main.tex

\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{tipa}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{comment}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[tocflat]{tocstyle}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{float}
\binoppenalty=10000
\relpenalty=10000
\usepackage{multicol}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,
    top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage{xcolor}
\definecolor{linkcolor}{HTML}{2832C2} % цвет ссылок
\definecolor{urlcolor}{HTML}{2832C2} % цвет гиперссылок
\hypersetup{pdfstartview=FitH,  linkcolor=linkcolor,urlcolor=urlcolor, colorlinks=true}
\setlength{\parindent}{5ex}

\titleformat{\section}[block]{\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}

\makeatletter
\renewcommand\l@section{\@dottedtocline{1}{1.5em}{3.0em}}
\renewcommand\l@subsection{\@dottedtocline{1}{1.5em}{3.0em}}
\makeatother
    
\title{\textbf{Дифференциальные уравнения\\ Билеты}}
\author{DK3!8}

\begin{document}

  \pagenumbering{gobble} 
  \maketitle
  \pagenumbering{arabic}

\tableofcontents
\newpage

\section{Билет №1. Уравнение с разделяющимися переменными: общее решение, общая схема
исследования}
\input{tickets/01}

\section{Билет №2. Линейное уравнение 1-го порядка: общее решение ЛОУ, общее решение
ЛНУ. Метод Лагранжа и метод интегрирующего множителя.}
\input{tickets/02}

\section{Билет №3. Равностепенно непрерывные функции. Лемма Арцела–Асколи.}
\input{tickets/03}

\section{Билет №4. ЗК для нормальной системы. Лемма о равносильном интегральном уравнении. Лемма: свойства ломаной Эйлера, определённой на отрезке Пеано.}
\input{tickets/04}

\section{Билет №5. Теорема Пеано о существовании решения ЗК.}
\input{tickets/05}

\section{Билет №6. Достаточное условие того, что функция удовлетворяет локальному условию Липшица по заданной переменной.}
\input{tickets/06}

\section{Билет №7. Достаточное условие того, что функция удовлетворяет глобальному условию Липшица по заданной переменной.}
\input{tickets/07}

\section{Билет №8. Лемма Гронуолла. Теорема Пикара (доказательство единственности решения).}
\input{tickets/08}

\section{Билет №9. Теорема Пикара (доказательство существования решения).}
\input{tickets/09}

\section{Билет №10. Теорема существования и единственности решения ЗК для уравнения n-го
порядка. Следствие с более простыми условиями.}
\input{tickets/10}

\section{Билет №11. Критерий продолжимости.}
\input{tickets/11}

\section{Билет №12. Теорема существования и единственности максимального решения.}
\input{tickets/12}

\section{Билет №13. Теорема о выходе интегральной кривой за пределы любого компакта.}
\input{tickets/13}

\section{Билет №14. Признак продолжимости решения системы, сравнимой с линейной. Теорема о существовании и единственности максимального решения ЛС.}
\input{tickets/14}

\section{Билет №15. Формула Остроградского–Лиувилля для решений ЛОС.}
\input{tickets/15}

\section{Билет №16. Общее решение ЛОС. Лемма о множестве фундаментальных матриц. Лемма об овеществлении.}
\input{tickets/16}

\section{Билет №17. Теорема о фундаментальной системе решений ЛОС с постоянными коэффициентами (случай жорданова базиса общего вида). Определение и свойства матричной экспоненты (без доказательств). Решение задачи Коши при помощи матричной экспоненты.}
\input{tickets/17}

\section{Билет №18. Общее решение ЛНС и метод вариации постоянных.}
\input{tickets/18}

\section{Билет №19. Теорема об изоморфизме решений ЛОС и ЛОУ, формула Остроградского–Лиувилля для решений ЛОУ. Метод вариации постоянных для ЛНУ.}
\input{tickets/19}

\section{Билет №20. Общее решение ЛОУ с постоянными коэффициентами.}
\input{tickets/20}

\section{Билет №21. Теорема об устойчивости ЛОС с постоянными коэффициентами.}
\input{tickets/21}

\section{Билет №22. Классификация точек покоя ЛОС 2-го порядка (случай вещественных корней).}
\input{tickets/22}

\section{Билет №23. Классификация точек покоя ЛОС 2-го порядка (случай комплексных корней).}
\input{tickets/23}

