfabetos nas faixas etárias de 0 a 14 anos e acima de 14 anos podemos usar as mesmas réplicas de pesos:

```{r}
withReplicates (ppv_se_plan_jkn,function(w,ppv_se_dat) with(ppv_se_dat,
(sum(w*(analf==1&faixa==1))/sum(w*(faixa==1)))/(sum(w*(analf==1&faixa==0))/sum(w*(faixa==0)))
))  
```

O erro padrão da razão entre razões estimada no exemplo anterior pode ser estimado por linearização de Taylor, usando-se a função `svycontrast()` da library survey: 


```{r}
# cria variáveis dummies: 
ppv_se_plan <- update(ppv_se_plan,
num1 = as.numeric(analf==1 & faixa==1),
num2 = as.numeric(analf==1 & faixa==0),
den1 = as.numeric (faixa == 1),
den2 = as.numeric(faixa == 0)
)
# estima totais e matriz de covariância de estimativas de totais
comp.tot <- svytotal(~num1+num2+den1+den2, ppv_se_plan)  

# estima razão de razões:  
svycontrast(comp.tot, quote((num1/den1)/(num2/den2)))  

```