\section{Билет №24. Теорема Ляпунова об устойчивости.}
\input{tickets/24}

\section{Извилистые дорожки.}

\subsection{Уравнение 1-го порядка и его решение.}
\textbf{Определение.} Уравнение
\begin{equation}
    F(x, y, y') = 0 \label{firstorder}
\end{equation}
связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y$ и ее производную $y'$, называется \textbf{(обыкновенным) дифференциальным уравнением первого порядка}\\

\textbf{Определение.} Функция $\varphi$ --- \textbf{решение уравнения} (\ref{firstorder}) на $(a,b)$, если
\begin{itemize}
    \item $\varphi \in C^1(a,b)$
    \item $F(x, \varphi(x), \varphi'(x)) \equiv 0$ на $(a,b)$
\end{itemize}

\subsection{Интегральная кривая уравнения.}
\textbf{Интегральной кривой} называют график решения дифференциального уравнения.

\subsection{Общее решение уравнения.}
\textbf{Общим решением} уравнения называют множество всех его решений.

\subsection{Уравнение 1-го порядка, разрешённое относительно производной. Геометрический смысл.}
\textbf{Уравнением 1-го порядка, разрешимым относительно производной} или \textbf{уравнением в нормальной форме} называют уравнение вида
\begin{equation*}
    y' = f(x, y).
\end{equation*}

\textbf{Геометрический смысл} этой конструкции заключается в следующем: если каждой точке $(x, y)$ области определения функции $f$ поставить в соответствие вектор, направленный под углом $arctg(f(x, y))$, то получится так называемое поле направлений уравнения. Задачу нахождения его решений тогда можно сформулировать так: найти все гладкие кривые, проходящие в области задания уравнения, которые в каждой своей точке касаются вектора поля направлений.

\subsection{Ломаная Эйлера}
\textbf{Ломаной Эйлера} называют пошаговое приближение интегральной кривой уравнения, проходящего через точку $(x_0, y_0)$, получаемое по следующей рекуррентной формуле: 
\begin{gather*}
    x_{k+1} = x_k + h\\
    y_{k+1} = y_k + f(x_k, y_k)h
\end{gather*}

\subsection{Отрезок Пеано}
Пусть $G \subset \mathbb{R}_{t,r}^{n+1}$ --- область, $(t_0, r_0) \in G$. Поскольку $G$ --- открытое множество, то найдутся числа $a,b > 0$, такие что параллелепипед
\begin{equation*}
    \Pi = \left\{(t,r) \in \mathbb{R}^{n+1}\,|\, |t-t_0| \le a, |r-r_0|\le b \right\}
\end{equation*}
целиком содержится в области $G$. Так как $\Pi$ --- компакт, то существует число $M = \displaystyle\max_{(t,r)\in \Pi} |f(t,r)|$. Положим $h = \min \{a, \frac{b}{M}\}$ (если $M = 0$, то $h = a$). Отрезок $[t_0 - h, t_0 + h]$ называется \textbf{отрезком Пеано}, соответсвующим точке $(t_0, r_0)$.

\subsection{Уравнение в дифференциалах, его решение и параметрическое решение.}
Уравнение вида $P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$ называют \textbf{уравнением в дифференциалах}.

Функция $\phi$ является \textbf{решением} этого уравнения на $(a; b)$, если выполняются следующие условия:
\begin{enumerate}
    \item $\varphi \in C^1(a, b)$;
    \item $P(x, \varphi(x)) + Q(x, \varphi(x))\varphi'(x) \equiv 0$ на $(a, b$).
\end{enumerate}
\\\\Вектор-функция $r = (\varphi(t), \psi(t))$ называется \textbf{параметрическим решением} уравнения на $(\alpha, \beta)$, если выполняются следующие условия:
\begin{enumerate}
    \item $\varphi, \psi \in C^1(\alpha, \beta)$ и $r'(t) \neq 0$ для $t \in (\alpha, \beta)$;
    \item $P(\varphi(t), \psi(t))\varphi'(t) + Q(\varphi(t), \psi(t))\psi'(t) \equiv 0$ на $(\alpha, \beta)$.
\end{enumerate}

\subsection{Особые точки уравнения в дифференциалах.}
Точка $(x_0, y_0)$ называется \textbf{особой} точкой уравнения в дифференциалах, если $P(x_0, y_0) = Q(x_o, y_0) = 0$.

\subsection{Геометрический смысл уравнения в дифференциалах и его решения.}
Пусть $r(t) = (x(t), y(t))$ параметрическое решение уравнения на $(\alpha, \beta)$. Тогда при любом $t \in (\alpha, \beta)$ будет верно
\begin{equation*}
 P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t) = 0   
\end{equation*}
\\\\
Рассмотрим векторное поле $F = (P, Q)$. Тогда вышеуказанное равенство равносильно $F(r(t)) \cdot r'(t) = 0$. Вектор $r'(t)$ касается интегральной кривой в точке $(x(t), y(t))$. Значит, любая интегральная кривая уравнения в каждой своей точке $(x, y$) перпендикулярна вектору $F(x, y)$.

\subsection{Задача Коши (ЗК) для уравнения 1-го порядка, разрешённого относительно производной.}
Пусть $G \in \mathbb{R}^2$ область, $f \in C(G)$, $(x_0, y_0) \in G$. Тогда в некоторой окрестности точки $x_0$ существует единственное решение задачи Коши $y$, такое что:
\begin{equation*}
    y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0
\end{equation*}

\subsection{Особое решение уравнения}
Решение дифференциального уравнения называют \textbf{особым}, если в каждой его точке нарушается локальная единственность решения задачи Коши.

\subsection{Однородное уравнение}
Функция $F(x, y)$ называется \textbf{однородной функцией степени $\alpha$}, если при всех допустимых $t$, $x$ и $y$ верно равенство
\begin{equation*}
    F(t\cdot x, t\cdot y) = t^{\alpha} \cdot F(x, y)
\end{equation*}\\\\
Если $P(x, y)$ и $Q(x, y)$ --- однородные функции одинаковой степени, то уравнение $P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$ называется \textbf{однородным уравнением}.

\subsection{Геометрическое свойство решений однородного уравнения.}
Допустим, что $x = \varphi(t)$ и $y = \psi(t)$ --- параметрическое решение однородного уравнения на $(\alpha, \beta)$. При растяжении
плоскости в $\lambda$ раз соответствующая интегральная кривая перейдёт в кривую с параметризацией $x = \lambda \varphi(t)$, $y = \lambda \psi(t)$. Подставляя эти функции в исходное уравнение, получаем
\begin{equation*}
    P(\lambda \varphi, \lambda \psi)\lambda \varphi' + Q(\lambda\varphi, \lambda\psi)\lambda\psi' = 0
\end{equation*}\\\\
Пользуясь однородностью функций $P$ и $Q$, приходим к равенству
\begin{equation*}
    P(\varphi, \psi)\varphi' + Q(\varphi, \psi)\psi' = 0
\end{equation*}
которое выполняется тождественно на $(\alpha, \beta)$. Это означает, что гомотетия относительно начала координат любую интегральную кривую однородного уравнения переводит в другую его интегральную кривую.

\subsection{Уравнение Бернулли}
\textbf{Уравнением Бернулли} называют уравнение вида
\begin{equation*}
    y' = p(x)y + q(x)y^{\alpha}
\end{equation*}
где $\alpha \in \mathbb{R}\setminus\{0, 1\}$. Деление на $y^{\alpha}$ и замена переменной $z = y^{1-\alpha}$ приводит уравнение к линейному.

\subsection{Уравнение Рикатти}
\textbf{Уравнением Риккати} называют уравнение вида:
\begin{equation*}
    y' = p(x)\cdot y^2 + q(x)\cdot y + r(x)
\end{equation*}
Это уравнение разрешимо только в исключительных случаях.\\\\
Однако если известно некоторое решение $\varphi$, то уравнение Рикатти можно свести к уравнению Бернулли подстановкой $y = z + \varphi$.

\subsection{Уравнение в полных дифференциалах}
Уравнение в дифференциалах называется \textbf{уравнением в полных дифференциалах} если существует такая функция $u$, что:
\begin{equation*}
    du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
\end{equation*}
\\
Пусть $G \in \mathbb{R}^2$ "--- область, на которой $u \in C^1(G)$, $u_x' = P$ и $u_y' = Q$. Тогда следующие условия равносильны:
\begin{enumerate}
    \item $y$ "--- решение уравнения на $(a, b)$;
    \item $y$ неявно выражается из $u(x, y) = C$ при некотором $C \in \mathbb{R}$.
\end{enumerate}
Функция $u$ является потенциалом векторного поля $(P, Q)$, и мы будем называть её \textbf{потенциалом уравнения}.

\subsection{Интегрирующий множитель}
Непрерывная функция $\mu(x, y) \neq 0$ называется \textbf{интегрирующим множителем} если уравнение
\begin{equation*}
    \mu(x, y) \cdot (P(x, y)dx + Q(x, y)dy) = 0   
\end{equation*}
является уравнением в полных дифференциалах.

\subsection{Уравнение $n$-го порядка и его решение.}
\textbf{Дифференциальным уравнением $n$-го порядка} называют уравнение вида:
\begin{equation*}
    F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0
\end{equation*}
Функция $\varphi$ является \textbf{решением уравнения $n$-го порядка} на $(a, b)$, если:
\begin{enumerate}
    \item $\varphi \in C^n(a, b)$;
    \item $F(x, \varphi, \varphi', \ldots, \varphi^{(n)}) \equiv 0$ на $(a, b)$.
\end{enumerate}

\subsection{ЗК для уравнения, разрешённого относительно старшей производной.}
\textbf{Задача Коши} для уравнения
\begin{equation*}
    y^{(n)} = f(x, y, y', y^{(2)}, \ldots, y^{(n-1)})
\end{equation*}
Разрешённого относительно старшей производной, "--- задача нахождения его решения, удовлетворяющего \textbf{начальным условиям}:
\begin{gather*}
    y(x_0) = y_0\\
    y'(x_0) = y_1\\
    \ldots\\
    y^{(n - 1)}(x_0) = y_{n-1}
\end{gather*}
Набор чисел $(x_0, y_0, \ldots, y_{n-1})$ называют \textbf{начальными данными}.

\subsection{Методы понижения порядка уравнения.}
\begin{enumerate}
    \item Если существует функция $F$, такая что: 
    \begin{equation*}
        F(x, y^{(k)}, \ldots, y^{(n)}) \equiv 0
    \end{equation*}
    то введение новой переменной $z = y^{(k)}$ понижает порядок уравнения на $k$ единиц.
    \item Если уравнение $F(y, y', \ldots, y^{(n)})$ не содержит явно независимой переменной $x$, то введём новую искомую функцию $z(y) = y'$, считая $y$ независимой переменной. В общем случае производная функции $y$ порядка $n$ по переменной $x$ выражается через функцию $z$ и её производные до $(n - 1)$-го порядка по переменной $y$. Тем самым порядок уравнения понижается на единицу.
    \item Если функция $F$ обладает свойством:
    \begin{equation*}
        F(x, ty', ty'', \ldots, ty^{(n)}) \equiv t^m\cdot F(x, y', y'', \ldots, y^{(n)})
    \end{equation*}
    выполняющимся для любого $t$, то порядок уравнения понижается с помощью замены $z =y'/ y$.
    \item Если существует функция $\varPhi$, такая что:
    \begin{equation*}
        \frac{d}{dx} \varPhi(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)}) = F(x, y, y', \ldots, y^{(n)})
    \end{equation*}
    то можно получить уравнение $\varPhi(x, y, y', \ldots, y^{(n-1)}) = C$. Его порядок на единицу меньше предыдущего.
\end{enumerate}

\subsection{Нормальная система уравнений, её решение.}
\textbf{Нормальной системой} дифференциальных уравнений порядка $n$ называют систему уравнений вида: 
\begin{equation*}
    \begin{cases}
        \dot{x_1} = f_1(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)\\
        \dot{x_2} = f_2(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)\\
        \ldots\\
        \dot{x_n} = f_n(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)
    \end{cases}
\end{equation*}
Если ввести в рассмотрение векторы:
\begin{equation*}
    r=
    \begin{pmatrix}
    x_1\\
    x_2\\
    \ldots\\
    x_n
    \end{pmatrix},
    f(t, r) =
    \begin{pmatrix}
    f_1(t, r)\\
    f_2(t, r)\\
    \ldots\\
    f_n(t, r)
    \end{pmatrix}
\end{equation*}
то систему можно записать в виде уравнения:
\begin{equation*}
    \dot{r} = f(t, r)
\end{equation*}

\subsection{Интегральная кривая нормальной системы.}
\textbf{Интегральной кривой} нормальной системы, как и прежде, называют график решения. Однако теперь это график функции, расположенной в $(n+1)$-мерном пространстве.

\subsection{Глобальное и локальное условие Липшица.}
\textbf{Определение.} Функция $f: \mathbb{R}_{t,r}^{m} \to \mathbb{R}^n$ удовлетворяет \textbf{условию Липшица по $r$ (равномерно по $t$)} на множестве $D$, если найдется такое число $L$, что для любых точек $(t,r_1), (t,r_2) \in D$ справедливо неравенство \begin{equation*}
    |f(t,r_2) - f(t,r_1)| \le L|r_2 - r_1|
\end{equation*}
Обозначается как $f \in Lip_r(D)$.\\

\noindent \textbf{Определение.} Функция $f:\mathbb{R}_{t,r}^{m} \to \mathbb{R}^n$ удовлетворяет \textbf{условию Липшица} по $r$ \textbf{локально} в области $G$, если для любой точки $(t_0, r_0) \in G$ можно указать ее окрестность $U = U(t_0, r_0)$, такую что $f \in Lip_r(U)$. Обозначается как $f \in Lip_{r,loc}(G)$.

\subsection{Приближения Пикара.}
Из теоремы Пикара следуют \textbf{последовательные приближения Пикара}
\begin{equation*}
    \varphi_0(t) = r_0, \quad \varphi_{k+1}(t) = r_0 + \int_{t_0}^t f(\tau, \varphi_k(\tau))d\tau
\end{equation*}

\subsection{Сведение уравнения $n$-го порядка к равносильной системе.}
Определим отображение $\varLambda_n$ формулой:
\begin{equation*}
    \varLambda_ny = (y, \dot{y}, \ddot{y}, \ldots, y^{(n-1)})^T
\end{equation*}
Индекс $n$ можно опускать если его значение понятно из контекста. Тогда если $y$ "--- решение на $(a, b)$ уравнения $y^{(n)} = f(t, y, \dot{y}, \ldots, y^{(n - 1)})$, то вектор-функция $\varLambda_ny$ "--- решение на $(a, b)$ системы:
\begin{equation*}
    \begin{pmatrix}
    \dot{y_1}\\
    \dot{y_2}\\
    \ldots\\
    \dot{y_{n-1}}\\
    \dot{y_n}
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    y_2\\
    y_3\\
    \ldots\\
    y_n\\
    f(t, y_1, y_2, \ldots, y_n)
    \end{pmatrix}
\end{equation*}
Это утверждение верно и в обратную сторону.

\subsection{Максимальное решение.}
\textbf{Определение.} Решение $\varphi$ уравнения $\dot{r} = f(t,r)$ на промежутке $\langle a,b \rangle$ называется \textbf{продолжимым}, если существует решение $\psi$ того же уравнения на промежутке $\langle A, B \rangle$, причем $\langle a,b \rangle \subset \langle A,B \rangle$ и $\varphi \equiv \psi$ на $\langle a,b \rangle$. Решение $\psi$ называют \textbf{продолжением} решения $\varphi$.\\

\noindent \textbf{Определение.} Если для решения $\varphi$ уравнения $\dot{r} = f(t,r)$ не существует продолжения, то будем называть функцию $\varphi$ \textbf{максимальным решением}.

\subsection{Определитель Вронского (решений ЛОС и ЛОУ) и его свойства.}
\textbf{Определение.} \textbf{Определителем Вронского (вронскианом)} вектор-функций $\{r_k\}_{k=1}^n$, где $r_k=(x_{k1}, x_{k2}, \ldots, x_{kn})^T$, называют определитель
\begin{equation*}
    W(t) = det(r_1(t),r_2(t),\ldots, r_n(t)) = \begin{vmatrix}
    x_{11}(t) & x_{21}(t) & \ldots & x_{n1}(t)\\
    x_{12}(t) & x_{22}(t) & \ldots & x_{n2}(t)\\
    \ldots\\
    x_{1n}(t) & x_{2n}(t) & \ldots & x_{nn}(t)
    \end{vmatrix}
\end{equation*}

\noindent \textbf{Свойства вронскиана решений ЛОС.} Пусть $\{r_k\}_{k=1}^n$ --- решения системы $\dot{r} = P(t)r$. Тогда следующие утверждения равносильны
\begin{enumerate}
    \item $W(t_0) = 0$ в некоторой точке $t_0 \in (a,b)$
    \item $W \equiv 0$ на $(a,b)$
    \item $\{r_k\}_{k=1}^n$ линейно зависимы на $(a,b)$
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Определение.} \textbf{Определителем Вронского} (или \textbf{вронскианом}) функций $y_1, y_2, \ldots, y_n \in C^{n-1}(a,b)$ называют
\begin{equation*}
    W(t) = \begin{vmatrix}
    y_1(t) & y_2(t) & \ldots & y_n(t)\\
    \dot{y}_1(t) & \dot{y}_2(t) & \ldots & \dot{y}_n(t)\\
    \ldots\\
    y_1^{(n-1)}(t) & y_2^{(n-1)}(t) & \ldots & y_n^{(n-1)}(t)
    \end{vmatrix}
\end{equation*}

\noindent \textbf{Свойства вронскиана решений ЛОУ.} Пусть $y_1, y_2, \ldots, y_n$ --- решения линейного неоднородного уравнения. Тогда следующие утверждения равносильны:
\begin{enumerate}
    \item $W(t_0) = 0$ в некоторой точке $t_0 \in (a,b)$
    \item $W \equiv 0$ на $(a,b)$
    \item $y_1, y_2, \ldots, y_n$ линейно зависимы на $(a,b)$
\end{enumerate}

\subsection{Фундаментальная система решений.}
\textbf{Определение.} \textbf{Фундаментальной системой решений} системы уравнений $\dot{r} = P(t)r$ называется совокупность ее $n$ линейно независимых решений.

\subsection{Фундаментальная матрица.}
\textbf{Определение.} \textbf{Фундаментальная матрица системы} $\dot{r} = P(t)r$ --- матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений.

\subsection{Метод неопределённых коэффициентов для ЛС.}
Пусть $A \in M_n(\mathbb{C}), k \in \mathbb{Z_+}, a_j \in \mathbb{C}^n$ для всех $j\in [0:k]$, $\gamma \in \mathbb{C}$ и при этом:
\begin{equation*}
    p_k(t) = a_kt^k + a_{k-1}t^{k-1} + \ldots + a_1t + a_0
\end{equation*}
Тогда вектор-функция $e^{\gamma t}q_{k+s}(t)$ является решением системы:
\begin{equation*}
    \dot{r} = Ar + e^{\gamma t}p_k(t)
\end{equation*}
Здесь под $q_{k+s}$ понимается вектор-многочлен степени не выше $k+s$, где:
\begin{itemize}
    \item $s$ равно $0$ если $\gamma \notin spec(A)$;
    \item иначе $s$ равно максимальному размеру жордановых клеток, соответствующих $\gamma$.
\end{itemize}

\subsection{Характеристический многочлен ЛУ.}
\textbf{Определение.} Многочлен
\begin{equation*}
    p(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + a_1\lambda + a_0
\end{equation*}
называется \textbf{характеристическим многочленом} уравнения (\ref{lupost}), а его корни --- \textbf{характеристическими числами} уравнения (\ref{lupost}).\\

\subsection{Метод неопределённых коэффициентов для ЛУ.}
\textbf{Линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами} называют уравнение вида:
\begin{equation*}
    y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \ldots + a_1\dot{y} + a_0y=f(t)
\end{equation*}
где $a_0, \ldots, a_{(n-1)} \in \mathbb{C}$ и $f \in C(a, b)$.\\\\
Тогда если $f(t)$ "--- квазимногочлен $f(t) = p_k(t)e^{\gamma t}$, где $\gamma \in \mathbb{C}$, а $p_k(t)$ "--- многочлен степени $k$, то вышеуказанное уравнение имеет единственное решение вида $\varphi(t) = t^mq_k(t)e^{\gamma t}$, где $q_k$ "--- многочлен степени $k$, при этом:
\begin{itemize}
    \item если $\gamma$ "--- характеристическое число, то $m$ равно его кратности;
    \item иначе $m=0$.
\end{itemize}

\subsection{Автономная система.}
\textbf{Определение.} \textbf{Автономной} называется система вида
\begin{equation*}
    \dot{r} = f(r)
\end{equation*}
Другими словами, нормальная система уравнений автономна, если ее правая часть не зависит от времени.\\\\
\textbf{Замечание.} Любая нормальная система $\dot{r} = f(t,r)$ может быть сведена к автономной при помощи введения дополнительной неизвестной $x_{n+1} = t$.

\subsection{Фазовое пространство автономной системы. Фазовая траектория, фазовый
портрет, фазовая скорость, точка покоя.}
\textbf{Определение.} \textbf{Фазовым пространством} автономной системы называется $dom\,f$ --- область определения ее правой части.\\

\noindent \textbf{Определение.} \textbf{Фазовая траектория} --- проекция интегральной кривой на фазовое пространство параллельно оси времени.\\

\noindent \textbf{Определение.} \textbf{Фазовый портрет} системы --- совокупность ее фазовых траекторий.\\

\noindent \textbf{Определение.} Вектор $f(r)$ называют \textbf{фазовой скоростью} в точке $r$.\\

\noindent \textbf{Определение.} \textbf{Точкой покоя}, или \textbf{положением равновесия}, или \textbf{стационарным состоянием} системы $\dot{r} = f(r)$ называют точку $r_0$, такую что $f(r_0) = 0$.

\subsection{Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость.}
\textbf{Определение.} Положение равновесия $r = 0$ автономной системы $\dot{r} = f(r)$ называется \textbf{устойчивым (по Ляпунову)}, если для любой $\varepsilon$-окрестности нуля найдется такая $\delta$-окрестность нуля, что любое решение, выходящее из этой $\delta$-окрестности, во все будущие моменты времени отличается от нуля менее, чем на $\varepsilon$. То есть
\begin{equation*}
    \forall \varepsilon > 0\, \exists \delta > 0:\, |r_0| < \delta \implies \forall t \ge 0\, |r(t,0,r_0)| < \varepsilon
\end{equation*}
В противном случае положение равновесия называется \textbf{неустойчивым}.\\

\noindent \textbf{Определение.} Положение равновесия $r = 0$ автономной системы $\dot{r} = f(r)$ называется \textbf{асимптотически устойчивым}, если
\begin{itemize}
    \item $r = 0$ устойчиво.
    \item все решения, начинающиеся в некоторой окрестности нуля, в будущем стремятся к нулю, то есть
    \begin{equation*}
        \exists \delta > 0:\, |r_0| < \delta \, \implies \, r(t, 0, r_0) \to 0\, \text{при } t \to +\infty
    \end{equation*}
\end{itemize}\\

\noindent \textbf{Определение.} Решение $\varphi$ на $[t_0, +\infty)$ системы $\dot{r} = f(t,r)$ называется \textbf{устойчивым (по Ляпунову)}, если для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется такая $\delta$-окрестность значения $\varphi(t_0)$, что любое решение, выходящее из этой $\delta$-окрестности при $t = t_0$, во все будущие моменты времени отличаются от $\varphi$ менее, чем на $\varepsilon$. То есть
\begin{equation*}
    \forall \varepsilon > 0\, \exists \delta > 0:\, |r_0 - \varphi(t_0)| < \delta \, \implies \, \forall t \ge t_0\, |r(t,t_0,r_0) - \varphi(t)| < \varepsilon
\end{equation*}\\

\noindent \textbf{Определение.} Если решение $\varphi$ устойчиво и $r(t,t_0,r_0) - \varphi(t) \to 0$ при $t \to +\infty$ для всех $r_0$ из некоторой окрестности $\varphi(t_0)$, то решение $\varphi$ \textbf{асимптотически устойчиво}.

\subsection{Функция Ляпунова.}
\textbf{Определение.} Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ --- окрестность нуля. Функция $V \in C^1(\Omega)$ называется \textbf{функцией Ляпунова} системы $\dot{r} = f(r)$, если
\begin{itemize}
    \item $V(r) > 0$ при всех $r \in \Omega \setminus \{0\}$, $V(0) = 0$
    \item $V' \cdot f \le 0$ при всех $r \in \Omega$
\end{itemize}

\subsection{Теорема об устойчивости по первому приближению.}
\textbf{Теорема (Ляпунов, устойчивость по первому приближению).} Пусть $f \in C^2(\Omega)$, где $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ --- окрестность нуля, $f(0) = 0$. Тогда нулевое решение системы $\dot{r} = f(r)$
\begin{enumerate}
    \item асимптотически устойчиво, если $Re\, \lambda < 0$ для любого $\lambda \in spec\, f'(0)$
    \item неустойчиво, если найдется $\lambda \in spec\, f'(0)$, для которого $Re\, \lambda > 0$
\end{enumerate}
\end{document}
%ну и хуета же эти диффуры
%не могу не согласиться